备战2021年上海中考专题14：锐角三角函数

备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题14锐角三角函数（共48题）
中考真题再现



一．填空题（共1小题）
1．（2016•上海）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为　208　米．（精确到1米，参考数据：3≈1.73）

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．
【解析】由题意可得：tan30°=BDAD=BD90=33，
解得：BD＝303，
tan60°=DCAD=DC90=3，
解得：DC＝903，
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝1203≈208（m），
故答案为：208．
二．解答题（共5小题）
2．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．
（1）求点D′到BC的距离；
（2）求E、E′两点的距离．

【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．
【解析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．
由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．
在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝453厘米．
又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，
∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，
∴D′H＝D′F+FH＝（453+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（453+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．
由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′＝AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°．
在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，
∴AE=AD2+DE2=3010厘米，
∴EE′＝3010厘米．
答：E、E′两点的距离是3010厘米．


3．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝ 5，tan∠ABC=34．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求ADDB的值．

【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【解析】（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，AB＝5，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC=32+12=10；
（2）
方法一：
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF=52，
∵tan∠DBF=DFBF=34，
∴DF=158，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=(52)2+(158)2=258，
∴AD＝5-258=158，
则ADBD=35．
方法二：
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF=52，
∴EF＝CF﹣CE=52-1=32，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠BFD＝∠BEA，
∵∠FBD＝∠EBA，
∴Rt△BFD∽Rt△BEA，
∴ADDB=EFFB=3252=35．

4．（2017•上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．
（1）求sinB的值；
（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．

【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=ADAB计算即可；
（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得EFAD=BFBD=BEBA=23，求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；
【解析】（1）在Rt△ABD中，∵BD＝DC＝9m，AD＝6m，
∴AB=BD2+AD2=92+62=313m，
∴sinB=ADAB=6313=21313．
（2）∵EF∥AD，BE＝2AE，
∴EFAD=BFBD=BEBA=23，
∴EF6=BF9=23，
∴EF＝4m，BF＝6m，
∴DF＝3m，
在Rt△DEF中，DE=EF2+DF2=42+32=5m．

5．（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°，由勾股定理求出AB＝32，求出∠ADE＝∠A＝45°，由三角函数得出AE=2，即可得出BE的长；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH＝BH＝BE•cos45°＝2，得出CH＝1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB=CHEH=12即可．
【解析】（1）∵AD＝2CD，AC＝3，
∴AD＝2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴∠A＝∠B＝45°，AB=AC2+BC2=32+32=32，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，
∴AE＝AD•cos45°＝2×22=2，
∴BE＝AB﹣AE＝32-2=22，
即线段BE的长为22；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，
∴EH＝BH＝BE•cos45°＝22×22=2，
∵BC＝3，
∴CH＝1，
在Rt△CHE中，cot∠ECB=CHEH=12，
即∠ECB的余切值为12．

6．（2015•上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：3≈1.7）

【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ＝PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．
【解析】（1）如图，连接PA．由题意知，AP＝39m．在直角△APH中，PH=AP2-AH2=392-152=36（米）；

（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．
在Rt△ADH中，DH＝AH•cot30°＝153（米）．
在Rt△CDQ中，DQ=CQsin30°=3912=78（米）．
则PQ＝PH+HQ＝PH+DQ﹣DH＝36+78﹣153≈114﹣15×1.7＝88.5≈89（米）．
答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．

2020模拟汇编





一．选择题（共10小题）
1．（2020•徐汇区二模）如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（　　）
A．南偏西30°方向500米处
B．南偏西60°方向500米处
C．南偏西30°方向2503米处
D．南偏西60°方向2503米处
【分析】根据方位角画出图形解答即可．
【解答】解：如图所示：

∵小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，
∴货船A在小岛B的南偏西30°方向500米处，
故选：A．
2．（2020•宝山区一模）符号sinA表示（　　）
A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切
【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．
【解答】解：符号sinA表示∠A的正弦．
故选：A．
3．（2020•虹口区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2，tanB＝2，那么AC＝（　　）
A．1 B．4 C．5 D．25
【分析】根据正切函数的定义求解即可．
【解答】解：如图，

在Rt∠ACB中，∵∠C＝90°，
∴tanB=ACBC=2，
∴AC2=2，
∴AC＝4．
故选：B．
4．（2020•宝山区一模）直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　）

A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
【分析】求出∠BAC＝23°，即可得出答案．
【解答】解：∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故选：D．
5．（2020•徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，那么下列结论正确的是（　　）
A．sinA=34 B．cosA=45 C．cotA=54 D．tanA=43
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义解决问题即可．
【解答】解：如图，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴AB=AC2-BC2=52-32=4，
∴cosA=ABAC=45，
故选：B．

6．（2020•静安区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a＝3b，那么∠A的余切值为（　　）
A．13 B．3 C．24 D．1010
【分析】根据余切函数的定义即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3b，
∴cotA=ba=13．
故选：A．
7．（2020•杨浦区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA=34，那么AB的长是（　　）
A．52 B．83 C．103 D．237
【分析】根据cosA=ACAB=34，求出AB即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，
又∵cosA=ACAB=34，
∴AB=83，
故选：B．
8．（2020•浦东新区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝5，AB＝13，那么sinA的值为（　　）
A．513 B．512 C．1213 D．125
【分析】本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．
【解答】解：如图：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，
sinA=BCAB=513．
故选：A．

9．（2020•普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=13，那么下列说法中正确的是（　　）
A．cosB=13 B．cotA=13 C．tanA=223 D．cotB=223
【分析】利用同角三角函数的关系解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=13，则cosA=1-sin2A=1-19=223
A、cosB＝sinA=13，故本选项符合题意．
B、cotA=cosAsinA=22313=22．故本选项不符合题意．
C、tanA=sinAcosA=13223=24．故本选项不符合题意．
D、cotB＝tanA=24．故本选项不符合题意．
故选：A．
10．（2020•青浦区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（　　）
A．sin B=24 B．cos B=24 C．tan B=24 D．cot B=24
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，
∴BC＝22，
∴sinB=13，cosB=223，tanB=122=24，cotB＝22．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2020•金山区二模）如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于　（203-25）　米（保留根号）．

【分析】延长CB交水平面于点D，根据题意可得CD⊥AD，再根据坡度可得BD：AD＝1：2.4，根据勾股定理可得BD＝25，AD＝60，最后根据锐角三角函数即可求出CB的长．
【解答】解：如图，延长CB交水平面于点D，

根据题意可知：
CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝65，
∵BD：AD＝1：2.4，
∴AD＝2.4BD，
根据勾股定理，得
AD2+BD2＝AB2，
即BD2+（2.4BD）2＝652，
解得BD＝25，
∴AD＝60，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴tan30°=CDAD，
即33=CB+2560，
解得CB＝203-25（米）．
答：树高BC等于（203-25）米．
故答案为：（203-25）．
12．（2020•奉贤区二模）如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是　40　海里．

【分析】根据已知方向角得出∠P＝∠PAB＝30°，进而得出对应边关系即可得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，
故∠PBE＝60°，
则∠P＝∠PAB＝30°，
可得：AB＝BP＝40海里．
故答案为：40．

13．（2020•闵行区二模）七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为　473-472　米．（结果保留根号）
【分析】如图所示：设无人机所在位置为点A，根据题意可得，∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，BC＝47（米），设此时无人机距离地面的高度为x米，再根据三角函数即可求出x的值．
【解答】解：如图所示：设无人机所在位置为点A，

根据题意可知：
∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，BC＝47（米），
设此时无人机距离地面的高度为x米，
则CD＝x，则BD＝47﹣x，AD＝CD＝x，
在Rt△ADB中，tan60°=BDAD，
即3=47-xx，
解得x=473-472（米）．
答：此时无人机距离地面的高度为473-472米．
故答案为：473-472．
14．（2020•浦东新区二模）在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为1.5，那么旗杆的高位　（1.5+15tanα）　米．（用含α的三角比表示）
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．
【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高15tanα，测角仪高为1.5米，
故旗杆的高为（1.5+15tanα）米．
故答案为：（1.5+15tanα）
15．（2020•松江区一模）已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则∠A的余切值为　32　．
【分析】根据余切函数的定义求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴cotA=ACBC=32，
故答案为32．

16．（2020•虹口区一模）如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，如果tanα=32．那么m＝　3　．

【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．

∵A（2，m），
∴OE＝2，AE＝m，
∵tanα=AEOE=32，
∴m2=32，
∴m＝3，
故答案为3．
17．（2020•奉贤区一模）已知△ABC中，∠C＝90°，cosA=34，AC＝6，那么AB的长是　8　．
【分析】根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到AC和AB的关系，从而可以求得AB的长，本题得以解决．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA=34，AC＝6，
∴cosA=ACAB=6AB，
即34=6AB，
解得，AB＝8，
故答案为：8．
18．（2020•普陀区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cotB=13，BC＝2，那么AC＝　6　．
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【解答】解：∵cotB=BCAC，
∴AC=BCcotB=BC13=3BC＝6．
故答案是：6．
三．解答题（共24小题）
19．（2020•松江区一模）计算：3-(2cos45°)2+3tan30°2sin260°-cos60°-cot30°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
【解答】解：原式=3-(2×22)2+3×332×(32)2-12-3
=1+31-3
＝﹣2-3．
20．（2020•崇明区一模）计算：tan260°+cot60°+2tan30°2sin30°-sin245°．
【分析】代入特殊角的三角函数值即可．
【解答】解：原式＝（3）2+33+2×332×12-（22）2
＝3+3-12
=52+3．
21．（2020•虹口区一模）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75）

【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．
∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，
∴cos37°=DEAD=DE5=0.8，
∴DE＝4，
∵sin37°=AEAD=AE5=0.6，
∴AE＝3．
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE=33AE=3，
∴AC＝2CE＝23，
∴AB＝AC+CE+ED＝23+3+4＝33+4（米）．
答：这棵大树AB原来的高度是（33+4）米．

22．（2020•青浦区一模）水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：
如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【分析】在Rt△ABD中可得出BD=AB0.36，在Rt△ABC中，可得BC=AB0.6，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．
【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，
在Rt△ABD中，∵tan∠D=ABBD，
∴BD=ABtan20°=AB0.36，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=ABBC，
∴BC=ABtan31°=AB0.6，
∵CD＝BD﹣BC，
∴13=AB0.36-AB0.6，
解得AB≈11.7米．
答：水城门AB的高为11.7米．
23．（2020•杨浦区一模）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）

【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
【解答】解：设MC＝x，
∵∠MAC＝30°，
∴在Rt△MAC中，AC=MCtan∠MAC=x33=3x．
∵∠MBC＝45°，
∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，
又∵AB＝DE＝40，
∴AC﹣BC＝AB＝40，即3x﹣x＝40，
解得：x＝20+203≈54.6，
∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），
答：楼MF的高56.1米．
24．（2020•黄浦区二模）如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．
（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米？（精确到整数）
（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：2≈1.41，3=1.73）

【分析】（1）作AH⊥MN于H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到∠AOH，根据余弦的定义计算，得到答案；
（2）求出OE的长度，根据正弦的定义求出∠OCE＝30°，得到∠COD＝120°，根据题意计算即可．
【解答】解：（1）如图2，作AH⊥MN于H，
吊舱每分钟转过的角度=360°24=15°，
∴3分钟转过的角度为45°，
在Rt△OAH中，OH＝OA•cos∠AOH＝50×22=252，
∴HM＝60﹣252≈25，
答：该游客离地面高度约为25米；
（2）如图2，线段CD距离地面85米，
则OE＝85﹣60＝25，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝25，OC＝50，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴距离地面不低于85米的时间为：12015=8（分）．

25．（2020•静安区一模）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，3≈1.732．）

【分析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，解直角三角形即可得到结论；
（2）作∠DMF＝30°，交l于点F．解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，
∵在Rt△CDM中，CD＝DM•tan∠CMD＝x•tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45°，
∴AD＝DM，
∵AD＝AC+CD＝100+x•tan22°，
∴100+x•tan22°＝x，
∴x=1001-tan22°≈1001-0.404≈167.79，
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）作∠DMF＝30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，DF＝DM•tan∠FMD＝DM•tan30°
=33DM≈33×167.79≈96.87米，
∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87＝264.66＜300，
所以该轮船能行至码头靠岸．

26．（2020•松江区一模）如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上，小岛A离港口P有多少海里？

【分析】作AE⊥PB于E，设AP＝x海里，利用锐角三角函数的定义用x表示出PE、BE，根据题意列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：作AE⊥PB于E，
由题意得，PB＝12×1.5＝18海里，
设AE＝x海里，
∵∠APE＝45°，
∴PE＝AE＝x，
∵∠ABE＝60°，
∴BE=33x，
由题意得，x-33x＝18，
解得，x＝27+93，
则AP＝272+96，
答：小岛A离港口P有（272+96）海里．

27．（2020•徐汇区一模）如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到1米）．
（参考数据：2=1.414，3=1.732，6=2.449）

【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
在Rt△BCD中，∵∠D＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，
在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，
∴AD=3BD，
∵AC＝200，
∴3BD﹣BD＝200，
∴BD=2003-1=100（3+1），
∴BC=2BD＝100（3+1）×2≈386米，
答：此时游轮与灯塔C的距离为386米．

28．（2020•青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．

【分析】（1）根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；
（2）过点E作EH⊥AC于点H．根据等腰直角三角形的性质可得EH＝AH的值，再根据三角函数即可求出∠ACE的余切值．
【解答】解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
∵DE⊥AB，
∴在Rt△DEB中，cosB=BEBD=22．
∴BE=322
在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=42，
∴AE=522
（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H．

∴在Rt△AHE中，cosA=AHAE=22，
AH＝AE•cos45°=52，
∴CH=AC-AH=4-52=32，
∴EH＝AH=52，
∴在Rt△CHE中，cot∠ECH=CHEH=35，
即∠ACE的余切值是35．
29．（2020•普陀区二模）一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为25，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）

【分析】过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，
∵tan∠ABM=25，
∴设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，
∵BD＝2，CD＝3.4，
∴HN＝2，CH＝3.4﹣2x，
∴AH＝5x+2，
∵∠ACD＝45°，
∴AH＝CH，
∴3.4﹣2x＝5x+2，
解得：x＝0.2，
∴PB＝1，AP＝0.4，
∴AB=PB2-AP2=0．42+12=295（米），
答：显示屏的宽AB的长为295米．

30．（2020•虹口区二模）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为37°，∠AOB为45°，OB长为35厘米，求AB的长（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

【分析】作AC⊥OB于点C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根据勾股定理即可得到AB的长，本题得以解决．
【解答】解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，
则∠ACO＝∠ACB＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠AOC＝∠COA＝45°，
∴AC＝OC，
设AC＝x，则OC＝x，BC＝35﹣x，
∵∠ABC＝37°，tan37°≈0.75，
∴x35-x=0.75，
解得，x＝15，
∴35﹣x＝20，
∴AB=152+202=25（厘米），
即AB的长为25厘米．

31．（2020•松江区二模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．

【分析】延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得CE＝3，DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．
【解答】解：如图，

延长CD交AB于E，
∵i＝1：2.4，
∴tan∠CAB=12.4=512，
∴CEAC=512，
∵AC＝7.2，
∴CE＝3，
∵CD＝0.4，
∴DE＝2.6，
过点D作DH⊥AB于H，
∴∠EDH＝∠CAB，
∵tan∠CAB=512，
∴cos∠EDH=cos∠CAB=1213，
DH=DE×cos∠EDH=2.6×1213=2.4，
答：该车库入口的限高数值为2.4米．
32．（2020•静安区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB=23，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．

【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB=23，可以求得AB的长，然后根据点D为AB的中点，可以得到C的长，再根据点G是△ABC中点的交点，可以得到CG=23CD，从而可以求得CG的长；
（2）作EF⊥AB于点G，然后根据题意，可以求得EF和AF的长，从而可以得到tan∠BAE的值．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB=23，
∴AB=BCcosB=1223=18，
∵D是边上的中点，
∴CD=12AB=9，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴CG=23CD=23×9=6；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴CE=BE=12BC=6，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，cosB=23，
BF＝BE•cosB=6×23=4，
∴EF=BE2-BF2=62-42=25，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE=EFAF=2514=57．

33．（2020•闵行区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D在边AC上，且∠DBC＝45°，求sin∠ABD的值．

【分析】如图，作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH＝DH，连接DH．设DM＝a．解直角三角形求出BD即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH＝DH，连接DH．设DM＝a．

∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠ABD＝60°﹣45°＝15°，
∵HB＝HD，
∴∠HBD＝∠HDB＝15°，
∴∠DHM＝∠HBD+∠HDB＝30°，
∴DH＝BH＝2a，MH=3a，BM＝2a+3a，
∴BD=DM2+BM2=a2+(2a+3a)2=（2+6）a，
∴sin∠ABD=DMDB=a(2+6)a=6-24．
34．（2020•浦东新区一模）为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度（参考数据：sin55°58'≈0.83，cos55°58'≈0.56，tan55°58'≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）

【分析】解直角三角形求出CD，BD，根据BC＝CD﹣BD求解即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，
∴1.48=BD80，
∵AD＝80米，
∴BD＝118.4（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=CDAD，
∴1.54=CDAD，
∴CD＝123.2（米），
∴BC＝CD﹣BD＝4.8（米）．
答：避雷针BC的长度为4.8米．
35．（2020•衢州模拟）某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．
（1）求该斜坡的坡面AB的长度；
（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2.5米，高EF＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．

【分析】（1）根据坡度定义以及勾股定理解答即可；
（2）证出∠GDM＝∠HBM，根据GMGD=12，得到GM＝1m，利用勾股定理求出DM的长，然后求出BM＝5m，进而求出MH，然后得到DH．
【解答】解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，
∴BC＝4×2＝8m．
∴AB=AC2+BC2=42+82=45（米）；

（2）∵∠DGM＝∠BHM，∠DMG＝∠BMH，
∴∠GDM＝∠HBM，
∴GMGD=12，
∵DG＝EF＝2m，
∴GM＝1m，
∴DM=12+22=5，BM＝BF+FM＝3.5+（2.5﹣1）＝5m，
设MH＝xm，则BH＝2xm，
∴x2+（2x）2＝52，
∴x=5m，
∴DH=5+5=25m．
36．（2020•金山区一模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．

将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）
【分析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BG⊥OM于G，
过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，
则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，
设AE＝x，
∴C′H＝D′E＝16+x，
∵∠BC′H＝45°，
∴BH＝C′H＝16+x，
∴BE＝16+x+8＝24+x，
∵∠BAO＝160°，
∴∠BAE＝70°，
∴tan70°=BEAE=24+xx=10.36，
解得：x＝13.5，
∴BE＝37.5，
∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5≈45cm，
答：B到水平桌面OM的距离为45cm．

37．（2020•嘉定区一模）如图，海中有一个小岛A，该岛的四周10海里的范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向东航行．到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处．如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明．

【分析】点A作直线BC的垂线，垂足为D，由题意，得∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，求得∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝30°，得到AC＝BC，在Rt△ACD中，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D，
由题意，得∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝30°，
又∵∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝BC，
∵BC＝20，
∴AC＝BC＝20（海里），
在Rt△ACD中，AD=AC⋅cos∠CAD=20×32=103（海里），
由题意知：以海岛A为圆心，半径长为10海里范围内有暗礁．这里，AD=103＞10，
所以，如果货轮继续向东航行，没有触礁的危险．

38．（2020•黄浦区一模）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）
（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）

【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，设CH＝x，则BH＝x．解直角三角形即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，
∵∠CBA＝45°，
∴BH＝CH，
设CH＝x，则BH＝x．
∵在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，
∴AH=3CH=3x．
∴x+3x=50．
解得：x=503+1≈18，
∴18+1＝19．
答：计算得到的无人机的高约为19m；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，
在Rt△AGF中，tan∠FAG=FGAG，
∴AG=FGtan40°≈180.84≈21.4，
又AH=3CH≈31.14．
∴31.14-21.42≈5，
答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒．

39．（2020•虹口区一模）计算：4sin30°cot30°-tan45°-tan260°
【分析】把特殊的锐角三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式=4×123-1-（3）2=3-2．
40．（2020•闵行区一模）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．
“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．
（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？
（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？
（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

【分析】（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，于是得到结论；
（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，
∴v=98039.5≈25（千米），
答：台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时25千米；
（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，
∴∠SHZ＝90°，
∵∠NZD＝30°，∠CZN＝7°，
∴∠CZD＝∠CZN+∠NZD＝7°+30°＝37°，
在Rt△SHZ中，sin∠CZD=SHSZ．
∵∠CZD＝37°，SZ＝250千米，
∴SH＝SZ•sin∠CZD＝250×sin37°≈250×0.60≈150（千米），
∵150千米＜170千米，
∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响
到F处影响结束．即SE＝SF＝170（千米）．
∵在Rt△SEH中，∠SHE＝90°，SE2＝SH2+HE2，
∴HE=SE2-SH2=1702-1502≈80，
∴EF＝2EH≈160（千米），
∴上海遭受这次台风影响的时间为EF20=16020≈8（小时），
答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．

41．（2020•杨浦区一模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB=35，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求CFFD的值．

【分析】（1）作高构造直角三角形，设AC＝3x，表示出CG、AG、DG，再利用直角三角形的边角关系，求出∠D正切值；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，相似三角形、全等三角形，进而得出HC＝AB＝5x，将：CFDF转化为求HCDB即可．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB=35，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG=AGAC=35=sinB，
∴AG=95x，CG=125x，
∴DG＝DA+AG＝3x+95x=245x，
在Rt△DCG中，tan∠D=CGDG=12；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：CFDF=CHDB=5x3x+5x=58．

42．（2020•崇明区一模）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？

【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．

∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，
∴OD＝BD•sin60°＝203（cm），
∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（203+5）cm；

（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，
由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，
∴在Rt△CGB中，sin∠CBH=CGBC=CG20=32，
∴CG＝103cm，
∴KH＝103cm，
∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，
在Rt△DCK中，sin∠DCK=DKDC=DK20=12，
∴DK＝10cm，
∴（203+5）﹣（15+103）＝103-10，
答：比原来降低了（103-10）厘米．