【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题44 空间向量及其运算和空间位置关系（含解析）

考点44 空间向量及其运算和空间位置关系
1．（河北省示范性高中2019届高三4月联考数学理）在四棱柱中，，且，平面，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
2．（湖北省2019届高三4月份调研考试数学理）已知四棱锥中，底面，，，，.

（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）当直线与平面所成的角为45°时，求二面角的余弦值.
3．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，， ，为的中点.

（1）平面平面
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
4．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.

（Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
5．（河南省六市2019届高三第二次联考数学理）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
6．（天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考二理）如图所示，在多面体中，四边形为平行四边形，平面平面，，，，，,，点是棱上的动点.

（Ⅰ）当时，求证平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角所成角的余弦值为，求线段的长.
7．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且为中点，如图.

（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
8．（天津市部分区2019年高三质量调查试题二数学理）如图，DC⊥平面ABC，，，，P、Q分别为AE，AB的中点.

(1)证明：平面.
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求平面与平面所成锐二面角的大小。
9．（甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊数学理）如图所示，三棱锥中，平面平面，平面平面，分别是和边上的点，且，，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
10．（北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控试题数学理）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为上的一点， 平面 ；

（1）求证：为的中点;
（2）求证：
（3）设二面角为60°，，，求长.
11．（河北省张家口市、沧州市2019届高三3月联考数学A类理）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A＝A1B1，∠AA1B＝90°．
（1）平面A1C1B∩平面ABC＝l，证明：A1C1∥l；
（2）求平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值．

12．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，.

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
13．（陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三数学理）如图所示的多面体中，是菱形， 是矩形，平面，，，.

（1）求证：平面平面 ；
（2）在线段上取一点，当二面角的大小为时，求.
14．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）在多面体中，四边形是正方形，平面平面，.

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
15．（山西省太原市2019届高三模拟试题一)理）如图，在五面体中，面是直角梯形，，，面是菱形，，，.

（I）证明：；
（I）已知点在线段上，且，若二面角的大小为，求实数的值.
16．（甘肃省2019年高三第二次高考诊断考试理）等腰直角三角形中，，点在边上，垂直交于，如图①.将沿折起，使到达的位置，且使平面平面，连接，，如图②.

（Ⅰ）若为的中点，，求证：；
（Ⅱ）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
17．（江西省上饶市重点中学六校2019届高三第二次联考理）在四棱锥中，为梯形，，，，，，.

（1）在线段上有一个动点，满足且平面，求实数的值；
（2）已知与的交点为，若，且平面，求二面角平面角的余弦值.
18．（山东省聊城市2019届高三二模4月考试数学理）如图，四边形是边长为2的正方形，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学理）如图，在四棱锥中，平面，点为中点，底面为梯形，，，.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.
20．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）如图，在三棱柱中，，.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若是棱的中点，求二面角的余弦值.
21．（山东省2019年高三4月模拟训练数学理）如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.































考点44 空间向量及其运算和空间位置关系
1．（河北省示范性高中2019届高三4月联考数学理）在四棱柱中，，且，平面，．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，
又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC，
∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，
∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
又因为平面，所以，又所以平面，
因为平面，所以.
（2）以，的交点为原点，过O作平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及，知，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由，得，
所以，令，得.
设与平面所成的角为，则 .

2．（湖北省2019届高三4月份调研考试数学理）已知四棱锥中，底面，，，，.

（1）当变化时，点到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）当直线与平面所成的角为45°时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】（1）由，，知，则，
由面，面得，由，，面，
则面，则点到平面的距离为一个定值，.
（2）由面，为在平面上的射影，则为直线与平面
所成的角，则，所以.
由，得，故直线、、两两垂直，因此，以点
为坐标原点，以、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间
直角坐标系，易得，，，于是，，
设平面的法向量为，则，即，取，则
，，于是；显然为平面的一个法向量，
于是，
分析知二面角的余弦值为.
3．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，， ，为的中点.

（1）平面平面
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：由题意知，四边形为矩形，所以，
又∵四边形为菱形，为中点，
所以，，，所以，所以，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面
（2）假设线段上存在点，使二面角的大小为，在上取一点，
连接，.
由于四边形是菱形，且，是的中点，可得.
又四边形是矩形，平面平面，∴平面，
所以建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
则，，设平面的法向量为，
则，∴，令，则，
又平面的法向量，
所以，解得，
所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时.

4．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.

（Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.
∴平面平面，∴平面；

（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，不妨设，则，
得，，，，
得，.
设平面的法向量为，则，得，
同理可得平面的法向量为，
∴，∴二面角的余弦值为.
5．（河南省六市2019届高三第二次联考数学理）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：因为，，
所以，
又平面平面，且平面平面，
所以平面.
又平面，所以，
因为为中点，且为等边三角形，所以.
又，所以平面.
（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，所以平面，
所以，由，，
可知，所以.
以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

所以，，，，，
所以，，
由（1）知，为平面的法向量，
因为为的中点，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
由，得，
取，则.
所以 .
因为二面角为钝角，
所以，二面角的余弦值为.
6．（天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考二理）如图所示，在多面体中，四边形为平行四边形，平面平面，，，，，,，点是棱上的动点.

（Ⅰ）当时，求证平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角所成角的余弦值为，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）由已知得且， 则四边形为平行四边形
四边形为平行四边形
又平面，平面 平面
（Ⅱ）过点作交于点， 过点作交于点
平面平面，平面平面，平面
平面

以为原点建立如图的空间直角坐标系

则，，，，，
设平面的法向量为，，
，即
令 ，
又
直线与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ），
设平面的法向量为，，
，即，令 ，

又可取平面的法向量

解得


7．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，且为中点，如图.

（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
（1）证明：是等腰直角三角形，为中点，
平面
平面平面平面
（2）
平面
为二面角的平面角，
为等边三角形，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则

设平面的法向量，则即
取
设与平面所成角为，则

故平面所成角的正弦值为.

8．（天津市部分区2019年高三质量调查试题二数学理）如图，DC⊥平面ABC，，，，P、Q分别为AE，AB的中点.

(1)证明：平面.
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求平面与平面所成锐二面角的大小。
【答案】(1)见证明；(2) (3)
【解析】（1）证明：因为分别是的中点，
所以，，
又，
所以，，平面，
平面，
所以，平面.
（2）因为平面
以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.
则得，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值.
（3）由（Ⅱ）可知，，
设平面的法向量为
， .
由已知可得平面的法向量为以，
所以.
故所求平面与平面所成锐二面角的大小为.
9．（甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊数学理）如图所示，三棱锥中，平面平面，平面平面，分别是和边上的点，且，，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）平面平面，平面平面，平面平面
则平面，
又，则
因为，，，
所以，，
在中，，，
由余弦定理可得：
解得：
所以，所以是直角三角形，
又为的中点，所以
又，所以为等边三角形，
所以，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.
所以，，.
设为平面的法向量，则，即
设，则，，即平面的一个法向量为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
10．（北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控试题数学理）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为上的一点， 平面 ；

（1）求证：为的中点;
（2）求证：
（3）设二面角为60°，，，求长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】
（1）连交于点，连结，
因为平面，PB⊂平面PBD，平面平面，
∴，
∵为中点，∴为中点.

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD．
∴CD⊥AE．
（3）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示，
设AB＝a，则A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），
∴（a，，0），（0，，），（0，0，1），
显然（1，0，0）为平面AED的一个法向量，
设平面ACE的法向量为（x，y，z），则，即，
令z得（，﹣1，），
∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴|cos|＝||，
解得a，即AB．

11．（河北省张家口市、沧州市2019届高三3月联考数学A类理）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，上、下底面的面积之比为1：4，侧面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A＝A1B1，∠AA1B＝90°．
（1）平面A1C1B∩平面ABC＝l，证明：A1C1∥l；
（2）求平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：在三棱台ABC﹣A1B1C1中，可得A1C1∥AC，
且A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以A1C1∥平面ABC，
又A1C1⊂平面A1C1B，平面A1C1B∩平面ABC＝l，
所以A1C1∥l．
（2）根据题意，以AB的中点为原点，AB为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．

由于，
∴，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
∴．
由题意知，平面ABC的法向量为．
∴，
∴．
即平面A1C1B与平面ABC所成二面角的正弦值为．
12．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，.

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见证明（2）
【解析】（1）因为平面平面，且.
所以平面，所以.
又因为，，
所以平面，所以.
又因为，
所以平面.
（2）以为原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图空间直角坐标系.

作于，连接，
因为平面平面，
所以平面，即为直线与平面所成的角，
故，所以.
中，令，则，
解得，
故，，.
设平面的一个法向量为，
则，
所以，可取.
又因为平面的一个法向量为，
故.
综合图形可知，所求二面角的余弦值为.
13．（陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三数学理）如图所示的多面体中，是菱形， 是矩形，平面，，，.

（1）求证：平面平面 ；
（2）在线段上取一点，当二面角的大小为时，求.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
（1）取AE的中点M.由于ED⊥面ABCD，ED//FB，
∴DE⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB，又ABCD是菱形，BDEF是矩形，
所以△ADE，△CDE，△ABF，△CBF是全等直角三角形，AE=AF，CE=CF，
所以AM⊥EF，CM⊥EF，∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角
经计算，，
所以，即.
所以平面AEF⊥平面CEF.
（2）以AC与BD交点O为坐标原点，0A、OB分别为轴建立直角坐标系，由AD=BD=2，则A(,0,0)，M(0,O,)，C(﹣,0,0)，E(0,﹣1,)，
F(0,1,)，.
平面CEF的一个法向量.
设，则，
，
设平面NEF的法向量，则
得，
令，则，得.
因为二面角的大小为60°，
所以，
整理得，解得
所以.
14．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）在多面体中，四边形是正方形，平面平面，.

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.
【解析】 (1)∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，
正方形中CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE.
(2)由（1）知平面ABCD⊥平面AED.
在平面DAE内，过D作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，

以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，
设，则.
设平面FAG的一个法向量，则，
，即，
令可得：，
易知平面EAD的一个法向量，
由已如得.
化简可得：，即.
15．（山西省太原市2019届高三模拟试题一)理）如图，在五面体中，面是直角梯形，，，面是菱形，，，.

（I）证明：；
（I）已知点在线段上，且，若二面角的大小为，求实数的值.
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】（1）证明：是菱形，，，
，，，
，， ，
面，；.
（2）由（I）知以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立如下图的空间直角坐标系，

由题设可得，，，，，.，
设是平面DFP的一个法向量，则
令，则=，，
由（1）可知是平面的一个法向量，
二面角的大小为60°，
，.
16．（甘肃省2019年高三第二次高考诊断考试理）等腰直角三角形中，，点在边上，垂直交于，如图①.将沿折起，使到达的位置，且使平面平面，连接，，如图②.

（Ⅰ）若为的中点，，求证：；
（Ⅱ）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（I） ，，∩=D
平面，
又在图①中，，
，
平面，而平面，
，
，是的中点，

平面，而平面，
.

（Ⅱ）设，由，三棱锥的体积，
得三棱锥的体积最大时，.
，
以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
则，，，.
设面的法向量为
则

令则，，则
设面的法向量为
则

令则，，则

所以二面角的余弦值为.

17．（江西省上饶市重点中学六校2019届高三第二次联考理）在四棱锥中，为梯形，，，，，，.

（1）在线段上有一个动点，满足且平面，求实数的值；
（2）已知与的交点为，若，且平面，求二面角平面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）延长、交于点.连接，如图，

，平面，平面平面,

.
在梯形中，，，所以,所以,即.
（2）在梯形中,
所以,即.所以.
因为,所以.
因为所以 ，所以，
由勾股定理.
又因为.，同理.
又因为.且平面平面 ，所以 平面.
从而直线PM，直线，直线相互垂直，
以为原点，分别以，,所在直线分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，


易得，，
设平面的法向量为，易得，
从而解得，，
令可得.易知平面的法向量为
则，
所以二面角平面角的余弦值为.
18．（山东省聊城市2019届高三二模4月考试数学理）如图，四边形是边长为2的正方形，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）因为四边形是正方形，所以折起后，且，
因为，所以是正三角形，所以.
又因为正方形中，为的中点，所以，所以，
所以，所以，又因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）取中点，连结，，则，，
又，则平面.又平面，所以平面平面.
在平面内作于点，则平面.
以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.
在中，，，.
∴，，故，，，
∴，.
设平面的一个法向量为，则由，得
，令，得，，
∴.
因为平面的法向量为，
则，
又二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.

19．（安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学理）如图，在四棱锥中，平面，点为中点，底面为梯形，，，.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）如图，取中点，连接，.
∵是中点，
∴，.
又，，
∴，.
∴四边形为平行四边形.
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）取中点，由已知为正方形，又平面，故以为原点，，，为，，轴建立如图所示直角坐标系，
设，则，，，，，
则，，设平面的法向量，则有，，解得.
同理可求得平面的法向量，
∴，即平面与平面所成锐二面角的大小为.

20．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）如图，在三棱柱中，，.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若是棱的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）因为，，又，
所以平面.
又平面，所以.
设，所以，所以，所以.
又，所以平面，
因为平面，所以.
（Ⅱ）

由（Ⅰ）知，直线，，两两互相垂直.如图，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
所以，.
设平面的法向量为，则，所以.
取，则.
而平面的一个法向量为，
所以.
易知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
21．（山东省2019年高三4月模拟训练数学理）如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：

在中，
是直角三角形
又为的中点，
是等边三角形，

又平面平面
平面
（2）

由（1）可知，以点为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

设为平面的法向量，则即
设，则
设为平面的法向量，则即
设，则

二面角的余弦值为．