【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题47 两直线的位置关系、距离公式（含解析）

考点47 两直线的位置关系、距离公式
1．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）长方体中，， ，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知双曲线的左右焦点分别为，以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于两点，则四边形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试二理）双曲线的两条渐近线分别为，，为其一个焦点，若关于的对称点在上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试二理）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试一理）已知是椭圆的右焦点，直线与相交于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（湖南省三湘名校（五市十校)2019届高三下学期第一次联考数学理）如图，是坐标原点，过的直线分别交抛物线于、两点，直线与过点平行于轴的直线相交于点，过点与此抛物线相切的直线与直线相交于点.则（ ）

A． B． C． D．
11．（江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )
A． B． C． D．
12．（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学理）若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( )
A．2 B．4 C． D．
13．（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测一模数学理）直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（广东省惠州市2019届高三第三次调研考试数学理）已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
15．（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月)诊断性考试数学理）已知是焦距为8的双曲线的左右焦点，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
16．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理）在极坐标系中，极点到直线的距离为________.
17．（陕西省渭南市2019届高三二模数学理）已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____．
18．（北京市朝阳区2019届高三第一次3月综合练习一模数学理）双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．
19．（云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测理）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．
20．（湖南师大附中2019届高三月考试题数学理）设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为__________．
21．（甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学理）设，，那么的最小值是__________．
22．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.
23．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.
24．（湖南省衡阳市2019届高三第二次联考二模)数学理）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，设为：上的动点，点为在轴上的投影，动点满足，点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点，为直线上两点.
（1）求的参数方程；
（2）是否存在，使得的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由.
25．（四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学理）在直角坐标系中,曲线:(为参数,在以为极点; 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线：.
(1)若,判断直线与曲线的位置关系;
(2)若曲线上存在点到直线的距离为,求实数的取值范围.
26．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试数学理）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线，曲线．
（1）求的直角坐标方程；
（2）已知曲线与轴交于两点，为上任一点，求的最小值．














考点47 两直线的位置关系、距离公式
1．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）长方体中，， ，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
将长方体中含有的平面取出，过点作，垂足为，延长到，使，则是关于的对称点，如图所示，过作，垂足为，连接，，依题意，，，，，，，，所以.
故选.

2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知双曲线的左右焦点分别为，以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于两点，则四边形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
因为双曲线的左右焦点分别为
双曲线的渐近线方程为，即其中一条渐近线方程为
以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A，B两点
根据焦点到渐近线的距离及双曲线中 的关系
可得
所以解得，
进而可求得切点
则四边形的面积为
故选：D
3．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
依据题意作出图像如下：

设点关于直线的对称点为，
则它们的中点坐标为：，且
由对称性可得：，解得：，
所以
因为，所以当三点共线时，最大
此时最大值为
故选：A
4．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试二理）双曲线的两条渐近线分别为，，为其一个焦点，若关于的对称点在上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
不妨取，
设其对称点在，
由对称性可得：，解得：，
点在，则：
，整理可得：，
双曲线的渐近线方程为：.
故选：D.
5．（广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试二理）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设,则，选D.
6．（甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.
7．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设内切圆半径为，则，，
，内切圆圆心为，
由知，
又，所以方程为，
由内切圆圆心到直线距离为，
即
得，所以方程为.
故选D项
8．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试一理）已知是椭圆的右焦点，直线与相交于两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解得，即

右焦点到直线的距离为


故选C项.
9．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得，圆方程即为，
∴圆心坐标为，半径为1．
设圆心关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，
∴所求圆的圆心坐标为，
∴所求圆的方程为．
故选D．

10．（湖南省三湘名校（五市十校)2019届高三下学期第一次联考数学理）如图，是坐标原点，过的直线分别交抛物线于、两点，直线与过点平行于轴的直线相交于点，过点与此抛物线相切的直线与直线相交于点.则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
过E（p，0）的直线分别交抛物线y2＝2px（p＞0）于A、B，两点为任意的，不妨设直线AB为x＝p，由，解得y＝±，
则A（p，﹣），B（p，），
∵直线BM的方程为y＝x，直线AM的方程为y＝-x，
解得M（﹣p，﹣），∴|ME|2＝（2p）2+2p2＝6p2，
设过点M与此抛物线相切的直线为y+＝k（x+p），
由，消x整理可得ky2﹣2py﹣2+2p2k＝0，
∴△＝4p2﹣4k（﹣2+2p2k）＝0，
解得k＝，
∴过点M与此抛物线相切的直线为y+p＝（x+p），
由，解得N（p，2p），
∴|NE|2＝4p2，
∴|ME|2﹣|NE|2＝6p2﹣4p2＝2p2，
故选：C．
11．（江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设P（），则Q（2，2），
当≠0时，
kAP，kPM，
直线PM：y﹣（x﹣），①
直线QB：y﹣0（x），②
联立①②消去y得x，
∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，
当＝0时，易求得|x|＝1，
故选：A．
12．（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学理）若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( )
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】
因为双曲线的焦距为，
所以，即；
所以其中一个焦点坐标为，渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
故选B
13．（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测一模数学理）直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
令代入可得，圆心坐标为，
则与圆心的距离为，半径为6，
可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。
故答案为A.
14．（广东省惠州市2019届高三第三次调研考试数学理）已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
直线为，又直线与圆有两个交点，
故，∴，故选B．
15．（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月)诊断性考试数学理）已知是焦距为8的双曲线的左右焦点，点关于双曲线的一条渐近线的对称点为点，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】
如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，
AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，
所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,
故选C.

16．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理）在极坐标系中，极点到直线的距离为________.
【答案】
【解析】
极坐标方程化为直线方程即：x＋y－2＝0，
极点坐标即（0,0），所以距离为：.
17．（陕西省渭南市2019届高三二模数学理）已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____．
【答案】2.
【解析】双曲线的一条渐近线为
解得：
双曲线的右焦点为
焦点到这条渐近线的距离为：
本题正确结果：
18．（北京市朝阳区2019届高三第一次3月综合练习一模数学理）双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．
【答案】1
【解析】
由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，
渐近线方程为：，即，
则焦点到渐近线的距离为：.
故答案为：．
19．（云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测理）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据题意，直线，即，
则有，解可得，则直线恒过点．
设，又由与直线垂直，且为垂足，
则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，
所以；即的取值范围是；
故答案为：．
20．（湖南师大附中2019届高三月考试题数学理）设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
如图：由点关于直线的对称点为，可知FHOH，又F(1,0)到渐近线l:y=的距离为，即FH=b，OH=a，

∴PF=2b，PE=2a，由双曲线的定义可知2b-2a=2a，∴b=2a，又c2＝b2+a2＝5a2，
∴e．
故答案为．
21．（甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学理）设，，那么的最小值是__________．
【答案】2
【解析】
由题意，令，原式可化为，其几何意义是动点和的距离的平方，又曲线与曲线关于直线对称，过曲线上的点且平行于直线的切线为，过曲线上的点且平行于直线的切线为，则两切线间的距离为，故的最小值是2.
22．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由，得到
，
直线普通方程为：
设，则点到直线的距离：

当时，
点到直线的距离的最小值为
（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，
对任意恒成立
，其中，.
从而
由于，解得：
即：
23．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1），直线的方程为，
由，联立，
得，，
，
，
抛物线的方程为：.
（2）设，，直线的方程为：，
联立方程组消元得：，
∴，.
∴ .
设直线的方程为，
联立方程组解得，
又，∴.
同理得.
∴ .
令，，则.
∴ .
∴当即时，取得最小值.
此时直线的方程为，即.
24．（湖南省衡阳市2019届高三第二次联考二模)数学理）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，设为：上的动点，点为在轴上的投影，动点满足，点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点，为直线上两点.
（1）求的参数方程；
（2）是否存在，使得的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）设，，则.
由得：.
（2）依题，直线：，设点，设点到直线的距离为， .
将代入，得，，.
，∵，故存在符合题意的点，且存在两个这样的点.
25．（四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学理）在直角坐标系中,曲线:(为参数,在以为极点; 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线：.
(1)若,判断直线与曲线的位置关系;
(2)若曲线上存在点到直线的距离为,求实数的取值范围.
【答案】（1）相切；（2）.
【解析】
（1）由题意得曲线：（为参数），
曲线的直角坐标方程为：，是一个圆，圆心，半径为.
直线，可得直线l的直角坐标方程为：
圆心到直线的距离，所以直线与圆相切 .
（2）由已知可得：圆心到直线的距离，
解得：
26．（湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试数学理）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线，曲线．
（1）求的直角坐标方程；
（2）已知曲线与轴交于两点，为上任一点，求的最小值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）由，得，
即的直角坐标方程为；
由，得，
即的直角坐标方程为．
（2）与轴交于点，
而关于直线的对称点为，
．