【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题15 定积分与微积分基本定理（含解析）

考点15 定积分与微积分基本定理1．如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为(　　)A． B． C． D．2．如图，在半径为的圆内，有一条以圆心为中心，以为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）A． B． C． D．无法确定3．如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）A． B．C． D．4．曲线与直线围成的平面图形的面积为（    ）A． B． C． D．5．下图是函数与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（   ）A． B．C． D．6．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（   ）A． B． C． D．7．已知，则多项式的展开式中的系数为（   ）A．-56 B．-15 C．15 D．568．已知为常数，，则的展开式中的常数项是（    ）A． B． C． D．9．在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（  ）A． B． C． D．10．直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为（   ）A．20 B．-20 C．5 D．-511．如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（    ）A． B． C． D．12．函数为奇函数，则 (    )A．    B．    C．    D．13．如图，正方形的四个顶点，及抛物线和,若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（   ）A． B． C． D．14．二次函数的图象如图所示，则定积分（   ）A．    B．    C．2    D．315．过坐标原点作曲线 的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______16．若,的展开式中常数项为________．17．已知实数x，y满足不等式组其中，则的最大值是_____．18．设在，则展开式中的系数为______．19．若，则的展开式中，含项的系数为__________．20．如图所示，阴影部分由函数图像与轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为__________．21．若，则的展开式中常数项为______．22．直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．23．设，则的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）24．设，，为自然对数的底数，若，则的最小值是______。25．已知函数则的值为____．           考点15 定积分与微积分基本定理1．如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为(　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形的面积为，所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B．2．如图，在半径为的圆内，有一条以圆心为中心，以为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】由题意知：圆的面积为：周期为可得：    设圆的圆心为：        曲线为：阴影部分面积所求概率本题正确选项：3．如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B．4．曲线与直线围成的平面图形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出曲线与直线围成的平面图形如下：由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D．5．下图是函数与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（   ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题知A(1,1)，阴影部分的面积为S则S== 故选：A．6．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】阴影部分面积为，所以所求概率为，选A.7．已知，则多项式的展开式中的系数为（   ）A．-56 B．-15 C．15 D．56【答案】C【解析】，所以，故，，令，即，所以系数为.故选：C．8．已知为常数，，则的展开式中的常数项是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】a2xdx＝x21，∴（）6的通项公式为Tr+1＝C6r＝（﹣1）rC6r，令0，解得r＝2，则二项展开式中的常数项为（﹣1）2C62＝15，故选C.9．在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】（x2+）6展开式中，由通项公式可得 ,令12﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为，可得＝15，解得a＝2．曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为．故选：B．10．直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为（   ）A．20 B．-20 C．5 D．-5【答案】A【解析】由， 得x=0，或x=2，或x=-2，因为a为在第一象限围成的封闭图形面积，所以，展开式中的第项为，由可得，所以展开式中的系数为.11．如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得 所以点P 因为与轴在围成的面积是 则阴影部分的面积为 而矩形的面积为 故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 故选A．12．函数为奇函数，则 (    )A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】因为为奇函数，所以，即；所以.故选D．13．如图，正方形的四个顶点，及抛物线和,若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选：B．14．二次函数的图象如图所示，则定积分（   ）A．    B．    C．2    D．3【答案】B【解析】由图象可知，二次函数的零点为1，2即方程的根为1，2，由韦达定理可得. 故选B.15．过坐标原点作曲线 的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______【答案】.【解析】设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为.16．若,的展开式中常数项为________．【答案】112【解析】， 的展开式的通项为，令.所以展开式的常数项为.故答案为：112．17．已知实数x，y满足不等式组其中，则的最大值是_____．【答案】25【解析】 =4，x，y满足不等式组的可行域如图：x2+y2表示可行域内的点（x，y）与坐标原点距离的平方，由图形可知，点A到原点距离最大，由 ，解得A（4，3），所以x2+y2的最大值为25．故答案为：25．18．设在，则展开式中的系数为______．【答案】【解析】，的通项公式为，当时，，当时，，故展开式中的系数为.19．若，则的展开式中，含项的系数为__________．【答案】【解析】由题得，所以，设的通项为，当该项的系数为,当该项的系数为,所以含项的系数为135-2×1215=-2295.故答案为：-2295．20．如图所示，阴影部分由函数图像与轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为__________．【答案】.【解析】解：根据题意，阴影部分的面积为，根据几何概型得，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为.21．若，则的展开式中常数项为______．【答案】【解析】因为；所以的展开式的通项公式为：，令，则，所以常数项为.故答案为．22．直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.23．设，则的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）【答案】【解析】，则，展开式的通项为，当时得到常数项为，故答案为60.24．设，，为自然对数的底数，若，则的最小值是______。【答案】【解析】=1，，.故答案为.25．已知函数则的值为____．【答案】【解析】由题意，根据函数，可得 .