专题66 阿氏圆中的双线段模型与最值问题

【专题说明】

【模型展示】

如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．

证明：，，即

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．接下来开始证明步骤：

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；

作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

【例题】

1、如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点的横坐标为，当时，求的值；

（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．

【解析】（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴抛物线的解析式为yx2x﹣3．

（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．

∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），

∴直线AD的解析式为yx﹣1，

由题意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．

∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）

解得m或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为．

（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．

∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．

∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．

∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值

2、如图1所示，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r=k·OB.连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

【解析】1:连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；

2：计算连接线段OP、OB长度；

3：计算两线段长度的比值；

4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似:

5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA+K*PB的最小值。

本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值。

3、如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是　　．

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=，故求最小值即可．

考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造，条件已经足够明显．

当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在．

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．

4、如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．

连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，CA＝9，⊙C半径为3，P为⊙C上一动点，连结AP，BP，则AP＋BP的最小值为                                                                            （   ）

A. 7                      B. 5               C. 4＋            D. 2

2．如图，在Rt△ABC中，CB＝4，CA＝5，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP＋BP的最小值为__________．

3．如图，正方形ABCD边长为2，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+PD的最小值为______．

4．如图，等边三角形ABC边长为4，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋CP的最小值为______________．

5．如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋PN的最小值为_______________

6．（反向操作）如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为，P是圆O上一动点，求PA+PB的最小值．

7．（反向操作）已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值．

8．(2019日照)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B

(1)求抛物线解析式及B点坐标;

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积

(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由

（1）

（2）S=，m=3,即M(3,-4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18

（3）

9. （2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．

10. 
    （2016•济南）如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

11. （2018•东台市一模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．

（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；

①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．