【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题38 直接证明与间接证明（含解析）

考点38 直接证明与间接证明
1．（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检四）利用反证法证明：若，则，假设为(　　)
A．都不为0 B．不都为0
C．都不为0，且 D．至少有一个为0
2．（四川省凉山州2019届高中毕业班第一次诊断性检测）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（ ）
A．存在至少一组正整数组使方程有解
B．关于的方程有正有理数解
C．关于的方程没有正有理数解
D．当整数时，关于的方程没有正实数解
3．（湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学理）已知各项均为正数的两个无穷数列和满足： ，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是____________．
4．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．
（I）已知集合，，写出，的值；
（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；
（III）已知均有性质，且，求的最小值.
5．（上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测二模）已知函数的定义域，值域为.
（1）下列哪个函数满足值域为，且单调递增？（不必说明理由）
①，②.
（2）已知函数的值域，试求出满足条件的函数一个定义域；
（3）若，且对任意的，有，证明：.
6．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．
（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；
（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；
（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．
7．（江苏省2019届高三第二学期联合调研测试）已知数列的前项和为，.
（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；
（2）若，求证：，，…，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1．
8．（北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷理）给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有，则称数列为“指数型数列”．
Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；
Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．
9．（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检四）已知的内角，，对应的边分别为，，，三边互不相等，且满足.
（1）比较与的大小，并证明你的结论；
（2）求证：不可能是钝角.
10．（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二）设,对于，有.
（1）证明：
（2）令,
证明 ：（I）当时，
（II）当时，
11．（四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理）设函数，.
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)当时，函数恰有两个零点，证明：
12．（）（1）求证：；
（2）已知函数，用反证法证明方程没有负数根.
13．（浙江省台州中学2018届高三模拟考试）已知正项数列满足，且，设
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）设为数列的前项和，求证：.
14．（北京市海淀区2018届高三第二学期期末第二次模拟考试数学理）已知函数
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当时，设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
15．（上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控二模）无穷数列 ，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质.集合.
（1）若，，判断数列是否具有性质；
（2）数列具有性质，且，求的值；
（3）数列具有性质，对于中的任意元素，为第个满足的项，记 ，证明：“数列具有性质”的充要条件为“数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数”.
16．（北京市朝阳区2018年高三一模数学理）已知集合是集合 的一个含有个元素的子集.
（Ⅰ）当时,
设
（i）写出方程的解；
（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.
（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程 至少有三组不同的解.
17．（江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考）设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．
（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；
（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列为“数列”，，设，证明：．
18．（武汉市蔡甸区汉阳一中2017届高三第五次模拟考试理）已知， ，函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）证明： 与不可能同时成立．

考点38 直接证明与间接证明
1．（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检四）利用反证法证明：若，则，假设为(　　)
A．都不为0 B．不都为0
C．都不为0，且 D．至少有一个为0
【答案】B
【解析】
的否定为，即，不都为0，选B.
2．（四川省凉山州2019届高中毕业班第一次诊断性检测）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（ ）
A．存在至少一组正整数组使方程有解
B．关于的方程有正有理数解
C．关于的方程没有正有理数解
D．当整数时，关于的方程没有正实数解
【答案】C
【解析】
由于B,C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于的方程有正有理数解，故可写成整数比值的形式，不妨设，其中为互质的正整数，为互质的正整数.代入方程得，两边乘以得，由于都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于的方程没有正有理数解.故选C.

3．（湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学理）已知各项均为正数的两个无穷数列和满足： ，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是____________．
【答案】①③④
【解析】因为，
所以①，下证等比数列的公比.
若，则，则当时，，此时，与①矛盾；
若，则，则当时，此时，与①矛盾.
故，故.下证，若，则，于是，
由得，所以中至少有两项相同，矛盾.
所以，所以，
所以正确的序号是①③④.
4．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．
（I）已知集合，，写出，的值；
（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；
（III）已知均有性质，且，求的最小值.
【答案】（I）； （II）见解析； （III）.
【解析】
（I）由题意可得：，,
故
（II）要证具有性质，只需证明，若，则.
假设上式结论不成立，即若，则.
即，即，
，.
因为上式的右边为的倍数，而上式的左边为的倍数，所以上式不成立.
故假设不成立，原命题成立.
（III）由题意，集合具有性质，等价于任意两个元素之和均不相同.
如，对于任意的，有，
等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.
令，
所以具有性质.
因为集合均有性质，且，
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
5．（上海市浦东新区2019届高三下学期期中教学质量检测二模）已知函数的定义域，值域为.
（1）下列哪个函数满足值域为，且单调递增？（不必说明理由）
①，②.
（2）已知函数的值域，试求出满足条件的函数一个定义域；
（3）若，且对任意的，有，证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）满足.
不满足.
（2）因为，所以
即，
所以
所以
满足条件的（答案不唯一）.
（3）假设存在使得
又有，
所以，
结合两式：，所以，
故.
由于知：.
又.
类似地，由于，
得.
所以，与矛盾，所以原命题成立.
6．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．
（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；
（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；
（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.
【解析】
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）证明：假设存在，使得，显然，取，则
，由题意，而为集合中元素的最大值，所以，，矛盾，假设不成立，
所以，不存在，使得．
（Ⅲ）设为使得的最大正整数，则．
若，则存在正整数，使得，所以．
同（Ⅱ）不可能属于集合．
于是，由题意知，
所以，，集合中大于2000的元素至多有19个，所以．
下面证明不可能成立．
假设，则存在正整数，使得，显然，
所以存在正整数使得．
而与为使得的最大正整数矛盾，所以不可能成立．即成立．
当时，对于任意的满足显然有成立．
若，则，即，
所以，，其中均为符合题意的集合．
而可能取的值为981，982，…，1000，故符合条件的集合个数为
．
因此，满足条件的集合的个数为．
7．（江苏省2019届高三第二学期联合调研测试）已知数列的前项和为，.
（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；
（2）若，求证：，，…，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
解：（1）不妨设
假设，则
所以
所以与矛盾，因此,
所以必可分成两组、使得每组所有数的和小于1
（2）不妨设，
先将，，…，单独分为一组，再对后面项依次合并分组，使得每组和属于，最后一组和属于，不妨设将，，…，分为，，…，，，共组，且其中组，，…，，，最后一组
首先必小于等于，否则，与，矛盾
当时，则
所以只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件；
当时，可将与合成一组，且，否则，矛盾
此时只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件，
所以，，…，必可以被分为m组(1≤m≤k)，使得每组所有数的和小于1．
8．（北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习数学试卷理）给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有，则称数列为“指数型数列”．
Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；
Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．
【答案】（Ⅰ）不是指数型数列，是指数型数列；（Ⅱ）数列是“指数型数列”；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
Ⅰ解：对于数列，，
所以不是指数型数列．
对于数列，对任意n，，因为，
所以是指数型数列．
Ⅱ证明：由题意，是“指数型数列”，
，，
所以数列是等比数列，，
，数列是“指数型数列”．
Ⅲ证明：因为数列是指数型数列，故对于任意的n，，
有，，
假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当a为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故不能成立；
当a为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故也不能成立．
所以，对任意，不能成立，
即数列的任意三项都不成构成等差数列．
9．（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检四）已知的内角，，对应的边分别为，，，三边互不相等，且满足.
（1）比较与的大小，并证明你的结论；
（2）求证：不可能是钝角.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
解：（1）大小关系为.
证明如下：要证，只需证，
由题意知，只需证，（已知条件）
故所得大小关系正确.
（2）证明：假设是钝角，则，
而，
这与矛盾，故假设不成立.
所以不可能是钝角.
10．（浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二）设,对于，有.
（1）证明：
（2）令,
证明 ：（I）当时，
（II）当时，
【答案】（1）见解析;（2）（I）见解析;（II）见解析.
【解析】
（1）若，则只需证
只需证成立
只需要证成立，而该不等式在时恒成立…
故只需要验证时成立即可，
而当时，均满足该不等式。
综上所得不等式成立。
（2）、（I）当时，
用数学归纳法很明显可证当时，有;
下证：,
只需要证,
只需证
只需证,
只需证,
只需证.
由（1）可知，我们只需要证,
只需证,只需证.
当时该不等式恒成立
当时，
，故该不等式恒成立
综上所得，上述不等式成立
（II）、当时，用数学归纳法很明显可证当时，有
下证：
只需证: ,
只需证：
只需证：,
只需证：
只需证：,……
同理由（2）及数学归纳法，可得该不等式成立。
综上所述，不等式成立
11．（四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理）设函数，.
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)当时，函数恰有两个零点，证明：
【答案】(1) 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ).
∵，∴由，得，即.
若，当变化时，，的变化情况如下表





单调递减
极小值
单调递增

若，当变化时，，的变化情况如下表：





+
0
-

单调递增
极大值
单调递减

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(Ⅱ)∵当时，函数恰有两个零点， ，
则，即.
两式相减，得
∵，∴，∴，∴.
∴要证，即证，即证
即证
令 ，则即证.
设，即证在恒成立.
.
∵在恒成立.∴在单调递增.
∵在是连续函数，
∴当时，
∴当时，有.
12．（）（1）求证：；
（2）已知函数，用反证法证明方程没有负数根.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
（1）要证，只需证，
只需证，即证，
只需证，只需证，即证.
上式显然成立，命题得证.
（2）设存在，使，则.
由于得，解得，与已知矛盾，因此方程没有负数根.
13．（浙江省台州中学2018届高三模拟考试）已知正项数列满足，且，设
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）设为数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【解析】
（1）∵，，
∴ ，
∴
（2）猜想
要证，只需证，
∵，只需证，
只需证，
又∵，且，
∴，
∴
累乘法可得，
∴
∴
（3）∵，
∴
，而
∴ .
14．（北京市海淀区2018届高三第二学期期末第二次模拟考试数学理）已知函数
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当时，设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
【答案】（Ⅰ）极小值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ） ，
令，得．
①当时，与符号相同，
当变化时，，的变化情况如下表：









↘
极小
↗

②当时，与符号相反，
当变化时，，的变化情况如下表：









↘
极小
↗

综上，在处取得极小值.
（Ⅱ） ，
故 ．
注意到，，，
所以，，，使得．
因此，曲线在点，处的切线斜率均为.
下面，只需证明曲线在点，处的切线不重合.
曲线在点（）处的切线方程为，即．假设曲线在点（）处的切线重合，则．
令，则，且.
由（Ⅰ）知，当时，，故．
所以，在区间上单调递减，于是有矛盾.
因此，曲线在点()处的切线不重合．
15．（上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控二模）无穷数列 ，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质.集合.
（1）若，，判断数列是否具有性质；
（2）数列具有性质，且，求的值；
（3）数列具有性质，对于中的任意元素，为第个满足的项，记 ，证明：“数列具有性质”的充要条件为“数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数”.
【答案】(1)具有；(2)2；(3)答案见解析.
【解析】
（1）因为，，是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，故，是周期为2的周期数列，对于任意的正整数，，满足性质的条件，故数列具有性质.
（2）.由条件可知，考虑后面连续三项，若，
由及性质知中必有一数等于2，
于是中有两项为2，故必有1或3不在其中，
不妨设为，考虑中最后一个等于的项，
则该项的后三项均不等于，故不满足性质中条件，矛盾，
于是.同理.
（3）充分性：由数列是周期为的周期数列，每个周期均包含中个不同元素.
对于中的任意元素，为第个满足的项，
故由周期性得，
于是，数列为常数列，显然满足性质.
必要性：取足够大的使包含中所有个互不相同的元素，
考虑后的连续项，
对于中任意元素，必等于中的某一个，
否则考虑中最后一个等于的项，该项不满足性质中条件，矛盾.
由的任意性知这个元素恰好等于中个互不相同的元素，
再由数列性质中的条件得，，
于是对于中的任意元素，存在，有 ，
即数列为常数列，
而数列满足性质，故为常数列，
从而是周期数列，故数列是周期为的周期数列，
且每个周期均包含个不同实数.
16．（北京市朝阳区2018年高三一模数学理）已知集合是集合 的一个含有个元素的子集.
（Ⅰ）当时,
设
（i）写出方程的解；
（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.
（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程 至少有三组不同的解.
【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）（）利用列举法可得方程的解有: ；（）列出集合的从小到大个数中相邻两数的差，中间隔一数的两数差，中间相隔二数的两数差，…中间隔一数的两数差,可发现只有出现次, 出现次,其余都不超过次,从而可得结果；（Ⅱ）不妨设记, ,共个差数，假设不存在满足条件的，根据的取值范围可推出矛盾，假设不成立，从而可得结论.
假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,.
试题解析：（Ⅰ）（）方程的解有:
（）以下规定两数的差均为正,则:
列出集合的从小到大个数中相邻两数的差: ;
中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4;
中间相隔二数的两数差: ;
中间相隔三数的两数差: ;
中间相隔四数的两数差: ;
中间相隔五数的两数差: ;
中间隔一数的两数差: .
这个差数中,只有出现次, 出现次,其余都不超过次,
所以的可能取值有.
（Ⅱ）证明:不妨设
记, ,共个差数.
假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而

又

这与矛盾,所以结论成立.
17．（江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考）设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．
（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；
（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列为“数列”，，设，证明：．
【答案】（1）；（2）不存在；（3）证明见解析.
【解析】
（1）因为数列为“数列”，
则
故，
两式相减得：，
又时，，
所以，
故对任意的恒成立，即（常数），
故数列为等比数列，其通项公式为.
（2）假设存在这样的数列，则有，故有
两式相减得：，
故有，
同理由是“数列”可得，
所以对任意恒成立．
所以，
即，
又，
即，
两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．
（3）因为数列为“数列”，
所以，
所以，
故有，，
又时，，
故，满足，
所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为：．
故，
所以，
两式相减得 ，
显然，
故，
即.
18．（武汉市蔡甸区汉阳一中2017届高三第五次模拟考试理）已知， ，函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）证明： 与不可能同时成立．
【答案】(1)2(2)见解析
【解析】
（1）∵， ，
∴
∴．
由题设条件知，
∴．
证明：（2）∵，而，故.
假设与同时成立．即与同时成立,
∵， ，则， ，∴，这与矛盾，
从而与不可能同时成立．