【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题24 平面向量的概念及其线性运算（含解析）
展开考点24 平面向量的概念及其线性运算
1．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试理）已知向量，向量，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形
2．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试理）已知向量，，若，则实数（ ）
A．2 B．-2 C． D．
4．（河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺一理）已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试）已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019年3月2019届高三第一次全国大联考理）已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则
A．25 B．7 C．5 D．
7．（山东省师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学理）设是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
8．（2019学年唐山市度高三年级第一次模拟考试）在中，，，，则（ ）
A． B．1 C． D．4
9．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月）在平行四边形中，若则( )
A． B． C． D．
10．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科）在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试）在△ABC中，，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试理科）设向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则（ ）
A． B． C． D．
13．（四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试）定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是（ ）
A． B．
C． D．
14．（江西省上饶市重点中学六校2019届高三第二次联考理）过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（ ）
A．或 B． 或
C．或 D．或
15．（陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三数学理）双曲线 的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
16．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考）已知向量与方向相同，，，则___________。
17．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）已知向量，，若，则的值为__________．
18．（广东省广州市2019届高三第二次模拟考试）若，是夹角为的两个单位向量，向量，则________.
19．（山东省济南市2019届高三3月模拟考试理）已知平面向量，满足，，，则与夹角的余弦值为_________.
20．（安徽省马鞍山市2019届高三高考一模理）已知向量，单位向量满足，则向量的坐标为______．
21．（福建省漳州市2019届高三第一次教学质量检查测试理）平面向量与的夹角为，，，则__________．
22．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试理）在三角形中，点满足，，若，则__________．
23．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）已知向量，，若，则__________．
24．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．
25．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试理）已知向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥， ，则______．
26．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二)理）圆与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，则__________．
考点24 平面向量的概念及其线性运算
1．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试理）已知向量，向量，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形
【答案】A
【解析】
画出图像如下图所示，由图可知满足勾股定理，故为等腰直角三角形.
2．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
存在实数，使得，
说明向量共线，当同向时，成立，
当反向时，不成立，所以，充分性不成立.
当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，
即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
3．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试理）已知向量，，若，则实数（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意，向量（m，2），（1，1），
则（m+1，3），
则||，||，||，
若||＝||+||，则有，
两式平方得到再平方得到
解可得：m＝2；
故答案为：A．
4．（河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺一理）已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
∵是线段的中点，∴==；
∵是线段的中点，∴=；
又=；
令，
则-=（，
∴，，解得，，∴，
故选C.
5．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试）已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设与的夹角为，由向量夹角公式得
，所以选D项．
6．（2019年3月2019届高三第一次全国大联考理）已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则
A．25 B．7 C．5 D．
【答案】D
【解析】
因为，且向量，的夹角为，
所以 ，所以．
本题选择D选项．
7．（山东省师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学理）设是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量
所以成立;反之不成立.
故选B．
8．（2019学年唐山市度高三年级第一次模拟考试）在中，，，，则（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】A
【解析】
由题 中，
又即 解得 故选A．
9．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月）在平行四边形中，若则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示,
平行四边形中, ,
，
，
,
因为,
所以
,
，
所以，故选C.
10．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科）在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：
，因此
，故本题选D.
11．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试）在△ABC中，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为
所以P为的重心，
所以,
所以,
所以
因为，
所以
故选：A．
12．（河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试理科）设向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为与共线，所以存在，使得，
即，故，，解得.
13．（四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试）定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
作出函数图像，它的图象在上的两端点分别为：,
所以直线的方程为：
设是曲线上的一点，，其中
由，可知三点共线，
所以点的坐标满足直线的方程，
又,,则
所以两点的横坐标相等.
故
函数在上满足“范围线性近似”
所以时，恒成立.
即：恒成立.
记，整理得：，
，当且仅当时，等号成立。
当时，
所以，所以.
即：
所以该函数的线性近似阈值是：
故选：B．
14．（江西省上饶市重点中学六校2019届高三第二次联考理）过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（ ）
A．或 B． 或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】设,因为G为的重心，所以,即.
由于三点共线，所以，即.
因为，，所以，即有，解之得或.故选B.
15．（陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三数学理）双曲线 的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由得P是的中点，
又因为,
所以,
因为,
所以,
因为在一条直线上，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C．
16．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考）已知向量与方向相同，，，则___________。
【答案】2.
【解析】
∵，∴，∵与方向相同，且，∴，
∴.
故答案为：2.
17．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）已知向量，，若，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
因为，，所以因为
，所以有.
18．（广东省广州市2019届高三第二次模拟考试）若，是夹角为的两个单位向量，向量，则________.
【答案】
【解析】
，；
∴；
∴．
故答案为：．
19．（山东省济南市2019届高三3月模拟考试理）已知平面向量，满足，，，则与夹角的余弦值为_________.
【答案】
【解析】
，即
设之间的夹角为，则
．
20．（安徽省马鞍山市2019届高三高考一模理）已知向量，单位向量满足，则向量的坐标为______．
【答案】或
【解析】
设向量，则，
又，则，
，
即，
联立，
解得或；
则向量的坐标为或
故答案为：或
21．（福建省漳州市2019届高三第一次教学质量检查测试理）平面向量与的夹角为，，，则__________．
【答案】
【解析】
因为平面向量与的夹角为，所以，
所以;
故答案为．
22．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试理）在三角形中，点满足，，若，则__________．
【答案】
【解析】
依题意有，所以，所以.
23．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）已知向量，，若，则__________．
【答案】.
【解析】
因为向量，，
所以
又因为
所以
故答案为．
24．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．
【答案】.
【解析】
在△ABC中，，BC边上的中线AD=3，，设AB＝c，AC＝b，
平方可得 9＝.
化简可得，，∴bc≤36，当且仅当时成立，
故△ABC的面积S＝
故答案为：
25．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试理）已知向量=（sin2α，1），=（cosα，1），若∥， ，则______．
【答案】
【解析】
向量=（sin2α，1），=（cosα，1），
若∥，则sin2αcosα=0，
即2sinαcosα=cosα；
又，∴cosα≠0，∴sinα=，∴．
故答案为：．
26．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二)理）圆与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，则__________．
【答案】.
【解析】
∵圆的圆心为M（-3，2），
∴圆关于M（-3，2）中心对称，
又曲线，关于（-3，2）中心对称，
∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，
不妨设与，与关于（-3，2）中心对称，则，,
∴ ，
故答案为.
.
