【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题51 双曲线（含解析）
展开考点51 双曲线
1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线在轴上方的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C：的左、右焦点分别|为、，点P在C上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别是，若点是抛物线的准线与的渐近线的一个交点，且满足，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设和为双曲线的两个焦点，若是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，其中在左支上，在右支上.若，则（ ）
A． B．8 C． D．4
9．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理）在矩形中，，以，为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理）已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
11．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知双曲线：的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于，两点，若四边形是菱形，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
12．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）双曲线的一个焦点为，若、、成等比数列，则该双曲线的离率 （ ）
A． B． C． D．
13．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）已知双曲线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线在点处的切线过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
14．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
15．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）已知双曲线的左、右焦点分别为点，，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
17．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，c=2,，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
18．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）已知是双曲线的左、右焦点，若点关于渐近线的对称点也在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
19．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）双曲线：的左右焦点分别为，，的右支上一点满足，若坐标原点到直线距离是，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
22．（017届湖南省高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学理）双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为__________．
23．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点在曲线上，若中，，则双曲线的渐近线方程为______.
24．已知双曲线：的左、右焦点为、，过且斜率为的直线与的一条渐近线在第一象限相交于点，若，则该双曲线的离心率为______.
25．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是____________.
26．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为______.
考点51 双曲线
1．（天津市河西区2018-2019学年高三第二学期总复习质量调查二)数学试题理）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线在轴上方的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以,
由，得
解得，所以
不妨设,则,
因此，
，
或，
因为点在轴上方，所以
因此，选B.
2．（陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟练习数学理）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
已知双曲线的渐近线方程为，且，所以，得.
，所以双曲线的离心率为.
故选：B
3．（天津市河北区2019届高三一模数学理）在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
4．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）双曲线C：的左、右焦点分别|为、，点P在C上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）
又|PF1|+|PF2|＝3b，所以，
两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．
故e．
故选：B．
5．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别是，若点是抛物线的准线与的渐近线的一个交点，且满足，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
对于，的离心率为，不合题意；
对于，的离心率为，不合题意；
对于，的离心率为，不合题意；
对于，的离心率为，符合题意.
故选C.
6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
连接,由双曲线的定义可得:, ,由,可得,在中,可得,在中,可得,由，可得,即有,可得,化为,得,解得 ,负值舍去,故选C.
7．（2017届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学理）设和为双曲线的两个焦点，若是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题设可知，即，应选答案B。
8．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，其中在左支上，在右支上.若，则（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】A
【解析】
由可知，.由双曲线定义可知，，，两式相加得，.
故选：A
9．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理）在矩形中，，以，为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，可设双曲线方程为，由题意双曲线过点，代入得，，
由，所以，故.
故选C.
10．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理）已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
双曲线：的焦点到渐近线的距离为，
可得：，可得，，则的渐近线方程为．
故选A．
11．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知双曲线：的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于，两点，若四边形是菱形，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：双曲线：的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于，两点，若四边形是菱形，
可得，可得．
故选：A．
12．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）双曲线的一个焦点为，若、、成等比数列，则该双曲线的离率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为成等比数列，
所以，
，
所以，因为，
所以．
故选B．
13．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）已知双曲线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线在点处的切线过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】
设, 左焦点,抛物线在第一象限对应的函数为，
函数的导数，则在P处的切线斜率，
又切线过焦点，所以，解得，则 ，设右焦点坐标为，
则，即，
所以，故选D.
14．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
15．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）已知双曲线的左、右焦点分别为点，，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由可得准线方程为：（过点）
设到准线的距离为，则
又，
四边形为平行四边形 轴
又，则，即：
解得：
本题正确选项：
16．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】
焦点在x轴时
，
焦点在y轴时，.
故选B.
17．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，c=2,，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：由题意可得，可得，
可得，可得a=1，，
可得渐近线方程为：，可得双曲线的渐近线的夹角为，
故选D.
18．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）已知是双曲线的左、右焦点，若点关于渐近线的对称点也在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
因为双曲线方程为，所以其中一条渐近线方程为，
又是双曲线右焦点，记；
设点关于渐近线的对称点为，
则有，解得即，
又点在双曲线上，
所以，整理得，
所以离心率为.
故选D
19．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由“方程表示双曲线”得：，即或，
又“”是“或”的充分不必要条件，
即“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A．
20．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题，取点P为右支上的点，设
根据双曲线的定义知：
在三角形中，由余弦定理可得：
又因为 可得
即
又因为
所以
即
故选B
21．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）双曲线：的左右焦点分别为，，的右支上一点满足，若坐标原点到直线距离是，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
分别过，作直线的垂线，垂足为，显然, 是的中点,所以=,在中, ,由双曲线的定义,可知:
,在中，
,故本题选B.
22．（017届湖南省高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学理）双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
设直线与圆相切于点 ，
则 ，
取的中点 ,连接 ，
由于,则 ，
由，
则，
即有，
由双曲线的定义可得，
即，即，
,即，，即，
则.故答案为：.
23．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点在曲线上，若中，，则双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
如图，过B作BM⊥x轴，
∵∠PBA＝∠PAB，则∠PAB＝∠PBM，
∴∠PAB+∠PBx．即kPA•kPB＝1．
设P（x，y），又A（﹣a，0），B（a，0）．
，∴x2﹣y2＝a2，
∴a＝b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
故答案为：y＝±x
24．已知双曲线：的左、右焦点为、，过且斜率为的直线与的一条渐近线在第一象限相交于点，若，则该双曲线的离心率为______.
【答案】3
【解析】
∵，∴是直角三角形，又是中点，∴，又在双曲线渐近线上，∴，∴，变形可得：，，∴，.故答案为3.
25．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
设为半焦距，则，又，
所以，
以为直径的圆的方程为：，因为，，
所以与线段有两个交点（不含端点），
所以 即，故，
解得.故填.
26．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
设切点为，连接，过作，垂足为，如下图：
由圆的切线性质可知：,，由三角形中位线定理可知：，，在中，，在中，，所以，，由双曲线定义可知：，
即，所以，而，所以，因此，即双曲线的离心率为.
