2021年高考数学立体几何中必考知识专练（文

专题20：立体几何综合检测卷（文）

一、单选题

1．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．8

2．对于直线和平面，的一个充分条件是（    ）

A．，∥，∥ B．，，

C．，， D．，，

3．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为　(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

4．已知，，则直线与直线的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，是异面直线，那么与相交

B．若//,，则

C．若，则//

D．若//，则

7．底面直径和高都是4的圆柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知两条直线，，两个平面，，，，则下列正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

9．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

10．在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，则与所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

11．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（    ）

A． B．

C． D．

12．如图，正方体的棱长为1，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知某圆锥的高为4，体积为，则其底面半径为_________.

14．下列推理正确的是______.

①，，，

②，

③，

④，

⑤，

15．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的体积为____________．

16．如图所示，在棱锥中，截面平行于底面，且，已知的周长是，则的周长为_______

三、解答题

17．如图，在直三棱柱中，，、分别是棱，的中点，求证：

（1）平面；

（2）.

18．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点．

（1）当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD；

（2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．

19．如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，，.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

20．如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点.

（1）求证：；

（2）若，求证：平面平面.

21．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，.

（1）求证：；

（2）若，三棱锥的体积为1，求线段的长度.

22．如图所示，在三棱锥中，点､分别在棱､上，且.

（1）求证：平面；

（2）若，，求证：平面平面.

专题20：立体几何综合检测卷（文）（解析版）

一、单选题

1．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．8

【答案】C

【分析】

利用正四棱锥的体积公式直接求解.

【详解】

∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，

∴该四棱锥的体积.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查棱锥的体积的求法，属于基础题.

2．对于直线和平面，的一个充分条件是（    ）

A．，∥，∥ B．，，

C．，， D．，，

【答案】C

【分析】

根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案.

【详解】

A选项中，根据，∥，∥，得到或∥，所以A错误；

B选项中，，，，不一定得到，所以B错误；

C选项中，因为，，所以，又，从而得到，所以C正确；

D选项中，根据，，所以，而，所以得到∥，所以D错误.

故选：C．

【点睛】

本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.

3．空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为　(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】D

【分析】

取中点，连接,根据已知条件，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而得到结论.

【详解】

解：取中点，连接,

由已知得

，

又平面,

所以平面，

因此,

故选：D

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理，异面直线所成的角，关键在于线面垂直的判定定理的运用．

4．已知，，则直线与直线的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面

【答案】D

【分析】

由直线平面，直线在平面内，知，或与异面．

【详解】

解：直线平面，直线在平面内，

，或与异面，

故选：D．

【点睛】

本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答．

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，从而可求出其表面积

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，如下图所示，

所以该几何体的表面积为

故选：C

【点睛】

此题考查由三视图求几何体的表面积，解题的关键是还原几何体，属于基础题

6．已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，是异面直线，那么与相交

B．若//,，则

C．若，则//

D．若//，则

【答案】D

【分析】

采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果.

【详解】

若，是异面直线,

与也可平行，故A错

若//，，

也可以在内，故B错

若

也可以在内，故C错

若//，

则，故D对

故选：D

【点睛】

本题主要考查线面以及线线之间的位置关系，属基础题.

7．底面直径和高都是4的圆柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先求出底面圆的周长，再乘圆柱的高即可得侧面积.

【详解】

解：圆柱底面圆的周长为，则侧面积为.

故选:C.

【点睛】

本题考查了圆柱侧面积的求解.本题的易错点是将侧面积看成了表面积.

8．已知两条直线，，两个平面，，，，则下列正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】

对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项.

【详解】

对于A选项，当时，画出图象如下图所示，由图可知，，故A选项正确.

对于B选项，当时，可能，如下图所示，所以B选项错误.

对于CD选项，当时，可能，如下图所示，所以CD选项错误.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题.

9．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.

【详解】

如图，设点为的中点，取的中点，连接，，

则，又平面，平面，∴平面，

易知，故平面与平面是同一个平面，

∴平面，此时，

故选：B

10．在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，则与所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

取的中点，连接，则是与所成的角（或所成角的补角），由此能求出与所成的角的余弦值

【详解】

如图，取的中点，连接，

因为在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别是中点，

所以∥，所以是与所成的角（或所成角的补角），

因为，所以，，

所以，

所以与所成的角的余弦值为，

故选：D

11．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

设，，，计算三棱锥，进而得答案.

【详解】

解：法一：

设，，，

则长方体的体积，

又，且三棱锥的高为，

∴，

则剩余部分的几何体体积，

则，

故选：A.

法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱，

设它的底面面积为，高为，则它的体积为，

而棱锥的底面面积为，高为，

∴棱锥的体积，

剩余部分的体积是，

∴棱锥的体积与剩余部分的体积之比为.

故选：A.

12．如图，正方体的棱长为1，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

因为平面，所以三棱锥的体积等于三棱锥，的体积，棱锥的高为长方体的棱长，底面，是以1为底1为高的三角形，利用棱锥的体积公式可求．

【详解】

解：平面，

三棱锥的体积等于三棱锥，的体积，而三棱锥，高为长方体1，底面，是以1为底1为高的三角形，

；

故选：B．

二、填空题

13．已知某圆锥的高为4，体积为，则其底面半径为_________.

【答案】3

【分析】

直接代入圆锥的体积公式可得解．

【详解】

设底面半径为r，则，

解得，即底面半径为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查圆锥的体积公式，属于基础题．

14．下列推理正确的是______.

①，，，

②，

③，

④，

⑤，

【答案】①②④

【分析】

由平面的性质：公理1，可判断①；由线面垂直的定理可判断②；由线面的位置关系可判断③④；由直线与平面平行的性质定理可判断⑤.

【详解】

解：①，，，，即，故①对；

②，，故②对；

③，，可能l与相交，可能有，故③不对；

④，，必有故，④对；

⑤，，则l，m可能平行，也可能异面，⑤不对，

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查点、线、面的位置关系，属于基础题.

15．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的体积为____________．

【答案】36π

【分析】

先由已知条件证明OA⊥平面SCB，确定三棱锥S­ABC的高，利用体积构建关系解得半径，再求球的体积即可.

【详解】

如图，

连接OA，OB.

由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.

又由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，知OA⊥平面SCB.

设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，

所以三棱锥S­ABC的体积为，

即＝9.所以r＝3. 所以球的体积

故答案为：36π.

16．如图所示，在棱锥中，截面平行于底面，且，已知的周长是，则的周长为_______

【答案】

【分析】

可知∽，则，即可求出.

【详解】

由已知得，，，∴∽，

∴，又∵，∴，

∴的周长.

故答案为：6.

三、解答题

17．如图，在直三棱柱中，，、分别是棱，的中点，求证：

（1）平面；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】

（1）首先利用三角形中位线得到，根据得到，再利用线面平行的判定即可证明平面.

（2）首先易证平面，从而得到平面，再根据线面垂直的性质即可得到.

【详解】

（1）因为、分别是棱，的中点，所以.

又因为，所以.

平面，平面，所以平面.

（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面.

平面，所以.

又因为，所以，

又，所以平面.

因为，所以平面.

平面，所以.

18．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点D是线段AB上的动点．

（1）当点D是AB的中点时，求证：AC1∥平面B1CD；

（2）线段AB上是否存在点D，使得平面ABB1A1⊥平面CDB1？若存在，试求出AD的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）AD＝.

【分析】

（1）在中，利用中位线定理得DE∥AC1，再利用线面平行的判定定理即证；

（2）作CD⊥AB时，即证CD⊥平面ABB1A1，证得平面ABB1A1⊥平面CDB1，再利用直角三角形中的射影定理求得AD即可.

【详解】

（1）证明：如图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，

则点E是BC1的中点，又点D是AB的中点，由中位线定理得DE∥AC1，.

因为DE⊂平面B1CD， AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD..

(2)当CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1.

证明：因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

所以AA1⊥CD. 又CD⊥AB，AA1∩AB＝A， 所以CD⊥平面ABB1A1，

因为CD⊂平面CDB1，所以平面ABB1A1⊥平面CDB1，

故点D满足CD⊥AB时，平面ABB1A1⊥平面CDB1.

因为AB＝5，AC＝3，BC＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，

故△ABC是以角C为直角的三角形，又CD⊥AB，所以利用直角三角形中的射影定理得.

19．如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，，.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）先由面面垂直的性质得平面，即得，再结合即可证明；

（2）利用等体积法可求出.

【详解】

（1）证明： ，平面平面，

平面平面，

平面.

平面，

因为平面，所以，

因为四边形是正方形，所以，

因为，平面，

所以平面；

（2）.

20．如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点.

（1）求证：；

（2）若，求证：平面平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由线面垂直和菱形的性质，结合线面垂直的判定定理可证得平面，由线面垂直性质可证得结论；

（2）利用线面垂直性质和等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理可证得平面，由面面垂直的判定定理可证得结论.

【详解】

（1）平面，平面，.

又底面为菱形，.

平面，，平面，

又平面，.

（2）平面，平面，.

底面为菱形，，为等边三角形，

又为的中点，，又，，

平面，，平面，

又平面，平面平面.

21．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，.

（1）求证：；

（2）若，三棱锥的体积为1，求线段的长度.

【答案】（1）见解析（2）

【分析】

（1）取AD中点M，连接PM，BM，证出，，再利用线面垂直的判定定理证出平面，进而证出.

（2）利用面面垂直的性质定理可得平面，再利用等体法：求出，在中，利用勾股定理即可求解.

【详解】

解:（1） 取AD中点M，连接PM，BM，

.

∵四边形是菱形，且，

∴是正三角形， ，

又，∴平面. 

又平面，.

（2）∵平面平面，且交线为，

∵，∴平面.

在正三角形中，，

∴.  

由题意可知，，

.

，

.∵平面，平面，

.

,

 .

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、面面垂直的性质定理、等体法求点到面的距离，属于基础题.

22．如图所示，在三棱锥中，点､分别在棱､上，且.

（1）求证：平面；

（2）若，，求证：平面平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由，利用直线与平面平行的判断定理，证明平面.

（2）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面.

【详解】

（1）∵在三棱锥中，点､分别在棱､上，且.

平面，平面，∴平面

（2）∵，，∴，

∵，

∴平面，

∵平面

∴平面平面.

【点睛】

本题考查的是空间中平行与垂直的证明，较简单.