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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系优秀教案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系优秀教案，共17页。教案主要包含了探究新知，典例解析，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。
本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习两条直线的位置关系。
两条直线的位置关系，学生在初中平面几何已学习过，而在坐标系下运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.
教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
重点：会判断两条直线相交、平行、重合
难点：利用法向量推导出两条直线垂直与平行条件
多媒体
本节课通过对两直线位置关系的研究，特别是平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课要想办法降低教学难度，问题设置在学生的最近发展区，让学生能轻易接受。
课程目标
学科素养
A. 会求两条相交直线的交点坐标
B.会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合.
C.理解通过方程组给出的两条直线相交、平行、重合的条件.
D.会利用法向量推导出两条直线垂直的条件:A1A2+B1B2=0和k1k2=-1,并能熟练地运用这两个条件解决有关垂直问题.
1.数学抽象：运用向量法确定直线平行于垂直
2.逻辑推理：判断两直线的位置关系
3.数学运算：求两条相交直线的交点坐标
4.数学建模：灵活运用两种方法判断直线位置关系
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
问题导学
从初中平面几何中我们就已经知道，两条不重合的直线l1与 l2 ；如果它们没有公共点，那么l1与 l2平行；否则， l1与 l2相交，而且有唯一的交点。在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判断它们之间的位置关系呢？
温故知新
尝试与发现
（1）已知直线l1：x-y+1=0,直线l2：x+y+3=0，判断l1与 l2之间的关系，如果相交，求出交点坐标，如果不相交，说明理由。
（2）总结怎样依据两条直线的方程来考察他们之间的位置关系。er
二、探究新知
1.两条直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a,b)
直线l1,l2
l1:A1x+B1y+C1=0
l2:A2x+B2y+C2=0
点A在直线l1上
A1a+B1b+C1=0
直线l1与l2的交点是A
点睛： 因为平面直角坐标系中,一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程,所以为了考察l1与l2之间的位置关系,只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可.
2.两条直线的相交、平行与重合
(1)直线方程在斜截式形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示.
位置关系
平行
重合
相交
图示
k,b满足
条件
k1=k2且b1≠b2
k1=k2且b1=b2
k1≠k2
(2)直线方程在一般式形式下两条直线
l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系,可以用方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解的情况进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下表所示.
方程组的解
位置关系
交点个数
代数条件
无解
平等
无交点
有唯一解
相交
有一个交点
A1B2≠A2B1
有无数个解
重合
无数个交点
存在实数λ,使得
3.两条直线的垂直
(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1.
(2)设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
点睛： (1)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0;
(2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;
(3)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=-1kx+m;
(4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0;
(5)当直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交时,直线系(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0必过定点,此定点为两条直线l1,l2的交点.
1.判断：若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( )
答案:×
2.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为( )
A.(-4,-3) B.(4,3) C.(-4,3)D.(3,4)
解析:由方程组3x+2y+6=0,2x+5y-7=0,
解得x=-4,y=3.故选C.
答案:C
3.判断
(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.( )
(2)若l1∥l2,则k1=k2.( )
(3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.( )
答案:(1)× (2)× (3)√
4.下列直线与直线x-y-1=0平行的是( )
A.x+y-1=0B.x-y+1=0
C.ax-ay-a=0(a≠0)D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a≠0)
答案:B
5.若直线2x+y-1=0与y=ax+3相交,则a的取值范围为 .
答案:(-∞,-2)∪(-2,+∞)
6.应用斜率判断两条直线的位置关系时应注意什么?
提示:(1)当k1≠k2时,l1与l2相交.当两直线斜率都不存在时,两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时,两直线相交.
(2)当k1=k2时,不能判断两直线平行,还可能重合.
7.判断 若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.( )
答案:×
8.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
解析:两条直线的斜率分别为a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1. 答案:D
9.若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a等于 .
解析:若a=0时,直线x+ay+2=0即为直线x+2=0,与x轴垂直,而直线2x+3y+1=0的斜率为-23,此时两直线不垂直;若a≠0,则直线x+ay+2=0的斜率是-1a.由两直线垂直的条件得-1a·-23=-1,解得a=-23.
答案:-23
三、典例解析
例1 判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.
(1)l1:4x+3y-2=0与l2:x+2y+2=0;
(2)l1:x+2y-12=0与l2:2x+4y-1=0;
(3)l1:x-3y=0与l2:y=13x+1.
分析:判断两直线位置关系的解法有三种:一是根据方程组的解的个数判定;
二是根据方程的系数间的关系判定;三是化成斜截式方程判定.
解:(方法一)(1)解方程组4x+3y-2=0,x+2y+2=0, ①②
①×2-②×3得5x-10=0,所以x=2.
将x=2代入①得y=-2,所以两直线相交,交点坐标为(2,-2).
(2)解方程组x+2y-12=0,2x+4y-1=0, ①②
①×2-②得0=0,即此方程组有无数多个解,所以两直线重合.
(3)解方程组x-3y=0,y=13x+1, ①②
由①得x=3y,代入②得y=y+1,即0=1不成立,所以方程组无解,所以两直线平行.
(方法二)(1)因为A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,
所以A1B2-A2B1=4×2-1×3=5≠0,所以两直线相交.
解方程组4x+3y-2=0,x+2y+2=0,得x=2,y=-2,
所以两直线的交点坐标为(2,-2).
(2)因为A1=1,B1=2,C1=-12,A2=2,B2=4,C2=-1,所以A1B2-A2B1=1×4-2×2=0,A1C2-A2C1=1×(-1)-2×-12=-1+1=0,所以两直线重合.
(3)因为A1=1,B1=-3,C1=0,A2=13,B2=-1,C2=1,所以A1B2-A2B1=1×(-1)-13×(-3)=-1+1=0,A1C2-A2C1=1×1-13×0=1-0=1≠0,所以两直线平行.
(方法三)(1)l1:y=-43x+23,l2:y=-12x-1.
因为k1≠k2,所以两直线相交,可得交点坐标为(2,-2).
(2)l1:y=-12x+14,l2:y=-12x+14.因为k1=k2且b1=b2,所以两直线重合.
(3)l1:y=13x,l2:y=13x+1.
因为k1=k2且b1≠b2,所以两直线平行.
1.判断两条直线平行:
(1)如果斜率都存在,那么需要判断其斜率相等,即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;
(2)利用A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判断.
2.判断两条直线垂直:(1)如果斜率都存在,那么只需k1k2=-1,如果一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率必等于零,从斜率的角度判断,应注意上面的两种情况;
(2)利用A1A2+B1B2=0判断.
3.根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数是未知数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式易操作.
跟踪训练1已知点A(1,2),B(0,-4),C(-2,6),D(0,18),试判断直线AB和直线CD的位置关系.
解:kAB=-4-20-1=6,kCD=18-60+2=6,
又因为B(0,-4),D(0,18),
所以直线AB的方程为y=6x-4,直线CD的方程为y=6x+18.
因为两条直线的斜率相等,在y轴上的截距不相等,
所以直线AB和直线CD平行.
例2(1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值;
(2)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.
分析：既可以用直线的一般式方程形式判断,也可以用斜率的关系求解,但需考虑斜率不存在的情况.
解:(1)(方法一)当l1,l2的斜率都存在时,由l1∥l2,得-m+2m2-3m=-24(m-3),
解得m=-4;
当l1,l2的斜率不存在时,m=3,l1与l2的方程分别为x=-45,x=12,
显然l1∥l2. 故m=-4或m=3.
(方法二)若l1∥l2,则有(m+2)×4(m-3)-(m2-3m)×2=0,(m+2)×(-1)-2×4≠0,
解得m=-4或m=3.
(2)(方法一)当a=1时,l1为x=3,l2为y=25,故l1⊥l2;
当a=-32时,l1的方程为-32x+52y=3,l2的方程为-52x=2,显然l1,l2不垂直;
当a≠1且a≠-32时,由k1·k2=-1,得aa-1×1-a2a+3=-1,解得a=-3.
综上所述,a=1或a=-3.
(方法二)利用A1A2+B1B2=0,即a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
解得a=1或a=-3.
利用两直线的位置关系求字母参数取值时,提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系,这样不易丢解或增解;若用比例式求解,一定要对特殊情况单独讨论.本例中方法一体现了分类讨论的条理性,方法二体现了适用两条直线方程的所有情况,具有统一性.
跟踪训练2(1)已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是( )
A.-1或2 B.0或1 C.-1 D.2
(2)若直线l1:(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线l2:(2-a)x+(a+3)y-1=0垂直,则a的取值是( )
A.2B.-2 C.2或-2 D.2或0或-2
解析:(1)∵l1∥l2,∴a(a-1)-2=0,∴a=-1或2.
当a=2时,l1与l2重合,∴a=-1.
(2)由题意,得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.
答案:(1)C (2)C
(3)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.
解:若∠A为直角,则AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1,
即m+12-5·1+11-5=-1,解得m=-7;
若∠B为直角,则AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即1+11-5·m-12-1=-1,解得m=3;
若∠C为直角,则AC⊥BC,∴kAC·kBC=-1,
即m+12-5·m-12-1=-1,解得m=±2.综上所述,m=-7或m=3或m=±2.
例3已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:
(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
分析本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系,求出所求直线的斜率后用点斜式求解,也可利用直线系方程来求解.
解:(1)(方法一)利用直线方程的点斜式求解.
由l:3x+4y-20=0,得直线l的斜率kl=-34.
设过点A且平行于l的直线为l1,则直线l1的斜率kl1=kl=-34,
所以l1的方程为y-2=-34(x-2),即3x+4y-14=0.
(方法二)利用直线系方程求解.
设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x+4y+m=0(m≠-20).
由点A(2,2)在直线l1上,得3×2+4×2+m=0,解得m=-14.
故直线l1的方程为3x+4y-14=0.即4x-3y-2=0.
(2)(方法一)设过点A与l垂直的直线为l2,直线l的斜率为kl,直线l2的斜率为kl2.因为klkl2=-1,所以kl2=43,
故直线l2的方程为y-2=43(x-2),
(方法二)设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2经过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2.
故l2的方程为4x-3y-2=0.
跟踪训练3(1)已知直线l过点(1,1)且平行于直线4x+y-8=0,则直线l的方程是( )
A.x-4y+3=0B.x-4y-5=0 C.4x+y+5=0D.4x+y-5=0
(2)以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0
解析:(1)设与直线4x+y-8=0平行的直线方程为4x+y+c=0(c≠-8),
∵直线4x+y+c=0过(1,1),∴4+1+c=0,即c=-5,
则直线方程为4x+y-5=0,故选D.
所以所求直线方程为y-2=-3(x+2),化简为3x+y+4=0.
答案:(1)D (2)B
(2)因为kAB=1-3-5-1=13,AB的中点坐标为(-2,2),
(3)求过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点且平行于直线5x+4y=0的直线方程.
解:由题意得3x+4y-2=0,2x+y+2=0, ①②
②×4-①得5x+10=0,解得x=-2.
将x=-2代入②得2×(-2)+y+2=0,所以y=2.
所以两直线的交点坐标为(-2,2).
设与直线5x+4y=0平行的直线方程为5x+4y+c=0(c≠0),代入(-2,2)
得5×(-2)+4×2+c=0,所以c=2.
故所求直线方程为5x+4y+2=0.
例4如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
分析利用两直线的斜率关系,来研究平行或垂直,对于四边形而言,可以先选取一组对边研究,再选取一组邻边研究,最后下结论.
解:由斜率公式得kOP=t-01-0=t,kQR=2-(2+t)-2t-(1-2t)=-t-1=t,kOR=2-0-2t-0=-1t,kPQ=2+t-t1-2t-1=2-2t=-1t. 所以kOP=kQR,kOR=kPQ,
从而OP∥QR,OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR.
又|OP|=1+t2,|OR|=(-2t)2+22=21+t2,
∴|OP|≠|OR|.故四边形OPQR为矩形.
变式 将例4中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)”,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.
解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图.
由斜率公式可得kAB=5-32-(-4)=13,kCD=0-3-3-6=13,
kAD=0-3-3-(-4)=-3,kBC=3-56-2=-12.
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD,由kAD≠kBC,知AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD=13×(-3)=-1,
所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.
通过对本例题的探究可以看出,研究直线平行或垂直的方法除了前面向量的方法还可以利用直线的斜率进行,利用斜率判断时要注意先对斜率的存在与否进行检验,其次要注意几何图形的内在联系,从而判断几何形状.
跟踪训练4已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为
直角梯形,求A点坐标.(A,B,C,D按逆时针方向排列)
解:(1)若∠A=∠D=90°,如图①,
由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).
图①
(2)若∠A=∠B=90°,如图②. 设A(a,b),则kBC=-3,kAD=b-2a-1,kAB=b+1a-6.由AD∥BC,得kAD=kBC,即b-2a-1=-3;①
由AB⊥BC,得kAB·kBC=-1,即b+1a-6(-3)=-1.②
由①②得a=125,b=-115,故A125,-115.
综上所述,A点坐标为(1,-1)或125,-115.
图②
通过对初中平面几何两直线位置关系的复习，开门见山，提出直角坐标系下判断直线位置关系的问题。
通过直线方程的解得情况及直线的斜率，获得判断两直线位置关系的方法。
同时运用向量方法，获得一般的判断两直线位置关系的方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
在典例分析和练习中让学生熟悉判断两直线位置关系的方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
在典例分析和练习中让学生熟悉判断两直线位置关系的方法，并提高综合分析能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测
1.直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题:
①若l1∥l2,则斜率k1=k2;②若斜率k1=k2,则l1∥l2;
③若倾斜角α1=α2,则l1∥l2;④若l1∥l2,则倾斜角α1=α2.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
解析:①错,②③④正确. 答案:C
2.若点A(3,-4)与点A'(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0
C.6x+y+16=0 D.x+6y-16=0
答案:D
3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
解析:因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求直线斜率k=12,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B. 答案:A
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,则实数m= .
解析:因为直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,
所以12×-2m=-1,所以m=1. 答案:1
5.(1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;
(2)求过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
解:(1)方法一:设直线l的斜率为k,因为l与直线3x+4y+1=0平行,所以k=-34.又因为l经过点(1,2),所以l的方程为y-2=-34(x-1),即3x+4y-11=0.
方法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0(m≠1).
又因为l经过点(1,2),所以3×1+4×2+m=0,即m=-11.所以所求直线l的方程为3x+4y-11=0.
(2)联立l1,l2的方程x-2y+4=0,x+y-2=0,得交点P(0,2),
方法一:设过P点与l3垂直的直线方程为4x+3y+n=0,代入P点坐标得4×0+3×2+n=0,n=-6,所以直线l的方程为4x+3y-6=0.
方法二:因为l1与l2交点为P(0,2),直线l与l3垂直,所以kl=-1kl3=-43,所以直线l的方程为y-2=-43x,即4x+3y-6=0.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习两条直线的位置关系。
两条直线的位置关系，学生在初中平面几何已学习过，而在坐标系下运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.
教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
重点：会判断两条直线相交、平行、重合
难点：利用法向量推导出两条直线垂直与平行条件
多媒体
本节课通过对两直线位置关系的研究，特别是平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课要想办法降低教学难度，问题设置在学生的最近发展区，让学生能轻易接受。
课程目标
学科素养
A. 会求两条相交直线的交点坐标
B.会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合.
C.理解通过方程组给出的两条直线相交、平行、重合的条件.
D.会利用法向量推导出两条直线垂直的条件:A1A2+B1B2=0和k1k2=-1,并能熟练地运用这两个条件解决有关垂直问题.
1.数学抽象：运用向量法确定直线平行于垂直
2.逻辑推理：判断两直线的位置关系
3.数学运算：求两条相交直线的交点坐标
4.数学建模：灵活运用两种方法判断直线位置关系
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
问题导学
从初中平面几何中我们就已经知道，两条不重合的直线l1与 l2 ；如果它们没有公共点，那么l1与 l2平行；否则， l1与 l2相交，而且有唯一的交点。在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判断它们之间的位置关系呢？
温故知新
尝试与发现
（1）已知直线l1：x-y+1=0,直线l2：x+y+3=0，判断l1与 l2之间的关系，如果相交，求出交点坐标，如果不相交，说明理由。
（2）总结怎样依据两条直线的方程来考察他们之间的位置关系。er
二、探究新知
1.两条直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a,b)
直线l1,l2
l1:A1x+B1y+C1=0
l2:A2x+B2y+C2=0
点A在直线l1上
A1a+B1b+C1=0
直线l1与l2的交点是A
点睛： 因为平面直角坐标系中,一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程,所以为了考察l1与l2之间的位置关系,只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可.
2.两条直线的相交、平行与重合
(1)直线方程在斜截式形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示.
位置关系
平行
重合
相交
图示
k,b满足
条件
k1=k2且b1≠b2
k1=k2且b1=b2
k1≠k2
(2)直线方程在一般式形式下两条直线
l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系,可以用方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解的情况进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下表所示.
方程组的解
位置关系
交点个数
代数条件
无解
平等
无交点
有唯一解
相交
有一个交点
A1B2≠A2B1
有无数个解
重合
无数个交点
存在实数λ,使得
3.两条直线的垂直
(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1.
(2)设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
点睛： (1)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0;
(2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;
(3)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=-1kx+m;
(4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0;
(5)当直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交时,直线系(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0必过定点,此定点为两条直线l1,l2的交点.
1.判断：若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( )
答案:×
2.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为( )
A.(-4,-3) B.(4,3) C.(-4,3)D.(3,4)
解析:由方程组3x+2y+6=0,2x+5y-7=0,
解得x=-4,y=3.故选C.
答案:C
3.判断
(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.( )
(2)若l1∥l2,则k1=k2.( )
(3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.( )
答案:(1)× (2)× (3)√
4.下列直线与直线x-y-1=0平行的是( )
A.x+y-1=0B.x-y+1=0
C.ax-ay-a=0(a≠0)D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a≠0)
答案:B
5.若直线2x+y-1=0与y=ax+3相交,则a的取值范围为 .
答案:(-∞,-2)∪(-2,+∞)
6.应用斜率判断两条直线的位置关系时应注意什么?
提示:(1)当k1≠k2时,l1与l2相交.当两直线斜率都不存在时,两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时,两直线相交.
(2)当k1=k2时,不能判断两直线平行,还可能重合.
7.判断 若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直.( )
答案:×
8.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
解析:两条直线的斜率分别为a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1. 答案:D
9.若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a等于 .
解析:若a=0时,直线x+ay+2=0即为直线x+2=0,与x轴垂直,而直线2x+3y+1=0的斜率为-23,此时两直线不垂直;若a≠0,则直线x+ay+2=0的斜率是-1a.由两直线垂直的条件得-1a·-23=-1,解得a=-23.
答案:-23
三、典例解析
例1 判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.
(1)l1:4x+3y-2=0与l2:x+2y+2=0;
(2)l1:x+2y-12=0与l2:2x+4y-1=0;
(3)l1:x-3y=0与l2:y=13x+1.
分析:判断两直线位置关系的解法有三种:一是根据方程组的解的个数判定;
二是根据方程的系数间的关系判定;三是化成斜截式方程判定.
解:(方法一)(1)解方程组4x+3y-2=0,x+2y+2=0, ①②
①×2-②×3得5x-10=0,所以x=2.
将x=2代入①得y=-2,所以两直线相交,交点坐标为(2,-2).
(2)解方程组x+2y-12=0,2x+4y-1=0, ①②
①×2-②得0=0,即此方程组有无数多个解,所以两直线重合.
(3)解方程组x-3y=0,y=13x+1, ①②
由①得x=3y,代入②得y=y+1,即0=1不成立,所以方程组无解,所以两直线平行.
(方法二)(1)因为A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,
所以A1B2-A2B1=4×2-1×3=5≠0,所以两直线相交.
解方程组4x+3y-2=0,x+2y+2=0,得x=2,y=-2,
所以两直线的交点坐标为(2,-2).
(2)因为A1=1,B1=2,C1=-12,A2=2,B2=4,C2=-1,所以A1B2-A2B1=1×4-2×2=0,A1C2-A2C1=1×(-1)-2×-12=-1+1=0,所以两直线重合.
(3)因为A1=1,B1=-3,C1=0,A2=13,B2=-1,C2=1,所以A1B2-A2B1=1×(-1)-13×(-3)=-1+1=0,A1C2-A2C1=1×1-13×0=1-0=1≠0,所以两直线平行.
(方法三)(1)l1:y=-43x+23,l2:y=-12x-1.
因为k1≠k2,所以两直线相交,可得交点坐标为(2,-2).
(2)l1:y=-12x+14,l2:y=-12x+14.因为k1=k2且b1=b2,所以两直线重合.
(3)l1:y=13x,l2:y=13x+1.
因为k1=k2且b1≠b2,所以两直线平行.
1.判断两条直线平行:
(1)如果斜率都存在,那么需要判断其斜率相等,即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;
(2)利用A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判断.
2.判断两条直线垂直:(1)如果斜率都存在,那么只需k1k2=-1,如果一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率必等于零,从斜率的角度判断,应注意上面的两种情况;
(2)利用A1A2+B1B2=0判断.
3.根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数是未知数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式易操作.
跟踪训练1已知点A(1,2),B(0,-4),C(-2,6),D(0,18),试判断直线AB和直线CD的位置关系.
解:kAB=-4-20-1=6,kCD=18-60+2=6,
又因为B(0,-4),D(0,18),
所以直线AB的方程为y=6x-4,直线CD的方程为y=6x+18.
因为两条直线的斜率相等,在y轴上的截距不相等,
所以直线AB和直线CD平行.
例2(1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值;
(2)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.
分析：既可以用直线的一般式方程形式判断,也可以用斜率的关系求解,但需考虑斜率不存在的情况.
解:(1)(方法一)当l1,l2的斜率都存在时,由l1∥l2,得-m+2m2-3m=-24(m-3),
解得m=-4;
当l1,l2的斜率不存在时,m=3,l1与l2的方程分别为x=-45,x=12,
显然l1∥l2. 故m=-4或m=3.
(方法二)若l1∥l2,则有(m+2)×4(m-3)-(m2-3m)×2=0,(m+2)×(-1)-2×4≠0,
解得m=-4或m=3.
(2)(方法一)当a=1时,l1为x=3,l2为y=25,故l1⊥l2;
当a=-32时,l1的方程为-32x+52y=3,l2的方程为-52x=2,显然l1,l2不垂直;
当a≠1且a≠-32时,由k1·k2=-1,得aa-1×1-a2a+3=-1,解得a=-3.
综上所述,a=1或a=-3.
(方法二)利用A1A2+B1B2=0,即a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
解得a=1或a=-3.
利用两直线的位置关系求字母参数取值时,提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系,这样不易丢解或增解;若用比例式求解,一定要对特殊情况单独讨论.本例中方法一体现了分类讨论的条理性,方法二体现了适用两条直线方程的所有情况,具有统一性.
跟踪训练2(1)已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是( )
A.-1或2 B.0或1 C.-1 D.2
(2)若直线l1:(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线l2:(2-a)x+(a+3)y-1=0垂直,则a的取值是( )
A.2B.-2 C.2或-2 D.2或0或-2
解析:(1)∵l1∥l2,∴a(a-1)-2=0,∴a=-1或2.
当a=2时,l1与l2重合,∴a=-1.
(2)由题意,得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.
答案:(1)C (2)C
(3)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.
解:若∠A为直角,则AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1,
即m+12-5·1+11-5=-1,解得m=-7;
若∠B为直角,则AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即1+11-5·m-12-1=-1,解得m=3;
若∠C为直角,则AC⊥BC,∴kAC·kBC=-1,
即m+12-5·m-12-1=-1,解得m=±2.综上所述,m=-7或m=3或m=±2.
例3已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:
(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
分析本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系,求出所求直线的斜率后用点斜式求解,也可利用直线系方程来求解.
解:(1)(方法一)利用直线方程的点斜式求解.
由l:3x+4y-20=0,得直线l的斜率kl=-34.
设过点A且平行于l的直线为l1,则直线l1的斜率kl1=kl=-34,
所以l1的方程为y-2=-34(x-2),即3x+4y-14=0.
(方法二)利用直线系方程求解.
设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x+4y+m=0(m≠-20).
由点A(2,2)在直线l1上,得3×2+4×2+m=0,解得m=-14.
故直线l1的方程为3x+4y-14=0.即4x-3y-2=0.
(2)(方法一)设过点A与l垂直的直线为l2,直线l的斜率为kl,直线l2的斜率为kl2.因为klkl2=-1,所以kl2=43,
故直线l2的方程为y-2=43(x-2),
(方法二)设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2经过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2.
故l2的方程为4x-3y-2=0.
跟踪训练3(1)已知直线l过点(1,1)且平行于直线4x+y-8=0,则直线l的方程是( )
A.x-4y+3=0B.x-4y-5=0 C.4x+y+5=0D.4x+y-5=0
(2)以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0
解析:(1)设与直线4x+y-8=0平行的直线方程为4x+y+c=0(c≠-8),
∵直线4x+y+c=0过(1,1),∴4+1+c=0,即c=-5,
则直线方程为4x+y-5=0,故选D.
所以所求直线方程为y-2=-3(x+2),化简为3x+y+4=0.
答案:(1)D (2)B
(2)因为kAB=1-3-5-1=13,AB的中点坐标为(-2,2),
(3)求过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点且平行于直线5x+4y=0的直线方程.
解:由题意得3x+4y-2=0,2x+y+2=0, ①②
②×4-①得5x+10=0,解得x=-2.
将x=-2代入②得2×(-2)+y+2=0,所以y=2.
所以两直线的交点坐标为(-2,2).
设与直线5x+4y=0平行的直线方程为5x+4y+c=0(c≠0),代入(-2,2)
得5×(-2)+4×2+c=0,所以c=2.
故所求直线方程为5x+4y+2=0.
例4如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
分析利用两直线的斜率关系,来研究平行或垂直,对于四边形而言,可以先选取一组对边研究,再选取一组邻边研究,最后下结论.
解:由斜率公式得kOP=t-01-0=t,kQR=2-(2+t)-2t-(1-2t)=-t-1=t,kOR=2-0-2t-0=-1t,kPQ=2+t-t1-2t-1=2-2t=-1t. 所以kOP=kQR,kOR=kPQ,
从而OP∥QR,OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR.
又|OP|=1+t2,|OR|=(-2t)2+22=21+t2,
∴|OP|≠|OR|.故四边形OPQR为矩形.
变式 将例4中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)”,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.
解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图.
由斜率公式可得kAB=5-32-(-4)=13,kCD=0-3-3-6=13,
kAD=0-3-3-(-4)=-3,kBC=3-56-2=-12.
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD,由kAD≠kBC,知AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD=13×(-3)=-1,
所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.
通过对本例题的探究可以看出,研究直线平行或垂直的方法除了前面向量的方法还可以利用直线的斜率进行,利用斜率判断时要注意先对斜率的存在与否进行检验,其次要注意几何图形的内在联系,从而判断几何形状.
跟踪训练4已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为
直角梯形,求A点坐标.(A,B,C,D按逆时针方向排列)
解:(1)若∠A=∠D=90°,如图①,
由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).
图①
(2)若∠A=∠B=90°,如图②. 设A(a,b),则kBC=-3,kAD=b-2a-1,kAB=b+1a-6.由AD∥BC,得kAD=kBC,即b-2a-1=-3;①
由AB⊥BC,得kAB·kBC=-1,即b+1a-6(-3)=-1.②
由①②得a=125,b=-115,故A125,-115.
综上所述,A点坐标为(1,-1)或125,-115.
图②
通过对初中平面几何两直线位置关系的复习，开门见山，提出直角坐标系下判断直线位置关系的问题。
通过直线方程的解得情况及直线的斜率，获得判断两直线位置关系的方法。
同时运用向量方法，获得一般的判断两直线位置关系的方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
在典例分析和练习中让学生熟悉判断两直线位置关系的方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
在典例分析和练习中让学生熟悉判断两直线位置关系的方法，并提高综合分析能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测
1.直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题:
①若l1∥l2,则斜率k1=k2;②若斜率k1=k2,则l1∥l2;
③若倾斜角α1=α2,则l1∥l2;④若l1∥l2,则倾斜角α1=α2.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
解析:①错,②③④正确. 答案:C
2.若点A(3,-4)与点A'(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0
C.6x+y+16=0 D.x+6y-16=0
答案:D
3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
解析:因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求直线斜率k=12,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B. 答案:A
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,则实数m= .
解析:因为直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,
所以12×-2m=-1,所以m=1. 答案:1
5.(1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;
(2)求过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
解:(1)方法一:设直线l的斜率为k,因为l与直线3x+4y+1=0平行,所以k=-34.又因为l经过点(1,2),所以l的方程为y-2=-34(x-1),即3x+4y-11=0.
方法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0(m≠1).
又因为l经过点(1,2),所以3×1+4×2+m=0,即m=-11.所以所求直线l的方程为3x+4y-11=0.
(2)联立l1,l2的方程x-2y+4=0,x+y-2=0,得交点P(0,2),
方法一:设过P点与l3垂直的直线方程为4x+3y+n=0,代入P点坐标得4×0+3×2+n=0,n=-6,所以直线l的方程为4x+3y-6=0.
方法二:因为l1与l2交点为P(0,2),直线l与l3垂直,所以kl=-1kl3=-43,所以直线l的方程为y-2=-43x,即4x+3y-6=0.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
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