【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题43 直线、平面垂直的判定与性质（含解析）

考点43 直线、平面垂直的判定与性质
1．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学（理）如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.

（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度.
2．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）如图，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．

（1）求证：；
（2）求证：．
4．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为上一点，为中点.

（1）若平面，求证：为的中点；
（2）若，求证：平面.
5．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）如图四棱锥中，底面是正方形，，且，为中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
6．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

（1）求和平面所成的角的大小．
（2）求二面角的正弦值．
7．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．
（Ⅰ）证明：面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

8．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．

（1）证明：；
（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．
9．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且，

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小．
10．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）如图1，菱形中，，， 于．将沿翻折到，使，如图2．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）设为线段上一点，若平面，求的值．
11．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知三棱锥中，， .若平面分别与棱相交于点且平面.

求证:（1）；
（2）.
12．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）如图，，，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且..

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
13．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在三棱柱中平面平面，，是棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
14．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）在三棱柱中，，侧面底面，D是棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
15．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点（如图1）．沿将四边形折起，使得（如图2）．

（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
16．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱）中，CA⊥CB，CA＝CB＝CC1＝2，动点D在线段AB上．

（1）求证：当点D为AB的中点时，平面B1CD⊥上平面ABB1A1；
（2）当AB＝3AD时，求平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值．
17．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考数学理）在三棱柱中，侧面为菱形，，，，。

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值。
18．（甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学理）如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，．

（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）在如图所示的几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，， ．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）如图，矩形所在平面，，、分别是、的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.
21．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学理）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, .

（1）证明:平面平面;
（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.
22．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）如图，在平行六面体中，底面，，.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
23．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，为的中点，底面为等腰直角三角形，

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.


考点43 直线、平面垂直的判定与性质
1．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学（理）如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.

（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：∵，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
由题知，平面，
∴为平面的一个法向量，
设，则，∴，
设平面的一个法向量为，则，
∴，令，可得，
∴，得或（舍去），
∴.

2．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）如图，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】（1）取的中点，连接，，

在中，因为，分别为，的中点，
所以，且，
在三棱柱中，，
又为棱的中点，
所以且，
从而四边形为平行四边形，
于是，
又因为面，面，
所以平面.
（2）证明：在中，因为，为的中点，
所以，
又因为侧面底面，侧面底面，且面，
所以平面，
又面，
所以平面平面.
3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】(1)见详解；（2）见详解.
【解析】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，
所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，
又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．
（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，
所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，
又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，
所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，
又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，
因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．

4．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为上一点，为中点.

（1）若平面，求证：为的中点；
（2）若，求证：平面.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）连接，由四边形是正方形知，为中点
平面，面，面面

为中点 为的中点
（2）在四棱锥中，
四边形是正方形
为中点
又底面，底面
而四边形是正方形
平面， 平面
又平面
平面，
平面
5．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）如图四棱锥中，底面是正方形，，且，为中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：∵底面为正方形，
∴，
又，
∴平面，
∴.
同理，
∴平面 .
（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2

则，设为平面的一个法向量，
又，
，令，得.
同理是平面的一个法向量，
则.
∴二面角的正弦值为.
6．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

（1）求和平面所成的角的大小．
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）（2）
【解析】
解：（1）在四棱锥中，∵平面，平面，
∴．又，，∴平面．
故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（2）在四棱锥中，∵平面，平面，∴．
由条件，，∴平面．
又∵平面，∴．由，，可得．
∵是的中点，∴．又∵，∴平面．
过点作，垂足为，连接，如图所示．

∵平面，在平面内的射影是，
∴．∴是二面角的平面角．
由已知∵，∴设，
则，，，．
中，．
在中，∵，∴，得．
在中，．
所以二面角的正弦值为．
7．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．
（Ⅰ）证明：面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
证明：（Ⅰ ）取中点，连结、，
∵ ，，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，，，
∴ ，
∴ ，∴，
在中，，
又∵ 为的中点，∴，
又∵ ，∴．
解：（Ⅱ）∵，，，
∴ ，
以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴ ，，，
设面的法向量，
则，取，得，
同理，得平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则，
∴ 二面角的余弦值为．

8．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．

（1）证明：；
（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见证明(2)
【解析】
（1）
连结、且，连结．
因为，为菱形，所以，，
因为，，所以，，
因为，且、平面，
所以，平面，
因为，平面，所以，，
因为，平面，
且平面平面，
所以，，
所以，．
（2）
由（1）知且，
因为，且为的中点，
所以，，所以，平面,
所以与平面所成的角为，所以，
所以，，，因为，，所以，.
以，，分别为，，轴，如图所示建立空间直角坐标系
记，所以，，，，，，，，
所以， ，，
记平面的法向量为，所以，即，
令，解得，，所以，，
记与平面所成角为，所以，.
所以，与平面所成角的正弦值为.
9．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且，

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）如图，取的中点，连接.

因为，所以.
由平面侧面，且平面侧面，
得平面.
又平面，所以，
因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以
又，从而侧面，
又侧面，故．
(Ⅱ)由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，，，，.
设平面的一个法向量，由，，得.
令，得，则.
设直线与平面所成的角为，则，
所以，
解得， 即.
又设平面的一个法向量为，同理可得.
设锐二面角的大小为，则，
由，得.
∴锐二面角的大小为.

10．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）如图1，菱形中，，， 于．将沿翻折到，使，如图2．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）设为线段上一点，若平面，求的值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1
【解析】
（Ⅰ）在菱形中，因为，所以，．
所以．因为，，平面，平面，
所以平面．因为平面，
所以平面⊥平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，如图建立空间直角坐标系，
则 ，，,, ，
所以，,．
设平面的法向量，由
得所以令，则.所以．
所以，又 ,，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，,
设，则．
因为 平面，所以，即．
所以，即．所以．

11．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知三棱锥中，， .若平面分别与棱相交于点且平面.

求证:（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】证明（1）因为平面，平面平面,平面，所以有,同理可证出,根据平行公理，可得；
（2）因为，，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.
12．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）如图，，，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且..

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）E,F分别为AB ,AC边的中点,所以
因为
又因为 ，所以平面．
（Ⅱ）取BE的中点O,连接PO,
由（1）知平面,EF平面BCFE，,
所以平面PBE平面BCFE
因为PB=BE=PE,所以PO,
又因为PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE
所以PO .
过O作OM//BC交CF于M,分别以OB，OM，OP所在直线为
x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.


N为线段PF上一动点设,由,
得
设平面PCF的法向量为
则 即取
设直线BN与平面PCF所成角


直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为
13．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在三棱柱中平面平面，，是棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析；(2) .
【解析】
（1）取的中点,连接与交于点，连接，,
则 为的中点， ,且，所以是平行四边形.
又是棱的中点，所以 .
侧面底面，，且 ，，
所以平面 ，得平面，又平面，
所以平面平面.
（2）连接，因为，所以是等边三角形，设.
故 面 ，由已知可得 .以 分别为轴建立空间直角坐标系.
则 ， ，
设平面的法向量为 则，
所以 ，取 ，所以
设平面的法向量为
,
则，所以，取 ，
故 ，因为二面角为锐角，所以其余弦值为.

14．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）在三棱柱中，，侧面底面，D是棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】

解：（1）取的中点，连接与交于点，连接.
则为的中点，
因为三棱柱，
所以，且，
所以四边形是平行四边形.
又是棱的中点，所以.
因为侧面底面，且，
所以平面
所以平面
又平面，
所以平面平面
（2）连接，因为，所以是等边三角形，故底面。
设，可得，
分别以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
则

设平面的一个法向量为
则
所以，取
所以
又平面的一个法向量为
故
因为二面角为钝角，所以其余弦值为.
15．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）在直角梯形中，，，，，分别为，的中点（如图1）．沿将四边形折起，使得（如图2）．

（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）由题设条件，，则，又且
则平面，又平面
故平面平面
（2）如图，建立空间角坐标系，则， ，

设，则有，，
由知
解得
从而，，，
平面的法向量为
设平面的法向量为
由得取y=,得
则二面角的余弦值为
16．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱）中，CA⊥CB，CA＝CB＝CC1＝2，动点D在线段AB上．

（1）求证：当点D为AB的中点时，平面B1CD⊥上平面ABB1A1；
（2）当AB＝3AD时，求平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）∵在等腰Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴CD⊥AB，
又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴B1B⊥CD，∵AB∩B1B＝B，∴CD⊥平面ABB1A1，
又CD⊂平面B1CD，∴平面B1CD⊥上平面ABB1A1．
（2）如图，∵CA，CB，CC1两两垂直，
∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），D，
（0，2，2），，
设平面B1CD的法向量＝（x，y，z），则，令z＝1，得，
平面BB1C1C的法向量＝（2，0，0），
设平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的平面角为θ，
则cosθ＝ ，
∴平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值为．

17．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考数学理）在三棱柱中，侧面为菱形，，，，。

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值。
【答案】(1)见解析.(2) .
【解析】（1）
过点作交于点，连接OC，
在三角形AOC中，易得，
∵，
∴平面，∴，
∴在中，，
在中，，∴，
即二面角为直二面角，
∴平面平面；
（2）由（1）知直线两两垂直，故以为坐标原点，直线所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系
则，
∴。
设是平面的法向量，
则，即，
取，则，
∴平面的一个法向量为，
同理，平面的一个法向量为，
∴，
即二面角的余弦值为.
18．（甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考数学理）如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，．

（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析.(2) .
【解析】
（1）证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则 .
又，，
所以平面，所以.
因为，，所以是正方形，所以.
又，所以平面.
（2）因为四棱柱是直四棱柱，底面是矩形，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，
, ,
设平面的法向量为
由，，可得，
令，则，
设直线与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

19．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）在如图所示的几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，， ．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接交于点，因为是菱形，
所以，
∵平面，∴，
又平面，平面，，
∴平面，
∴平面ACF⊥平面BDEF．
（2）取的中点，连接，则，
∵平面，∴平面，∴两两垂直．
以所在直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），
则，，，，，

，，，
，,
则，，
所以，，且，
所以平面，
所以平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，
则，∴，
得，
令，
得平面的一个法向量，
从而.
即二面角的余弦值.
20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）如图，矩形所在平面，，、分别是、的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】如图，取中点，连接，.
（1）证明：∵，，为中点，
∴，，
∴是平行四边形，，
又∵，，
∴面，∴面面.
∵，为中点，面，
∴面，∵面，
∴平面平面.
（2）建立如图所示坐标系，

，，，，，，.
由（1）知面，
∴，.
∵直线与平面所成角的正弦值为，
∴由得.
设为面的法向量，则，.
由得，，
∵面，，设二面角为，为锐角，
则，
∴.
21．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学理）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, .

（1）证明:平面平面;
（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以.
在中，分别为的中点，所以，且.
于是在中， ，
所以为直角三角形，且.
因为，,所以.
因为，，，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，,
,,.
设平面的一个法向量为,
则即，取,得.
设平面的法向量,
则即，取,得.
所以，
又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

22．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）如图，在平行六面体中，底面，，.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析；（2）
【解析】 (1)
连接，，，以为原几何体是平行六面体，故得到是平行四边形，进而得到，因为且，
在三角形ABC中由余弦定理得到边，，进而得到，
又因为底面，
面..
(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：

设，，，
根据，设面的法向量为

设面的法向量为
，，
则两个半平面的夹角余弦值为：
23．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，为的中点，底面为等腰直角三角形，

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
（1）证明：为的中点，
又四边形为菱形，为的中点，
可得，，
平面，平面，
平面
（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

可知：，，，
，，
设平面的法向量
则，令，则，
设平面的法向量
则，令，则，
又二面角为锐二面角，设二面角为

即二面角的余弦值为：