【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题19 函数y=Asin（ωx+φ）的图像（含解析）

考点19 函数y=Asin（ωx+φ）的图像
1、为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像(　　)
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
2、已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像(　　)
A.关于点对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于直线x=对称
3、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)
A.　　 B．　　
C．　 D．1
4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)
A.5 B.6
C.8 D.10
5、先把函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈时，函数g(x)的值域为(　　)
A. B．
C. D．[－1,0)
6、将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是 (　　)
A.最小正周期为π B.图像关于直线x=对称
C.图像关于点对称 D.初相为[来源:学,科,网Z,X,X,K]
7、下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上是减函数”的是(　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos(2x＋)　　 D．y＝sin
8、函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则(　　)
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
9、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且f＝1，则f(x)图象的一个对称中心是[来源:学#科#网]
A.　 B．
C. D．
10、已知函数的周期为，如图为该函数的部分图象，则正确的结论是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
11、将奇函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为(　　)
A．6　　 B．3　　
C．4 D．2
12、已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同．若x∈，则f(x)的值域是________．
13、如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|≤)的图象与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1,0)，∠PQR＝，M(2，－2)为线段QR的中点，则A的值为________．

14、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
15、已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
16、已知函数（）
（1）若，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象．

（2）若偶函数，求；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（3）在（2）的前提下，将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在的单调递减区间．
17、已知函数的部分图象如图所示．[来源:Zxxk.Com]
（1）求，的值及的单调增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
[来源:学科网]

18、已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为，且图像关于对称．
（1）求的解析式；
（2）先将函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象．求的单调递增区间以及的取值范围．
19、在已知函数，(其中，，)的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为
（1）求的解析式；
（2）当时，求的值域；
（3）求在上的单调区间．
20、已知，，设函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）设的内角所对的边分别为，且成等比数列，求的取值范围．
21、已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x－.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值及相应的自变量x的值；
(2) 在直角坐标系中做出函数f(x)在区间[0，π]上的图象．








考点19 函数y=Asin（ωx+φ）的图像
1、为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像(　　)
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
【答案】A　
【解析】y=sin 3x+cos 3x=sin=sin 3,
函数y=cos 3x=sin=sin 3,故将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位,
得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像.[来源:Zxxk.Com]
2、已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像(　　)
A.关于点对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于直线x=对称
【答案】D　
【解析】由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=- (k∈Z),当k=1时,x=,故选D.
3、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)
A.　　 B．　　
C．　 D．1
【答案】B
【解析】由题图可知，＝－＝，则T＝π，ω＝2.又＝， ∴f(x)的图象过点，即sin＝1，得φ＝，∴f(x)＝sin.∵x1，x2∈∴0<2x＋<π，∴f(x)的对称轴方程为x＝.又f(x1)＝f(x2)，
∴f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝.
4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)
A.5 B.6
C.8 D.10
【答案】C　
【解析】因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.
由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.
所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.
5、先把函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈时，函数g(x)的值域为(　　)
A. B．
C. D．[－1,0)
【答案】A
【解析】依题意得g(x)＝sin＝sin，当x∈时，
2x－∈，sin∈，此时g(x)的值域是.故选A.
6、将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是 (　　)
A.最小正周期为π B.图像关于直线x=对称
C.图像关于点对称 D.初相为
【答案】C　由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin,
∴g(x)=2sin.易判断选项A,D都正确,对于选项B,C,∵g=2sin=2≠0,
∴选项B对C错,故选C.
7、下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上是减函数”的是(　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos(2x＋)　　 D．y＝sin
【答案】D
【解析】易知函数y＝sin的最小正周期为4π，故排除A；当x＝时，y＝sin＝0，故排除B；当x∈时，2x＋∈，函数y＝cos单调递增，故排除C；对于函数y＝sin(2x＋)，可知其最小正周期T＝＝π，将x＝代入得，y＝sin＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x＝对称，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，化简整理可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可知函数y＝sin(2x＋)在上是减函数．故选D.
8、函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则(　　)
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
【答案】A　
【解析】由题图知,A=2,周期T=2-=π,
所以ω==2,y=2sin(2x+φ).
方法一:因为函数图像过点,
所以2=2sin.
所以+φ=2kπ+(k∈Z).
令k=0,得φ=-,
所以y=2sin,故选A.
方法二:因为函数图像过点,
所以-2=2sin,
所以2×+φ=2kπ-,k∈Z,
即φ=2kπ-,k∈Z.
令k=0,得φ=-,
所以y=2sin.故选A.
9、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且f＝1，则f(x)图象的一个对称中心是
A.　 B．
C. D．
【答案】A
【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝，∵f＝1，∴×＋φ＝＋2mπ(m∈Z)，即φ＝＋2mπ(m∈Z)．由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin.令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时， f(x)的对称中心为.故选A.
10、已知函数的周期为，如图为该函数的部分图象，则正确的结论是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由图知，，，，，把点代入
得，，即，又|，
时，，故选D．
11、将奇函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为(　　)
A．6　　 B．3　　
C．4 D．2
【答案】A
【解析】由函数为奇函数得φ＝kπ(k∈Z)，又－＜φ＜，∴φ＝0，∴y＝Asin ωx.由函数图象向左平移个单位得到函数y＝Asin＝Asin，其图象关于原点对称，∴有ω＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，当k＝1时， ω＝6.故选A.
12、已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同．若x∈，则f(x)的值域是________．
【答案】
【解析】 f(x)＝3sin＝3cos
＝3cos，
∵f(x)与g(x)的图象完全相同，∴ω＝2，
则f(x)＝3sin，∵x∈，
∴－≤2x－≤，∴－≤f(x)≤3.
13、如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|≤)的图象与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1,0)，∠PQR＝，M(2，－2)为线段QR的中点，则A的值为________．
[来源:学科网ZXXK][来源:学§科§网]
【答案】
【解析】依题意得，点Q的横坐标是4，点R的纵坐标是－4，T＝＝2|PQ|＝6，∴ω＝，∵f＝Asin＝A＞0，即sin＝1.又|φ|≤，∴≤＋φ≤，因此＋φ＝，φ＝－.又点R(0，－4)在f(x)的图象上，所以Asin＝－4，A＝.
14、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
【答案】π
【解析】因为f(x)在区间上具有单调性，
所以≥－，即T≥.又f＝f，
所以x＝和x＝均不是f(x)的对称轴，其对称轴应为x＝＝.又因为f＝－f，且f(x)在区间上具有单调性，
所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.
故函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π.
15、已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）12．
【解析】（1）因为，，所以．
（2）．
16、已知函数（）
（1）若，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象．

（2）若偶函数，求；
（3）在（2）的前提下，将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在的单调递减区间．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）当时，，列表：

函数在区间上的图象是：

（2）为偶函数，
∴，，又，．
（3）由（2）知，将的图象向右平移个单位后，
得到的图象，再将横坐标变为原来的4倍，得到，
所以，
当，即时，的单调递减，
因此在的单调递减区间．
17、已知函数的部分图象如图所示．
（1）求，的值及的单调增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．


【答案】（1）见解析；（2）最大值为2，最小值为．
【解析】（1）由图象可得，最小正周期为，
∴．∴，，
由，，
得，，
所以函数的单调递增区间为，．
（2）∵，∴，
∴，∴．
∴函数在区间上的最大值为2，最小值为．
18、已知函数的图像与直线两相邻交点之间的距离为，且图像关于对称．
（1）求的解析式；
（2）先将函数的图象向左平移个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象．求的单调递增区间以及的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由已知可得，，∴，
又的图象关于对称，∴，∴，
∵，∴．所以，
（2）由（1）可得，∴，
由得，
的单调递增区间为，．
∵，∴，∴，
∴．
19、在已知函数，(其中，，)的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为
（1）求的解析式；
（2）当时，求的值域；
（3）求在上的单调区间．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）由最低点为得．由轴上相邻两个交点之间的距离为，
得，即，∴．
由点在图象上得，即，
故，∴，
又，∴．故．
（2）∵，∴
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值，
故的值域为．
（3）由的单调性知，即时，单调递增，所以在上单调递增，
结合该函数的最小正周期，在上单调递减．
20、已知，，设函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）设的内角所对的边分别为，且成等比数列，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），
令，则，，
所以函数的单调递增区间为，．
（2）由可知，（当且仅当时取等号），
所以，，，
综上，的取值范围为．
21、已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x－.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值及相应的自变量x的值；
(2)在直角坐标系中做出函数f(x)在区间[0，π]上的图象．
【答案】(1) －－1 (2)
【解析】(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1，当x∈时，2x－∈.
故当2x－＝，即x＝时， f(x)在区间上取得最大值0，当2x－＝－，即x＝－时， f(x)在区间上取得最小值－－1.
(2)当x∈[0，π]时，2x－∈.
列表：
x
0




π
2x－
－
0

π


f(x)
－
－1
0[来源:Zxxk.Com]
－1
－2
－
描点、连线，得所求图象如图所示：