【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题67 坐标系（含解析）

考点67 坐标系
1．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知是曲线上任意两点，且，求面积的最大值.
2．（黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟七数学理）在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.
3．（四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考数学试卷理）在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.
4．（河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积.
5．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理）在平面直角坐标系中设倾斜角为的直线的参数方程为为参数）．在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点．
（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若为与的等比中项，其中，求直线的斜率．
6．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于，两点，，的中点为，点，求的值.
7．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程.
8．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）在直角坐标系中，，，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形的面积最大时，求点P的直角坐标.
9．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理）选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.
10．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理）在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线：（为参数）被圆截得的弦长为，求直线的倾斜角.
11．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），曲线．
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求、的极坐标方程；
（2）射线：与异于极点的交点为，与的交点为，求的大小．
12．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.
13．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）极坐标中，过点作曲线的切线，求直线的极坐标方程.
14．（江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为。
（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求。
15．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）求直线被曲线所截得的弦长.
16．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）选修4-4:极坐标与参数方程:在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.
17．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线相交于两点、，求的值.
18．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理）在极坐标系中，极点到直线的距离为________.
19．（天津市新华中学2019届高三高考模拟数学理）已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设点是曲线上的一个动点，则到直线距离的取值范围是___________________.
20．（天津市芦台一中2019届高三第四次模拟考试数学理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.在直线上任取一点，由点向曲线引切线，则切线长的最小值为______.
21．（天津市河北区2019届高三二模数学理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，若直线与圆交于，两点，则线段的长度为__________．
22．（津市南开区南开中学2019届高三第五次月考）已知曲线的参数方程为为参数），点为其焦点,在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,点分别在曲线和的实线部分上运动（如图所示），且总是平行于轴，则的周长的取值范围是________.

23．（天津市红桥区2019届高三二模数学理）极坐标系中，曲线与的两个交点之间的距离为_______．
24．（天津市河西区2019届高三一模数学理）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则的长度为______________.



考点67 坐标系
1．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知是曲线上任意两点，且，求面积的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
（1）消去参数，得到曲线的普通方程为：
故曲线的极坐标方程为：
（2）在极坐标系中，不妨设 ，，其中，
由（1）知：，.
面积

当时，即 ， 有最大值 .此时
故面积的最大值为
2．（黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟七数学理）在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.
【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).
【解析】
（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，
整理可得直角坐标方程为，
的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.
（2）设曲线与轴异于原点的交点为，
∵，∴过点，
设直线的参数方程为（为参数），
代入可得，解得或，
可知，
代入可得，解得，
可知，
所以，
当且仅当时取等号，
所以线段长度的最小值为.
3．（四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考数学试卷理）在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.
【答案】(1) (2)3
【解析】（1）把，展开得，
两边同乘得①．
将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①，
即得曲线的直角坐标方程为②．
（2）将代入②式，得，
点M的直角坐标为（0，3）．
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3. t1.t2=3
∴ t1＜0， t2＜0
则由参数t的几何意义即得.
4．（河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线，（）与曲线，分别交于两点，设定点，求的面积.
【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．
设，则，则有．
所以，曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，
，
则．
5．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理）在平面直角坐标系中设倾斜角为的直线的参数方程为为参数）．在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点．
（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若为与的等比中项，其中，求直线的斜率．
【答案】（1）,；（2）.
【解析】（1）因为，所以直线的参数方程为（为参数）.
消可得直线的普通方程为.
因为曲线的极坐标方程可化为，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线上两点对应的参数分别为，，
将代入曲线的直角坐标方程可得，
化简得，
因为，，
所以，解得.
因为
即，可知，解得，
所以直线的斜率为.
6．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与交于，两点，，的中点为，点，求的值.
【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）3.
【解析】
（1）曲线的普通方程为.
由，，得曲线的直角坐标方程为.
（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为.
点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），
代入化简得，所以，.
因为点对应的参数为，
所以
.
7．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】（Ⅰ）消去参数，可得曲线的普通方程为，
.由
所以曲线的极坐标方程为.
（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则无交点.
设直线的方程为，即.
而，则圆心到直线的距离.
又，所以，解得.
所以直线的方程为或.
8．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）在直角坐标系中，，，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)动点P是曲线C在第一象限的点，当四边形的面积最大时，求点P的直角坐标.
【答案】（1）（2）四边形的面积时，P点为.
【解析】
(1),整理得
(2)由动点P是曲线C在第一象限的点，设点
设四边形的面积为S，
则
所以当时，S最大，此时P点．
9．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理）选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
解：（1），
其普通方程为，化为极坐标方程为
（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为
联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离，
故的面积.
10．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理）在直角坐标系中，圆的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线：（为参数）被圆截得的弦长为，求直线的倾斜角.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
（1）圆：，消去参数得：，
即：，∵，，.
∴，
.
（2）∵直线：的极坐标方程为，
当时.
即：，∴或.
∴或，
∴直线的倾斜角为或.
11．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），曲线．
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求、的极坐标方程；
（2）射线：与异于极点的交点为，与的交点为，求的大小．
【答案】(1) 的极坐标方程为,的极坐标方程为 ;(2).
【解析】
（1）由得，即，
所以的极坐标方程为，即；
由得的极坐标方程为：
（2）联立得，
联立得，
所以.
12．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由，得到
，
直线普通方程为：
设，则点到直线的距离：

当时，
点到直线的距离的最小值为
（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，
对任意恒成立
，其中，.
从而
由于，解得：
即：．
13．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）极坐标中，过点作曲线的切线，求直线的极坐标方程.
【答案】
【解析】
曲线的直角坐标方程为：
点的直角坐标为 点在圆上，又因为圆心
故过点的切线为
所求的切线的极坐标方程为：．
14．（江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为。
（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求。
【答案】（1）直线l的普通方程为；圆C的直角坐标方程为；（2）.
【解析】
(1)由直线的参数方程(为参数)得直线的普通方程为
由,得,即圆的直角坐标方程为。
(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，
即，
由于>0,
故可设，是上述方程的两个实根，
所以
又直线过点P(3,)，
故．
15．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）求直线被曲线所截得的弦长.
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为.直线的普通方程为.（2）
【解析】
（1）因为曲线的极坐标方程可化为.
且，，
所以曲线的直角坐标方程为.
直线：（为参数）的普通方程为.
（2）圆心到直线：的距离为，
又因为半径为1，所以弦长为.
16．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）选修4-4:极坐标与参数方程:在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.
【答案】
【解析】
直线
设点，∴

当且仅当，即时取“”
所以到直线距离的最大值为.
17．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线相交于两点、，求的值.
【答案】(1) 直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程是. (2)
【解析】
（1）消去参数t得直线的普通方程为；
因为，所以，由
所以曲线的直角坐标方程是.
（2）点是直线上的点，设，两点所对应的参数分别为，
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得 .
方程判别式，可得，.
于是.
18．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理）在极坐标系中，极点到直线的距离为________.
【答案】
【解析】
极坐标方程化为直线方程即：x＋y－2＝0，
极点坐标即（0,0），所以距离为：.
19．（天津市新华中学2019届高三高考模拟数学理）已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设点是曲线上的一个动点，则到直线距离的取值范围是___________________.
【答案】
【解析】
直线的参数方程为（为参数）化为普通方程即：，
曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程即：，
圆心到直线的距离：，
则直线与圆相离，据此可得：到直线距离的取值范围是.
20．（天津市芦台一中2019届高三第四次模拟考试数学理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.在直线上任取一点，由点向曲线引切线，则切线长的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以当垂直直线时，点向曲线所引切线长最小为.
21．（天津市河北区2019届高三二模数学理）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，若直线与圆交于，两点，则线段的长度为__________．
【答案】
【解析】
由得的普通方程为：
由得的直角坐标方程为：，即
圆的圆心为，半径
则圆心到直线的距离

本题正确结果：
22．（津市南开区南开中学2019届高三第五次月考）已知曲线的参数方程为为参数），点为其焦点,在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,点分别在曲线和的实线部分上运动（如图所示），且总是平行于轴，则的周长的取值范围是________.

【答案】
【解析】
由 得，即为抛物线，①
抛物线焦点坐标为，准线方程为，
由，得， ②
即为以为圆心，以4为半径的圆，
由①②得，，
，
由抛物线的定义可得，
又，
所以的周长

，
，
，
即的周长的取值范围是，故答案为.
23．（天津市红桥区2019届高三二模数学理）极坐标系中，曲线与的两个交点之间的距离为_______．
【答案】
【解析】
由得：，即
由得：，即
所求距离为被圆截得的弦长

即两个交点之间的距离为
本题正确结果：
24．（天津市河西区2019届高三一模数学理）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则的长度为______________.
【答案】
【解析】
因为圆的极坐标方程为，所以,
因为点的极坐标为，所以，