中考数学 专项训练 考点43 三角形的折叠问题

专题43 三角形的折叠问题

1、如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是　24　．

【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，

∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°，

∵AC=6，BC=8，AB=10，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB为直角三角形，

∴AC2=BC•MC，

∴MC==，

∵∠MAC=∠NAE′，

∴Rt△ACM∽Rt△AE′N，

∴=，即=，∴E′N=，

∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24．

故答案为24．

2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=　　．

【解析】如图，连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，

∴AB=AB′，∠BAB′=60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∴AB=BB′，

在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），

∴∠ABC′=∠B′BC′，

延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，

∵∠C=90°，AC=BC=，

∴AB==2，

∴BD=2×=，C′D=×2=1，

∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为　　．

【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示：

则EG∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==，

设BE=x，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴==，解得：EG=x，BG=x，

∵点D是边BC的中点，∴CD=BD=2，∴DG=2﹣x，

由折叠的性质得：DF=BD=CD，∠EDF=∠EDB，

在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），

∴∠ADC=∠ADF，

∴∠ADF+∠EDF=×1880°=90°，

即∠ADE=90°，

∴AD2+DE2=AE2，

∵AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2﹣x）2+（x）2，

∴13+（2﹣x）2+（x）2=（5﹣x）2，解得：x=，即BE=；

故答案为：．

4、已知中， ， ．如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点），设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（    ）．

A．种    B．种    C．种    D．种

【解析】（1）当点D与C重合时，

∵AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），∴此时△AFC（即△AFD）是等腰直角三角形，点E是斜边AC的中点，∴EF=DE，∴△EDF为等腰三角形．

（2）当点D与B点重合时，点C与E重合，

∵AC=BC，AF=DF（即BF），∴此时EF=AB=DF（即BF），∴△DEF是等腰三角形；

（3）当点D移动到使DE=DF的位置时，△DEF是等腰三角形．

综上所述，当△DEF为等腰三角形时，点D的位置存在3中可能.，故选B.

5、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=+1，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为　

【解析】通过观察及分析可知，C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.

①当∠CM B′=90°时，如图例5-2所示.

由折叠知：∠BMN=∠B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90°

即∠BNM+∠MN B′=180°，所以B、N、B′三点共线，此时B′与点A重合. 所以，

①当∠CB′M=90°时，如图例5-3所示.

由折叠知∠B=∠B′=45°，因为∠C=45°，可得∠B′MC=45°，所以△B′MC是等腰直角三角形

设BM= B′M=x，B′C=x，则MC= x，因为BC=+1，所以x+x=+1，解得：x=1，即BM=1.

综上所述，BM的值为或1.

【小结】根据题意判断出C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解.

6、如图，矩形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，以AE为对称轴折叠△AEB，得到△AEB′，点B的对称点为点B′，若AB=5，BC=3，当点B′落在射线CD上时，线段BE的长为　　．

【解析】∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=10，BC=AD=5，

∵矩形ABCD折叠，使点C落在边AB上的E处，折痕交DC边于点M，

∴∠MEB=∠C=90°，BC=BE=5，

∴四边形BCME为正方形，∴ME=5，∴AE=AB-BE=5，

∵点F在DM上运动，且△AEF是腰长为5的等腰三角形，

∴点F只能在点D或点M处，

点F运动到点D时，EF=5；当点F运动到点M时，EF=5．

故答案为5或5.

7、如图例3-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为                                                       

图例3-1               图例3-2           图例3-3

8、如图例5-1，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为          ．

图例5-1        图例5-2         图例5-3

9、如图例6-1，在∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为              .

图例6-1     图例6-2       图例6-3

10、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=+1，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为　

【解析】如图1，当∠BEC'=90°时，

图1                           图2

∵∠B=30°，∴BE=C’E，

又∵CE=C'E，BC=+1，∴BE=，C'E=1，

∴Rt△BEC'中，BC'=2；

如图2，当∠BC'E=90°时，

∵∠B=30°，∴BE=2C'E=2CE，

又∵BC=+1，∴BE=，C'E=，

∴BC'=；

综上所述，BC'的长为或2．