【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题53 曲线与方程（含解析）

考点53 曲线与方程
1．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）为圆：上任意一点，为圆：上任意一点，中点组成的区域为，在内部任取一点，则该点落在区域上的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（江西省宜春市2019届高三4月模拟考试数学理）已知点是单位正方体的对角面上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）在直角坐标平面内，已知，以及动点是的三个顶点，且，则动点的轨迹曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（湖南师大附中2019届高三月考试题（七)数学理）已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
6．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：
符合的点的轨迹围成的图形面积为8；
设点是直线：上任意一点，则；
设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；
设点是椭圆上任意一点，则．
其中正确的结论序号为　　
A． B． C． D．
7．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值是________.
8．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)数学理）已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
9．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A卷理）在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．
10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评理）三角形中，且，则三角形面积的最大值为__________．
11．（2019届毕业班四省联考第二次诊断性考试理）在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B为椭圆的长轴端点，C,D为椭圆的短轴端点，动点P满足，△PAB面积最大值为 ,△PCD面积最小值为，则椭圆离心率为______。
12．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试数学理）已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是
（1）求曲线的方程；
（2）过点引直线交曲线于两点，设，点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
13．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．
14．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）已知点，，，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线与的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.
15．（广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理）已知过定点的动圆是与圆相内切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.
16．（陕西省延安市2019届高考模拟试题一理）已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值.
（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点的直线的距离的取值范围.
17．（东北三省四市2019届高三第一次模拟数学理）已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
18．（福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试理）在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.
19．（四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线：交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，的斜率分别为，，求证：，之积为定值.
20．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学理）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
求的普通方程；
将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.
21．（河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测数学理）设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
22．（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月)诊断性考试数学理）己知椭圆C：的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆C交于A，B两点为坐标原点．
若直线l过点，且十，求直线l的方程；
若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足，求点P的轨迹方程．
23．（湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学理）已知点，的两顶点，且点满足
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设，求动点的轨迹方程；
（3）过点的动直线与曲线交于不同两点，过点作轴垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由．
24．（四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学理）已知椭圆的离心率为，且经过点.

求椭圆的标准方程；
设为椭圆的中线，点，过点的动直线交椭圆于另一点，直线上的点满足，求直线与的交点的轨迹方程.
25．（广东省江门市2018年普通高中高三调研测试理）在平面直角坐标系中，，，为不在轴上的动点，直线、的斜率满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，是轨迹上两点，，求面积的最大值.
26．（湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考理）已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足， ．　
（1）求点的轨迹方程；
（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．







考点53 曲线与方程
1．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学理）为圆：上任意一点，为圆：上任意一点，中点组成的区域为，在内部任取一点，则该点落在区域上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

设,中点,则代入，
得，
化简得：，
又表示以原点为圆心半径为5的圆，
故易知M轨迹是在以为圆心，以为半径的圆绕原点一周所形成的图形，
即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，
即应有，
那么在C2内部任取一点落在M内的概率为，
故选B.
2．（江西省宜春市2019届高三4月模拟考试数学理）已知点是单位正方体的对角面上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：由题意知，MN⊥平面BB1D1D，其轨迹经过B，D1和侧棱AA1，CC1的中点E，F，

如图，设正方体中心为O1,当P点在线段BO1上运动时，MN随BP的增大而线性增大，所以△BMN的面积表达式应是开口向上的二次函数图像递增的一部分; 当P点在线段D1O1上运动时, MN随D1P的增大而线性减小，所以△BMN的面积表达式应是开口向下的二次函数图像递减的一部分.所以当MN与EF重合时，△BMN的面积取最大值，
此时，BM＝BN，
MN，
S△BMN．
故选：A．
3．（安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学理）在直角坐标平面内，已知，以及动点是的三个顶点，且，则动点的轨迹曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，
∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴，
设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），
所以有，
整理得，∴离心率是
故选A．
4．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设的中点为，连接、，则在中，，，∴.
∴是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.
以为原点建系如图所示，则，，，设的坐标为，则
,.
.
设点的坐标为，则 .

故选：B
5．（湖南师大附中2019届高三月考试题（七)数学理）已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】
设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|BE|＝2，
∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2+|BE|2，
∴（x﹣2）2+y2＝22+x2，化为y2＝4x．
故选D．
6．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：
符合的点的轨迹围成的图形面积为8；
设点是直线：上任意一点，则；
设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；
设点是椭圆上任意一点，则．
其中正确的结论序号为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由，根据新定义得：，由方程表示的图形关于轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：

四边形为边长是的正方形，面积等于8，故正确；
为直线上任一点，可得，
可得，
当时，；当时，；
当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；
，当时，，满足题意；
而，当时，，满足题意，即都能 “使最小的点有无数个”，不正确；
点是椭圆上任意一点，因为求最大值，所以可设，，，，，，正确．
则正确的结论有：、、，故选D．
7．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值是________.
【答案】
【解析】
在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，
则有，，
因为，所以，
整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以线段长度的最大值为.
故答案为6

8．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)数学理）已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
【答案】②④
【解析】
设点P的坐标为：P（x，y），
依题意，有：，
整理，得：，
对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为：，则，解得：，符合；
对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，
不可能成为焦点在y轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
9．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A卷理）在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．【来源】科数学试题
【答案】
【解析】
如图所示，在棱长为的正方体中，
点在上，点在上，满足，
则原问题等价于求解四边形的最大值.
作于点，当最大时，四边形有最大值.

建立如图所示的空间直角坐标系，
设，设，
由于，由可得：
，则：，故,
故：，
由可得：.
故： ，
结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：.
10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评理）三角形中，且，则三角形面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
设，
则由得，
化简得，
所以点轨迹为以圆心，以为半径的圆，
所以最大值为，
所以三角形面积的最大值为.
11．（2019届毕业班四省联考第二次诊断性考试理）在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆,A,B为椭圆的长轴端点，C,D为椭圆的短轴端点，动点P满足，△PAB面积最大值为 ,△PCD面积最小值为，则椭圆离心率为______。
【答案】
【解析】
依题意，设，依题意的,，两边平方化简得，故圆心为，半径.所以的最大面积为，解得，的最小面积为，解得.故椭圆离心率为.
12．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试数学理）已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是
（1）求曲线的方程；
（2）过点引直线交曲线于两点，设，点关于轴的对称点为，证明直线过定点.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）设，，，
则，，
由于，
即，设，，
则，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
故，，，
所以，动点的轨迹的方程为：．
如图所示，

先探究特殊性，当点Q为椭圆的上顶点（0，）时，直线l:,
联立直线和椭圆方程得,
直线RN:令y=0,得x=4,
所以直线RN过定点P(4,0).
下面证明一般情形：
设直线l:
联立，
判别式
所以

即，
设，于是，
，
又，
解得，
所以，
所以点R,N,P三点共线，因此直线RN经过定点P(4,0).
综上，直线RN经过定点P(4,0).
13．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）设P（x0，y0），M（x，y），则＝（x0，0），＝（0，y0），
由 ．得
代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为.
（2）当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；
当SN的斜率存在时，设斜率为k，
则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0⇒k2＞2
设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，
则kAS•kAN＝ ＝，
故kAS•kAN为常数.
14．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）已知点，，，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线与的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）当与点不重合时，
，得，即，
当与点重合时，或.
综上，动点的轨迹方程为.
（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.
当矩形各边均不与坐标轴平行时，
根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为
另一边所在的直线为，则对边方程为，
联立：，得，
则，即.
矩形的一边长为，
同理：，矩形的另一边长为，


，
综上：.
15．（广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理）已知过定点的动圆是与圆相内切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.
【答案】(1) (2)
【解析】
解:(1)圆的圆心为,半径为,
设圆的半径为,由题意知点在圆内.
可得
所以点的轨迹是以,为焦点,长轴长为的椭圆,
得
所以动圆圆心的轨迹方程为
(2)显然不与轴垂直,设所在直线方程为可得
可得……①设,
则是方程①的两不相等的实根,得

得

又点到直线的距离
所以的面积
由题意知,
得
又
代入上式得
得
(也可直接用垂直平分线过点得到关系)
当时,
当时,有最大值
当时,

当时,有最大值
所以面积的最大值为
16．（陕西省延安市2019届高考模拟试题一理）已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值.
（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点的直线的距离的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵点在上运动，点在上运动，
∴设，，线段的中点，则有，
∴，
∵线段的长为定值，∴+=8，
即+=8，化简得.
∴线段的中点的轨迹方程为.
（Ⅱ）设，，联立得 ，
，化简得①.
，
，
若，则，即，
所以 ，
即 ，化简得②，
由①②得，，
因为到直线的距离，所以
又因为，所以，
所以到直线的距离的取值范围是.
17．（东北三省四市2019届高三第一次模拟数学理）已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）法一：设，，
直线
直线
得
又，
，
整理得点的轨迹方程为
法二：设，，
直线
直线
由,解得：，又，
故，代入得.
点的轨迹方程为
法三：设直线，则直线
直线与椭圆的交点的坐标为.
则直线的斜率为.
直线
由 解得:点的轨迹方程为：
（Ⅱ）法一：设，由（Ⅰ）法二得：
四边形的面积，
，当时，的最大值为.
法二：由（Ⅰ）法三得：四边形的面积

当且仅当时，取得最大值.

18．（福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试理）在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
解法一：（1）设，依题意，.
因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为
依题意得，即，
化简得的方程为.

（2）设，，，则.
依题意可设直线的方程，
由得.
因为，
所以，
则有，故，
由抛物线的定义知.
设，依题意得，所以.
又因为，所以，
解得，所以.，
因为在抛物线上，所以，即，
所以，
，
故
解法二：（1）设，依题意.
因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为.
依题意得，点到圆的距离等于到直线的距离，

所以在以为焦点，为准线的抛物线上.
所以的方程为..
（2）设，，
因为直线过，依题意可设其方程
由得，
因为，所以，
则有.
因为是的中点，所以.
由抛物线的定义得.，
设圆与相切于，
因为与抛物线相交于，所以，且，
所以，即，解得，
设，则，且，所以，
因为，所以为的中点，所以，
又因为为的中点，，所以.
解法三：（1）同解法一.

（2）设，，连结，.
因为直线过，依题意可设其方程
由得.，
因为，所以，
所以.
因为，，又因为，
所以，解得，所以，
所以，故.
又因为，所以，从而.
所以，
又，所以.
19．（四川省教考联盟2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线：交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，的斜率分别为，，求证：，之积为定值.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
（1）由题意，，
将上式两边平方，化简：，
即曲线的方程为.
（2）把代入，有，
设，则：，.
，.


.
即，之积为定值.
20．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学理）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
求的普通方程；
将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.
【答案】（1）；（2）（为参数）
【解析】
根据题意，的圆心为，半径为，故的普通方程为
（圆心分，半径分，准确写出方程分）或
由两边同乘以，得.
则.
即的普通方程为.
连接，由垂直平分线的性质可知.
所以，点的轨迹是以为焦点（焦距为），长轴为的椭圆.
由上，该椭圆的短半轴长为.
故可得的轨迹的参数方程为（为参数）
21．（河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测数学理）设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设点，，由题意可知
∵，∴，
即，
又点在圆上 ∴
代入得
即轨迹的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，
联立 得

即，
∴
又
∵ ∴ 即
即
∴
∴
解得，，且均满足即
当时，的方程为，直线恒过，与已知矛盾；
当，的方程为，直线恒过
所以，直线过定点，定点坐标为.
22．（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月)诊断性考试数学理）己知椭圆C：的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆C交于A，B两点为坐标原点．
若直线l过点，且十，求直线l的方程；
若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足，求点P的轨迹方程．
【答案】(1) 或；（2）()．
【解析】
（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8，则|AB|=．
因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．
∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦长公式|AB|=，
代入整理得，解得．所以直线l的方程为，
即或．
（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
∴ x1+x2=，x1x2=． 以AB为直径的圆过原点O，即．
∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得
(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 将x1+x2=，x1x2=代入，
整理得3m2=8k2+8． ∵ 点P是线段AB上的点，满足，
设点O到直线AB的距离为d，∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2=（定值），
∴ 点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点.
故点P的轨迹方程为()．
23．（湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学理）已知点，的两顶点，且点满足
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设，求动点的轨迹方程；
（3）过点的动直线与曲线交于不同两点，过点作轴垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）两直线，的交点恒落在直线上。
【解析】
（1）设动点，其中.由得：
（2）设点，由得代入（1）中的方程得：，
即曲线的轨迹方程为.
（3）显然过点的直线不垂直轴，设，同时设，.
由消整理得：.
由韦达定理得：，.
直线.
直线.
联立①②求解交点，消得：.
.
把韦达定理中的及变形式代入上式得：
（与无关）.
故两直线，的交点恒落在直线上.
24．（四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学理）已知椭圆的离心率为，且经过点.

求椭圆的标准方程；
设为椭圆的中线，点，过点的动直线交椭圆于另一点，直线上的点满足，求直线与的交点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
因为椭圆的离心率，且，所以.
又.故椭圆的标准方程为.
设直线的方程为（当存在时，由题意），代入，并整理得.
解得，于是，即.
设，则.
由已知得，得，解得，于是.
又，
由两点的坐标可得直线的方程为.
又由点坐标可得直线的方程为.
两式相乘，消去参数得.（如果只求出交点的坐标，此步不得分）
又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.
故直线与的交点的轨迹方程.
25．（广东省江门市2018年普通高中高三调研测试理）在平面直角坐标系中，，，为不在轴上的动点，直线、的斜率满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，是轨迹上两点，，求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）设为轨迹上任意一点，
依题意，，
整理化简得：
（2）设
由，得，
设，则，，

到直线的距离
的面积
设，
解，得或或
因为，即有且仅有一个解，
面积的最大值.
26．（湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考理）已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足， ．　
（1）求点的轨迹方程；
（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1）见解析；（2）或
【解析】
（1）由的焦点为的顶点，得的焦点 ， ．
令的方程为，因为在上，所以．
于是由解得， ，所以的方程为．
由直线与椭圆交于、两点，知、关于原点对称，所以．
令点， ，则， ，
， ．
于是由， ，得
即
两式相乘得．
又因为点在上，所以，即，
代入中，得 ．
当时，得；
当时，则点或，此时或，也满足方程．
若点与点重合，即时，由解得或．
若点与点重合时，同理可得或．
综上，点的轨迹是椭圆除去四个点， ， ， ，其方程为（， ）．
（2）因为点到直线 的距离， ，
所以的面积
.
当且仅当，即或 ，
此时点的坐标为或．