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【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题28 数列的概念与简单表示法(含解析)
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考点28 数列的概念与简单表示法
1、数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为( )
A.5 B.
C. D.
2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( )
A.an=2n2+3n-1 B.an=n2+5n-5
C.an=2n3-3n2+3n-1 D.an=2n3-n2+n-2
3、在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是( )
A. B.
C. D.
4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)…(a2 015a2 017-)=( )
A.1 B.-1
C.2 017 D.-2 017
5、已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则满足≤2的正整数n的集合为( )
A.{1,2,3} B.{2,3,4}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
6、已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则a2 018的值为( )
A.-8 B.-3
C.-4 D.
7、已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018= ( )
A.22 018-1 B.32 018-6
C. 2 018- D. 2 018-
8、已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=-n2+4n+5,bn=n2+(2-a)n-2a.若对任意正整数n,an<0或bn<0,则a的取值范围为( )
A.(5,+∞) B.(-∞,5)
C.(6,+∞) D.(-∞,6)
9、在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式an=( )
A.2n-1 B.2n-1+1
C.2n-1 D.2(n-1)
10、若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2)且a1=2,则满足不等式an<462的最大正整数n为( )
A.19 B.20
C.21 D.22
11、数列{an}满足a1=,an+1-1=an(an-1)(n∈N+),且Sn=+…+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是( )
A.{0,1,2} B.{0,1,2,3}
C.{1,2} D.{0,2}
12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18= .
13、已知数列{an}的通项公式an=则a3a4=________.
14、数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则S5= .
15、已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=________.
16、在数列{an}中,a1=0,an+1=,则S2 019= .
17、已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an= .
18、已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且满足a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n3+n2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式.
19、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a∈R且a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
20、已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+4,数列{bn}中,bn=.
(1)求公差d的值;
(2)若a1=-,求数列{bn}中的最大项和最小项的值;
(3)若对任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,求a1的取值范围.
考点28 数列的概念与简单表示法
1、数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为( )
A.5 B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵an+an+1=,a2=2,
∴an=∴S21=11×+10×2=.
2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( )
A.an=2n2+3n-1 B.an=n2+5n-5
C.an=2n3-3n2+3n-1 D.an=2n3-n2+n-2
【答案】C
【解析】当n=1时,a1=1,代入四个选项,排除A、D;当n=2时,a2=9,代入B、C选项,B、C都正确;当n=3时,a3=35,代入B、C选项,B错误,C正确,所以选C.
3、在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知得a2=1+(-1)2=2,∴2a3=2+(-1)3,a3=,∴a4=+(-1)4,a4=3,∴3a5=3+(-1)5,∴a5=,∴=×=.
4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)…(a2 015a2 017-)=( )
A.1 B.-1
C.2 017 D.-2 017
【答案】B
【解析】∵a1a3-=1×2-12=1,a2a4-=1×3-22=-1,a3a5-=2×5-32=1,…,
a2 015a2 017-=1.
∴(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)·…·(a2 015a2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1.
5、已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则满足≤2的正整数n的集合为( )
A.{1,2,3} B.{2,3,4}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】因为Sn=2an-1,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,两式相减得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1.又a1=2a1-1,所以a1=1,故an=2n-1.又≤2,即2n-1≤2n,所以有n∈{1,2,3,4}.
6、已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则a2 018的值为( )
A.-8 B.-3
C.-4 D.
【答案】B
【解析】由a1=2,an+1=(n∈N*)得,a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,可见数列{an}的周期为4,所以a2 018=a504×4+2=a2=-3.
7、已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018= ( )
A.22 018-1 B.32 018-6
C. 2 018- D. 2 018-
【答案】A
【解析】由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3 (n+1),
两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,
即an+1=-2an-3,则an+1+1=-2(an+1),
结合3S1=2a1-3=3a1可得a1=-3,a1+1=-2,
则数列{an+1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,
据此有a2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,
∴a2 018=22 018-1.
故选A.
8、已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=-n2+4n+5,bn=n2+(2-a)n-2a.若对任意正整数n,an<0或bn<0,则a的取值范围为( )
A.(5,+∞) B.(-∞,5)
C.(6,+∞) D.(-∞,6)
【答案】A
【解析】由an=-n2+4n+5=-(n+1)(n-5)可知,当n>5时,an<0.由bn=n2+(2-a)n-2a=(n+2)(n-a)<0及已知易知-2<n<a,为使当0<n≤5时,bn<0,只需a>5.故选A.
9、在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式an=( )
A.2n-1 B.2n-1+1
C.2n-1 D.2(n-1)
【答案】A
【解析】由an+1=2an+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知an=2n-1.
10、若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2)且a1=2,则满足不等式an<462的最大正整数n为( )
A.19 B.20
C.21 D.22
【答案】B
【解析】由(n-1)an=(n+1)an-1得,=,则an=a1×××…×=2×××…×=n(n+1).又an<462,即n(n+1)<462,所以n2+n-462<0,即(n-21)(n+22)<0,因为n>0,所以n<21.故所求的最大正整数n=20.
11、数列{an}满足a1=,an+1-1=an(an-1)(n∈N+),且Sn=+…+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是( )
A.{0,1,2} B.{0,1,2,3}
C.{1,2} D.{0,2}
【答案】A
【解析】对an+1-1=an(an-1)两边取倒数,得-=,
Sn=++…+=-+-+…+-=3-,
由an+1-an=≥0,an+1≥an,an为递增数列,
a1=,a2=,a3=,其中S1=,整数部分为0,S2=3-=,整数部分为0,S3=,整数部分为1,由于Sn<3,故选A.
12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18= .
【答案】3
【解析】由题意得an+an+1=5⇒an+2+an+1=5⇒an=an+2,所以a18=a2=5-a1=3.
13、已知数列{an}的通项公式an=则a3a4=________.
【答案】 54
【解析】由题意知,a3=2×3-5=1,a4=2×34-1=54,∴a3a4=54.
14、数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则S5= .
【答案】121
【解析】由于解得a1=1.由an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1,得Sn+1=3Sn+1,
所以Sn+1+=3Sn+,
所以是以为首项,3为公比的等比数列,
所以Sn+=×3n-1,即Sn=,所以S5=121.
15、已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=________.
【答案】n-1
【解析】当n=1时,a1=S1=a1+,
∴a1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,∴=-.
∴数列{an}是首项a1=1,公比q=-的等比数列,故an=n-1.
16、在数列{an}中,a1=0,an+1=,则S2 019= .
【答案】0
【解析】∵a1=0,an+1=,
∴a2==,
a3===-,
a4==0,
即数列{an}的取值具有周期性,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2 019=S3×673=0.
17、已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an= .
【答案】2n-1
【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),
即an=2an-1+1,
∴an+1=2(an-1+1).
又a1=S1=2a1-1,∴a1=1.
∴数列{an+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,
∴an+1=2·2n-1=2n,
∴an=2n-1.
18、已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且满足a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n3+n2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式.
【答案】(1) 2n (2) ,n∈N*
【解析】(1)当n=1时,S1=2a1-2,则a1=2.
当n≥2时,由得an=2an-2an-1,则an=2an-1,n≥2.
综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2n,n∈N*.
(2)∵a2=4b1=4,∴b1=1.
∵nbn+1-(n+1)bn=n3+n2,∴-=n,
故-=n-1,…,-=2,-=1,n≥2,
将上面各式累加得-=1+2+3+…+(n-1)=,
∴bn=,n∈N*.
19、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a∈R且a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
【答案】(1) (a-3)2n-1 (2) [-9,3)∪(3,+∞)
【解析】(1)由题意知,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2(Sn-3n),
又S1-31=a-3(a≠3),
故数列{Sn-3n}是首项为a-3,公比为2的等比数列,因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,
所以an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2,
当n≥2时,an+1≥an⇔12·n-2+a-3≥0⇔a≥-9.
又a2=a1+3>a1.
综上,所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).
20、已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+4,数列{bn}中,bn=.
(1)求公差d的值;
(2)若a1=-,求数列{bn}中的最大项和最小项的值;
(3)若对任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,求a1的取值范围.
【答案】(1) 1 (2) 3 -1 (3) (-7,-6)
【解析】(1)∵S4=2S2+4,∴4a1+d=2(2a1+d)+4,解得d=1.
(2)∵a1=-,∴数列{an}的通项公式为an=-+(n-1)=n-,
∴bn=1+=1+.
∵函数f(x)=1+在和上分别是单调减函数,
∴b3<b2<b1<1,当n≥4时,1<bn≤b4,
∴数列{bn}中的最大项是b4=3,最小项是b3=-1.
(3)由bn=1+,得bn=1+.
又函数f(x)=1+在(-∞,1-a1)和(1-a1,+∞)上分别是单调减函数,且x<1-a1时,y<1;
当x>1-a1时,y>1.
∵对任意的n∈N*,都有bn≤b8,
∴7<1-a1<8,∴-7<a1<-6,
∴a1的取值范围是(-7,-6).
1、数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为( )
A.5 B.
C. D.
2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( )
A.an=2n2+3n-1 B.an=n2+5n-5
C.an=2n3-3n2+3n-1 D.an=2n3-n2+n-2
3、在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是( )
A. B.
C. D.
4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)…(a2 015a2 017-)=( )
A.1 B.-1
C.2 017 D.-2 017
5、已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则满足≤2的正整数n的集合为( )
A.{1,2,3} B.{2,3,4}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
6、已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则a2 018的值为( )
A.-8 B.-3
C.-4 D.
7、已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018= ( )
A.22 018-1 B.32 018-6
C. 2 018- D. 2 018-
8、已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=-n2+4n+5,bn=n2+(2-a)n-2a.若对任意正整数n,an<0或bn<0,则a的取值范围为( )
A.(5,+∞) B.(-∞,5)
C.(6,+∞) D.(-∞,6)
9、在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式an=( )
A.2n-1 B.2n-1+1
C.2n-1 D.2(n-1)
10、若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2)且a1=2,则满足不等式an<462的最大正整数n为( )
A.19 B.20
C.21 D.22
11、数列{an}满足a1=,an+1-1=an(an-1)(n∈N+),且Sn=+…+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是( )
A.{0,1,2} B.{0,1,2,3}
C.{1,2} D.{0,2}
12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18= .
13、已知数列{an}的通项公式an=则a3a4=________.
14、数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则S5= .
15、已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=________.
16、在数列{an}中,a1=0,an+1=,则S2 019= .
17、已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an= .
18、已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且满足a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n3+n2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式.
19、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a∈R且a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
20、已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+4,数列{bn}中,bn=.
(1)求公差d的值;
(2)若a1=-,求数列{bn}中的最大项和最小项的值;
(3)若对任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,求a1的取值范围.
考点28 数列的概念与简单表示法
1、数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21为( )
A.5 B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵an+an+1=,a2=2,
∴an=∴S21=11×+10×2=.
2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( )
A.an=2n2+3n-1 B.an=n2+5n-5
C.an=2n3-3n2+3n-1 D.an=2n3-n2+n-2
【答案】C
【解析】当n=1时,a1=1,代入四个选项,排除A、D;当n=2时,a2=9,代入B、C选项,B、C都正确;当n=3时,a3=35,代入B、C选项,B错误,C正确,所以选C.
3、在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知得a2=1+(-1)2=2,∴2a3=2+(-1)3,a3=,∴a4=+(-1)4,a4=3,∴3a5=3+(-1)5,∴a5=,∴=×=.
4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)…(a2 015a2 017-)=( )
A.1 B.-1
C.2 017 D.-2 017
【答案】B
【解析】∵a1a3-=1×2-12=1,a2a4-=1×3-22=-1,a3a5-=2×5-32=1,…,
a2 015a2 017-=1.
∴(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)·…·(a2 015a2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1.
5、已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则满足≤2的正整数n的集合为( )
A.{1,2,3} B.{2,3,4}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
【答案】C
【解析】因为Sn=2an-1,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,两式相减得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1.又a1=2a1-1,所以a1=1,故an=2n-1.又≤2,即2n-1≤2n,所以有n∈{1,2,3,4}.
6、已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则a2 018的值为( )
A.-8 B.-3
C.-4 D.
【答案】B
【解析】由a1=2,an+1=(n∈N*)得,a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,可见数列{an}的周期为4,所以a2 018=a504×4+2=a2=-3.
7、已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018= ( )
A.22 018-1 B.32 018-6
C. 2 018- D. 2 018-
【答案】A
【解析】由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3 (n+1),
两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,
即an+1=-2an-3,则an+1+1=-2(an+1),
结合3S1=2a1-3=3a1可得a1=-3,a1+1=-2,
则数列{an+1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,
据此有a2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,
∴a2 018=22 018-1.
故选A.
8、已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=-n2+4n+5,bn=n2+(2-a)n-2a.若对任意正整数n,an<0或bn<0,则a的取值范围为( )
A.(5,+∞) B.(-∞,5)
C.(6,+∞) D.(-∞,6)
【答案】A
【解析】由an=-n2+4n+5=-(n+1)(n-5)可知,当n>5时,an<0.由bn=n2+(2-a)n-2a=(n+2)(n-a)<0及已知易知-2<n<a,为使当0<n≤5时,bn<0,只需a>5.故选A.
9、在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式an=( )
A.2n-1 B.2n-1+1
C.2n-1 D.2(n-1)
【答案】A
【解析】由an+1=2an+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知an=2n-1.
10、若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2)且a1=2,则满足不等式an<462的最大正整数n为( )
A.19 B.20
C.21 D.22
【答案】B
【解析】由(n-1)an=(n+1)an-1得,=,则an=a1×××…×=2×××…×=n(n+1).又an<462,即n(n+1)<462,所以n2+n-462<0,即(n-21)(n+22)<0,因为n>0,所以n<21.故所求的最大正整数n=20.
11、数列{an}满足a1=,an+1-1=an(an-1)(n∈N+),且Sn=+…+,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是( )
A.{0,1,2} B.{0,1,2,3}
C.{1,2} D.{0,2}
【答案】A
【解析】对an+1-1=an(an-1)两边取倒数,得-=,
Sn=++…+=-+-+…+-=3-,
由an+1-an=≥0,an+1≥an,an为递增数列,
a1=,a2=,a3=,其中S1=,整数部分为0,S2=3-=,整数部分为0,S3=,整数部分为1,由于Sn<3,故选A.
12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18= .
【答案】3
【解析】由题意得an+an+1=5⇒an+2+an+1=5⇒an=an+2,所以a18=a2=5-a1=3.
13、已知数列{an}的通项公式an=则a3a4=________.
【答案】 54
【解析】由题意知,a3=2×3-5=1,a4=2×34-1=54,∴a3a4=54.
14、数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则S5= .
【答案】121
【解析】由于解得a1=1.由an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1,得Sn+1=3Sn+1,
所以Sn+1+=3Sn+,
所以是以为首项,3为公比的等比数列,
所以Sn+=×3n-1,即Sn=,所以S5=121.
15、已知数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=________.
【答案】n-1
【解析】当n=1时,a1=S1=a1+,
∴a1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,∴=-.
∴数列{an}是首项a1=1,公比q=-的等比数列,故an=n-1.
16、在数列{an}中,a1=0,an+1=,则S2 019= .
【答案】0
【解析】∵a1=0,an+1=,
∴a2==,
a3===-,
a4==0,
即数列{an}的取值具有周期性,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2 019=S3×673=0.
17、已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an= .
【答案】2n-1
【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),
即an=2an-1+1,
∴an+1=2(an-1+1).
又a1=S1=2a1-1,∴a1=1.
∴数列{an+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,
∴an+1=2·2n-1=2n,
∴an=2n-1.
18、已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,且满足a2=4b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n3+n2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式.
【答案】(1) 2n (2) ,n∈N*
【解析】(1)当n=1时,S1=2a1-2,则a1=2.
当n≥2时,由得an=2an-2an-1,则an=2an-1,n≥2.
综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2n,n∈N*.
(2)∵a2=4b1=4,∴b1=1.
∵nbn+1-(n+1)bn=n3+n2,∴-=n,
故-=n-1,…,-=2,-=1,n≥2,
将上面各式累加得-=1+2+3+…+(n-1)=,
∴bn=,n∈N*.
19、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a∈R且a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
【答案】(1) (a-3)2n-1 (2) [-9,3)∪(3,+∞)
【解析】(1)由题意知,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2(Sn-3n),
又S1-31=a-3(a≠3),
故数列{Sn-3n}是首项为a-3,公比为2的等比数列,因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,
所以an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2,
当n≥2时,an+1≥an⇔12·n-2+a-3≥0⇔a≥-9.
又a2=a1+3>a1.
综上,所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).
20、已知{an}是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn,S4=2S2+4,数列{bn}中,bn=.
(1)求公差d的值;
(2)若a1=-,求数列{bn}中的最大项和最小项的值;
(3)若对任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,求a1的取值范围.
【答案】(1) 1 (2) 3 -1 (3) (-7,-6)
【解析】(1)∵S4=2S2+4,∴4a1+d=2(2a1+d)+4,解得d=1.
(2)∵a1=-,∴数列{an}的通项公式为an=-+(n-1)=n-,
∴bn=1+=1+.
∵函数f(x)=1+在和上分别是单调减函数,
∴b3<b2<b1<1,当n≥4时,1<bn≤b4,
∴数列{bn}中的最大项是b4=3,最小项是b3=-1.
(3)由bn=1+,得bn=1+.
又函数f(x)=1+在(-∞,1-a1)和(1-a1,+∞)上分别是单调减函数,且x<1-a1时,y<1;
当x>1-a1时,y>1.
∵对任意的n∈N*,都有bn≤b8,
∴7<1-a1<8,∴-7<a1<-6,
∴a1的取值范围是(-7,-6).
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