中考数学 专项训练 考点45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题

专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题
【典例10】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．

（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．
（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．
证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD，ED=CD，∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE，即∠ADE=∠GDC，在△AED与△GCD中，，∴△AED≌△GCD（SAS）；
（2）如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°，
∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．
【小结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决.

【巩固提升】
1、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．
（1）求的值；
（2）四边形EFDB′的面积为　 　；
（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．

【解析】（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，
∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°，
∴四边形ABEB'为正方形，
∴△AB'E为等腰直角三角形，
∵AB＝6，AD＝8，
∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2，
∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，
∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°，
∴A'D＝DF＝6﹣2＝4，
∵CD＝AB＝6，
∴CF＝6﹣4＝2，
∴．
（2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，
∴四边形EFDB′的面积＝×（B'E+DF）×B'D＝＝10．
故答案为：10．
（3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，
∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°，
∵B'D＝2，∠NB'D＝90°，
∴∠B'ND＝30°，
∴∠B'DN＝60°，
∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°，
∵△A′DF在绕点D旋转过程中，点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M，
∴的长为．
即点A'到达点M所经过的距离为．

2、已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点　 　为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【解析】（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，故答案为A．
（2）①图形如图3所示．

②结论：GF⊥x轴．
理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，
∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，
∴∠GEF＝∠PEO，
∴△GEF≌△PEO（SAS），
∴∠GFE＝∠EOP，
∵OE⊥OP，∴∠POE＝90°，∴∠GFE＝90°，
∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，
∴四边形EFHO是矩形，
∴∠FHO＝90°，
∴FG⊥x轴．

③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，

∵E（0，5），∴OE＝5，
∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，∴四边形EFHO是正方形，
∴OH＝OE＝5，
∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．
如图4﹣2中，当x＞5时，

y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．
综上所述，．

3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．
（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝　 　AD．
（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．


【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°
∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∴∠ABD＝90°，
∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，
∴BD＝DE，∠BDE＝90°，
∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，AD＝AB，∴AB+AE＝AD，
（2）结论仍然成立；
如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，

∵BC∥DF，
∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，
∴∠F＝∠DAF＝45°，
∴AD＝DF，∴AF＝AD，
∵∠ADF＝∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，
∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；
（3）不成立，
当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，

∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，
∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD
∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，
∵AB﹣BF＝AF，∴AB﹣AE＝AD；
当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F，

∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，
∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD
∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，
∵AB+AF＝BF，
∴AB+AD＝AE．
4、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点
（1）求证：DO＝OG；
（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；
（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．

【解析】（1）如图1，延长CB交DE于H．

∵∠ABC+∠ABH＝180°，∠ABC＝∠ADH，∴∠ADH+∠ABH＝180°，∴∠DAB+∠DHB＝180°，
∵∠DAB＝90°，∴∠DHB＝90°，∴∠DHB＝∠HCG＝90°，
∴DE∥CG，∴∠EDO＝∠G，
∵DE＝BC＝CG，∠DOE＝∠GOC，
∴△DOE≌△GOC（AAS），∴EO＝OC．

（2）如图2，连接EG，BD，

由旋转知，AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，
∵∠ABC＝135°，∴∠ABD+∠ABC＝180°，∴点D，B，C在同一条直线上，
由（1）知，∠EDG＝∠CGD，∴DE∥CG，
∵DE＝CG，∴四边形CDEG是平行四边形，
∵将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，∴∠DCG＝90°，
∴平行四边形CDEG是矩形，
∴DG＝CE，
由旋转知，∠CAE＝90°，AE＝AC＝2，∴CE＝AC＝2，∴DG＝2，
（3）如图3，延长DA，CG相交于点F，

由旋转知，∠BAD＝∠BCG＝90°，
∴∠BAF＝∠BCF＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴AF＝BC，CF＝AB，
∴FD＝FG，
在Rt△DFG中，DG＝DF＝（AD+AF）＝（AB+BC），
在RtACF中，AF2+CF2＝AC2，∴AB2+BC2＝AC2，
∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，
∴2AB2﹣5AB•BC+2BC2＝0，∴（2AB﹣BC）（AB﹣2BC）＝0，
∴2AB﹣BC＝0或AB﹣2BC＝0，
∴＝或＝2（舍弃），
故答案为：．

5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个　 　．（回答直接写序号）
①BD＝CE； ②BD⊥CE； ③∠ACE+∠DBC＝45°； ④BE2＝2（AD2+AB2）
（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：
①当∠CAE＝90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．

（1）解：如图甲：

①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正确．
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴BD⊥CE，∴②正确．
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．
④∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．
故答案为①②③．

（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．

∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠PEB＝∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．

b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．

∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠BEP＝∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
综上，PB＝或．
②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝2，
∴PB＝BD+PD＝3+3．
综上所述，PB长的最大值是3+3．
b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝4，
∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．
综上所述，PB长的最小值是3﹣3．
6、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．
（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；
（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；
（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是　 　．

【解析】（1）如图1中，连接EC，BD．结论：BD＝CE．

理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD＝CE．

（2）如图2中，

由题意：∠CAE＝45°，
∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC．
∴△CBE的面积与△ABC的面积相等．
∵△ABC的面积为4.5，
∴△CBE的面积4.5．

（3）如图3中，延长AM到N，使得MN＝AM，连接CN，DM

∵AM＝MN，CM＝MD，
∴四边形ADNC是平行四边形，
∴AD＝CN＝1，
∵AC＝3，∴3﹣1≤AN≤3+1，
∴2≤2AM≤4，∴1≤AM≤2，
∴AM的最小值为1．
故答案为1．
7、综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．
解决问题
（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；
（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；
探索发现
（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；
（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）

【解析】（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；

（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．

（3）如图③中，作CH⊥AD于H．AC＝CD＝AB＝2，
∵B，A，E共线，∴∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝120°，
∵∠EDC＝60°，∴∠EAC+∠EDC＝180°，∴A，E，D，C四点共圆，
∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°，
∵CA＝CD，CH⊥AD，∴AH＝DH＝AC•cos30°＝，∴AD＝2，
∴BD＝＝＝2．

（4）如图①中，设DE交BC于T．
因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，
由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形，
∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．
8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．
（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．

【解析】（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，
∵AB＝2BD，∴AD＝BD＝2，∴BE＝2，
∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，∴CE＝＝＝2，
∵点F是CE的中点，∴BF＝CE＝；
（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，

∵点M是AD中点，∴AM＝MD，又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，
∴△AMN≌△DME（SAS），∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，∴AN∥DE，∴∠NAH+∠DHA＝180°，
∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，
∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，∴∠NAC+∠DBH＝90°，
∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，∴∠CBE+∠DBH＝90°，∴∠CBE＝∠NAC，
又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，∴△ACN≌△BCE（SAS），∴∠ACN＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，∴CN⊥CE．
9、如图，已知点A （0，8），B （16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连结AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连结PC，BC，设P（t，0）．
（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．
（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．
（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．

解析【】（1）等腰三角形，
理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，
∵△OAP沿着AP折叠，∴∠APO＝∠APC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB，∴△BCP是等腰三角形；
（2）当t＞0时，如图，

∵△OAP沿着AP折叠，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，
∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴点A，点C，点B三点共线，
∵点A （0，8），B （16，0），∴OA＝8，OB＝16，
∴AB＝＝＝8，
∵tan∠ABO＝，
∴，∴t＝4﹣4；
当t＜0时，如图，

同理可求：t＝﹣4﹣4；
（3）∵△OAP沿着AP折叠，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，
∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，
∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四边形AHBC是平行四边形，
如图2，当0≤t≤16时，点H在PC上时，连接AB交CH于G，

∵四边形AHBC是平行四边形，
∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，
在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；
如图3，当0≤t≤16时，点H在PC的延长线上时，

∵四边形AHBC是平行四边形，
∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，
∴HG＝＝＝4，
在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝；
如图4，当t＜0时，

同理可证：四边形ABHC是平行四边形，
又∵AH＝BC，∴四边形ABHC是矩形，
∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝4，
在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝16﹣8；
当t＞16时，如图5，

∵四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，CP＝OP＝t，
在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝16+8．
综上所述：当t＝8或或16﹣8或16+8时，存在AH＝BC．

10、问题情境：
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．
解决问题：
（1）如图1，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；
（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当△DEC绕点C继续旋转到如图2所示的位置时，连接AE、AD、BD，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由．

【解析】（1）如图1中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；
（2）结论正确，如图2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．

∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．

11、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．
（1）求BC的长；
（2）求证∠ABE＝∠ABC；
（3）当FB＝FE时，求CD的长．

【解析】（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，

∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC，
∵tan∠ACB＝＝，∴设AH＝3k（k＞0），CH＝4k，
∵AC2＝AH2+CH2，∴9k2+16k2＝25，∴k＝1，∴HC＝4，∴BC＝2CH＝8；
（2）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，∴AE＝AD，
又∵AB＝AC，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACD，∴∠ABE＝∠ABC；
（3）∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE），
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC），
∵∠DAE＝∠BAC，∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ABC＝∠ADE，
又∵∠BFE＝∠DFA，∴∠BEF＝∠DAF，
∵FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠DAF＝∠ADF＝∠FBE＝∠FEB，∴∠DAF＝∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ABC＝∠ABD，∴△BAD∽△BCA，∴，∴BD＝＝，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣＝．
12、（1）如图1，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
填空：①旋转角为　 　°；
②线段OD的长是　 　；
③∠BDC＝　 　°；
（2）如图2，O是△ABC内一点，且∠ABC＝90°，BA＝BC．连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA，OB，OC满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由．

【解析】（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠BDC＝135°．
12、在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．

（1）问题发现：
如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：
①AF与BE的数量关系是　 　；②∠ABE＝　 　度．
（2）拓展探究：
如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．
（3）解决问题
如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．
【解析】（1）问题发现：
如图1中，设AB交DE于O．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，
∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，
∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，
∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，
∵DA＝DE，DF＝DB，∴△ADF≌△EDB（SAS），
∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，
∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°
（2）拓展探究：
结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：

∵DF‖AC，∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，
∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，
∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，
∵AD＝DE，DB＝DF，∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD
∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．
（3）解决问题
①如图（3）中，当点D在BC上时，

由（2）可知：BE＝AF，
∵DF∥AC，∴，
∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，
②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，

∵AC∥DF，∴，
∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，
故BE的长为2或4．
13、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；
（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．

【解析】（1）由旋转可得EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，
又∵AC＝BC，∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，∴∠EAD＝90°，
∴，∴．∴；

（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CG＝AB，即＝，
∵点F为AD的中点，∴FA＝AD，
∴FG＝AG﹣AF＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，
由（1）可得：BD＝AE，
∴FG＝AE，即＝，∴＝，
又∵∠CGF＝∠BAE＝90°，∴△CGF∽△BAE，∴∠FCG＝∠ABE，
∵∠FCG+∠CFG＝90°，∴∠ABE+∠CFG＝90°，
∴CF⊥BE．
14、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现
①当α＝0°时，＝　 　；
②当α＝180°时，＝　 　．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至DE∥AC时，请直接写出BD的长．
【解析】（1）①当α＝0°时，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，∴AB＝，∴AC＝，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴BD＝CD＝BC＝2，AE＝CE＝AC＝，
∴；
②如图1，
，
当α＝180°时，
∵将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，∴CD＝2，CE＝，
∴AE＝AC+CE＝4，BD＝BC+CD＝6，∴．
（2）当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，
又∵CE＝，CD＝2，AC＝，BC＝4，
∴，∴△ECA∽△DCB，∴．
（3）2或2．
①如图3，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，

∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝30°，∴∠DCF＝60°，
∵DC＝2，∴CF＝1，DF＝，∴BF＝1+4＝5，
∴＝＝2；
②如图4，过点D作DF⊥BC交BC于点F，

同理可得，CF＝1，DF＝，
∴BF＝3，
∴BD＝＝2．
故BD的长为2或2．
15、（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∠BCD的度数是　 　；线段BD，AC之间的数量关系是　 　．
（2）类比探究
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？
（3）拓展延伸
如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．

【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°，
∵将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，
∴∠CAD＝α＝2∠BAC＝60°，AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BAD＝90°，∠BCD＝120°，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴BD2＝AB2+AD2＝（AC）2+AC2＝AC2，
即线段BD，AC之间的数量关系是BD＝AC；
故答案为：120°，BD＝AC；
（2）不成立，
理由：在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，
∵将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，
∴∠CAD＝α＝2∠BAC＝90°，AC＝AD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝AC，
在Rt△ACD中，CD＝AC，∴BD2＝BC2+CD2＝（AC）2+（AC）2＝AC2，
即线段BD，AC之间的数量关系是BD＝AC；

（3）如图3，作PE⊥AC于E，连接PA，
∵在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝2，
∵∠BPC＝90°，PB＝PC，
∴PB＝PC＝，∠PBC＝∠PCB＝45°，
∵∠BAC＝∠BPC＝90°，
∴点B，C，P，A四点共圆，
∴∠PAE＝45°，
∴△PAE是等腰直角三角形，
∴PE＝AE，
∴CE＝4﹣AE，
∵PE2+CE2＝PC2，
∴PE2+（4﹣PE）2＝10，
∴PE＝1，PE＝3，
∴PA＝或PA＝3；
故线段AP的长度为或3．
16、综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC＝5cm，BC＝2cm．
解决问题
（1）勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD．发现AE＝DB，请你给予证明；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；
拓展延伸
（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将△BCE沿CD方向平移acm，得到B'C'E'，连接AB'，B'C，当△AB'C恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，求a的值．请你直接写出a的值．

【解析】（1）如图1中，

∵△ADC，△BEC都是等边三角形，
∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD．


（2）如图2中，过点B作BH⊥AC交AC的延长线于H．

∵∠ACB＝∠ECB＝60°，
∴∠BCH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵BH⊥CH，
∴∠H＝90°，
∴BH＝BC•sin60°＝（cm），
∴S△ABC＝•AC•BH＝×5×＝．

（3）如图3中，

由题意∠ACB′＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠E′CB′＝30°，
∵∠CE′B′＝60°，
∴∠CB′E′＝90°，
∴CB′＝E′B′•tan60°＝2，
在Rt△ACB′中，AB′＝＝＝．

17、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．
（1）求的值；
（2）四边形EFDB′的面积为　 　；
（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．

【解析】（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，
∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°，
∴四边形ABEB'为正方形，
∴△AB'E为等腰直角三角形，
∵AB＝6，AD＝8，∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2，
∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°，∴A'D＝DF＝6﹣2＝4，
∵CD＝AB＝6，∴CF＝6﹣4＝2，∴．
（2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，
∴四边形EFDB′的面积＝×（B'E+DF）×B'D＝＝10．
（3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°，
∵B'D＝2，∠NB'D＝90°，∴∠B'ND＝30°，∴∠B'DN＝60°，
∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°，
∵△A′DF在绕点D旋转过程中，点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M，
∴的长为．
即点A'到达点M所经过的距离为．