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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试课后作业题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试课后作业题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷——学考合格性考试滚动检测卷
(时间：100分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D 事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共有6个样本点．故选D.
2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：选D 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小．故选D.
3．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生 B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生 D．事件A发生的可能性很大
解析：选B 概率只能度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．故选B.
4．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指( )
A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
解析：选D 概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确．故选D.
5．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列试验包含3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析：选A “至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”、“1分、2分都向上”三个样本点．故选A.
6．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：选A 由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件．故选A.
7．若A，B是互斥事件，则( )
A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1
解析：选D ∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1)．故选D.
8．下列是古典概型的是( )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
解析：选C A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本空间中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中两个样本点不是等可能的，故D不是．故选C.
9．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副 B．224.4副
C．不少于225副 D．不多于225副
解析：选C 根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副．故选C.
10．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据样本频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为( )
A．0.25 B．0.20
C．0.35 D．0.45
解析：选A 袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的有5袋，故所求概率P≈0.25.故选A.
11．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
解析：选C 此试验的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，两胎均是女孩的样本点有1个，故概率为eq \f(1,4).故选C.
12．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,5)
C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,4)
解析：选A 甲、乙两名同学分班有以下情况：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种，其中符合条件的有3种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).故选A.
13．掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( )
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率大于eq \f(1,6)
C．出现“6点朝上”的概率等于eq \f(1,6)
D．无法预测“6点朝上”的概率
解析：选C 随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关，由于正方体骰子质地均匀，所以它出现哪一面朝上的可能性都是eq \f(1,6).故选C.
14．从高中应届毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为eq \f(3,4)，视力合格的概率为eq \f(1,2)，其他标准合格的概率为eq \f(1,5)，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )
A.eq \f(3,8) B．eq \f(1,10)
C.eq \f(3,20) D.eq \f(3,40)
解析：选D 设这批学生“体型合格”为事件A，“视力合格”为事件B，“其他标准合格”为事件C，因A，B，C相互独立，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＝eq \f(3,40).故选D.
15．设a是掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为( )
A.eq \f(2,3) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,12)
解析：选A 此试验的样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若方程有两个不相等的实根则Δ＝a2－8＞0，满足上述条件的样本点有4个，故P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).故选A.
16．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解析：选B 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，此试验的样本空间Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，其中B先于A，C通过的样本点有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选B.
17．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为eq \f(3,4)
C．淋雨机会为eq \f(1,2) D．淋雨机会为eq \f(1,4)
解析：选D 用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b表示帐篷运到和运不到，则此试验的样本空间Ω＝{(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)}，则当样本点(A，b)发生时就会被雨淋到，故淋雨的概率为P＝eq \f(1,4).故选D.
18．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
解析：选D P(A1)＝eq \f(3,5)，若A1发生，则P(A2)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)；若A1不发生，则P(A2)＝eq \f(3,4)，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，故A1与A2不是相互独立事件．故选D.
19．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋各摸出一个球，则eq \f(2,3)等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：选C 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,2)，由于A，B相互独立，所以1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3).根据互斥事件可知C正确．故选C.
20．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
解析：选A 由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜．于是这两局有四种可能，即(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率为eq \f(3,4)，乙获胜的概率为eq \f(1,4).所以甲得到的游戏牌为12×eq \f(3,4)＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×eq \f(1,4)＝3(张)．故选A.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)
21．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
解析：设共进行了n次试验，则有eq \f(10,n)＝0.02，得n＝500，故共进行500次试验．
答案：500
22．袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为eq \f(1,7)，则a＝________.
解析：由eq \f(3,3＋a)＝eq \f(1,7)，得a＝18.
答案：18
23.如图所示，沿田字形路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率为________．
解析：由A到N所有走法共有6种，而经过点C的走法有4种，故P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
24．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有两个面涂有颜色的概率是________．
解析：27个小正方体中两面涂有颜色的共有12个．如右图所示，每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中每一层中有4个小正方体恰有2个面涂有颜色．故恰有两个面涂有颜色的概率P＝eq \f(12,27)＝eq \f(4,9).
答案：eq \f(4,9)
25．已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________.
解析：记两个零件中“恰有一个一等品”的事件为A，
则P(A)＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)－eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12).
答案：eq \f(5,12)
三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
26．(本小题满分8分)某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．
贫困地区：
发达地区：
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解：(1)贫困地区依次填：0.533,0.540,0.520,0.520，0.512，0.503.
发达地区依次填：0.567,0.580,0.560,0.555,0.552,0.550.
(2)贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，
故概率分别为0.5和0.55.
27．(本小题满分8分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率
P1＝P(A1eq \x\t(A)2A3∪eq \x\t(A)1A2A3)＝P(A1)P(eq \x\t(A)2)P(A3)＋P(eq \x\t(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)
＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
28．(本小题满分9分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解：(1)甲、乙出手指都有5种可能的结果，甲出手指的每一个结果都可与乙出手指的任意一个结果配对，组成甲、乙出手指游戏的一个结果．用数字m表示甲出手指的根数，数字n表示乙出手指的根数．则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5}}，其中共有25个样本点，因为A＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，所以n(A)＝5，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(5,25)＝eq \f(1,5).
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．设事件D＝“和为偶数”，则D＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}，所以n(D)＝13.
所以甲赢的概率为P(D)＝eq \f(13,25)，乙赢的概率为1－P(D)＝eq \f(12,25).
所以这种游戏规则不公平．
B卷——面向全国卷高考滚动检测卷
(时间：120分钟，满分150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是随机事件的是( )
①同种电荷，互相排斥；
②明天是晴天；
③自由下落的物体作匀速直线运动；
④函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④
C．②④ D．③④
解析：选C ②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．故选C.
2．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是( )
A．至多有2只不成对 B．恰有2只不成对
C．4只全部不成对 D．至少有2只不成对
解析：选D 从四双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”．故选D.
3．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
解析：选B 对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选B.
4．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节6个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁4位同学接到绘制二十四节气彩绘任务，现4位同学抽签确定每位同学完成一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
解析：选B 由题意可知，每个人抽到的可能性都是相同的，因此甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是eq \f(1,4).故选B.
5．《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件A，则事件A发生的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选A 甲、乙等五位候选参赛者分别记为甲，乙，c，d，e.则从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人，该试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，c)，(甲，d)，(甲，e)，(乙，c)，(乙，d)，(乙，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}共有10个样本点．事件A＝{(甲，c)，(甲，d)，(甲，e)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(3,10)＝0.3.故选A.
6．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法( )
A．公平，每个班被选到的概率都为eq \f(1,12)
B．公平，每个班被选到的概率都为eq \f(1,6)
C．不公平，6班被选到的概率最大
D．不公平，7班被选到的概率最大
解析：选D P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝eq \f(1,36)，P(3)＝P(11)＝eq \f(1,18)，P(4)＝P(10)＝eq \f(1,12)，P(5)＝P(9)＝eq \f(1,9)，P(6)＝P(8)＝eq \f(5,36)，P(7)＝eq \f(1,6).故选D.
7．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则( )
A．P1＝P2
C．P1
解析：选B 先后抛掷两颗质地均匀的骰子的点数共有36个样本点：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个样本点都是等可能发生的，而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1
8．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
解析：选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可如图所示，任何一个事件与其余三个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.
9．2021年某省新高考改革方案正式出台，本科高校考试招生主要安排在夏季进行，考试科目按“3＋1＋2”模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语，“1”由考生在物理、历史2门中选择1门，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
解析：选C “3＋1＋2”模式中选考科有(物理，生物，化学)，(物理，生物，地理)，(物理，生物，思想政治)，(物理，化学，地理)，(物理，化学，思想政治)，(物理，地理，思想政治)，(历史，生物，化学)，(历史，生物，地理)，(历史，生物，思想政治)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，(历史，地理，思想政治)，共12种情况，其中该学生选择考历史和化学的选法有(历史，化学，生物)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，共3种情况，∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率是eq \f(3,12)＝eq \f(1,4).故选C.
10．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB∪eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B))＝0.44，则P(B)＝( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选A 因为A，B是相互独立事件，所以eq \x\t(A)，B和A，eq \x\t(B)均相互独立．因为P(A)＝0.2，P(AB∪eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B))＝0.44，所以P(A)P(B)＋P(eq \x\t(A))P(B)＋P(A)P(eq \x\t(B))＝0.44，所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.故选A.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11．下列各选项表述正确的是( )
A．若事件A与事件B为同一样本空间的两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
B．若事件A与事件B互斥，则P(A)＋P(B)>1
C．若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)
D．Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B表示A，B两事件恰有一个发生
解析：选CD 对于A，同一样本空间内的两个事件A，B，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立，A错；对于B，A与B互斥，则P(A)＋P(B)≤1，B错；对于C，由相互独立事件的定义可知，C正确；对于D，Aeq \x\t(B)表示A发生且B不发生，eq \x\t(A)B表示A不发生且B发生，事件Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B表示A，B两事件恰有一个发生，D正确．故选C、D.
12．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品为20件，二等品为70件，其余为次品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A＝“是一等品”，B＝“是二等品”，C＝“是次品”，则下列结果正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(7,10) B．P(A∪B)＝eq \f(9,10)
C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)
解析：选ABC 根据事件的关系及运算求解，A，B为互斥事件，故C项正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，则A、B两项正确，D项错误．故选A、B、C.
13．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为( )
A．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出奇数点}
B．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3点}
C．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3的倍数点}
D．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出的点数小于4}
解析：选ABD 对于A，∵P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,2)，P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；
对于B，∵P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,6)且P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；
对于C，∵P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)且P(MN)＝eq \f(1,6)，∴事件M与事件N独立；
对于D，∵P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,2)且P(MN)＝eq \f(1,6)，∴事件M与事件N不独立．故选A、B、D.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)
14．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
解析：设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以eq \f(1 200,x)＝eq \f(100,1 000)，解得x＝12 000.
答案：12 000
15．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
解析：此试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．记“甲，乙相邻而站”为事件A，则A＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，所以n(A)＝4，
从而甲，乙两人相邻而站的概率为P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪eq \x\t(B)发生的概率为________．( eq \x\t(B)表示B的对立事件)
解析：事件A包含的样本点为“出现2点”或“出现4点”；eq \x\t(B)表示“大于等于5的点出现”，包含的样本点为“出现5点”或“出现6点”．显然A与eq \x\t(B)是互斥的，故P(A∪eq \x\t(B))＝P(A)＋P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
17．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
解析：设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件eq \(A,\s\up6(－))为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件eq \x\t(B)为“取得红球”．
因为事件A与B相互独立，所以事件eq \x\t(A)与eq \x\t(B)相互独立．
所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P(AB∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(AB)＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：
(1)甲被选中的概率；
(2)丁没被选中的概率．
解：四人中选两名代表，这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}．
(1)记“甲被选中”为事件A，则A＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)}，所以n(A)＝3，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
(2)记“丁没被选中”为事件B，则B＝{(甲，乙)，(甲，丙), (乙，丙)}，所以n(B)＝3，从而P(B)＝eq \f(nB,nΩ)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
19．(本小题满分14分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表：
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有可能结果为：
由以上树状图知共有18个样本点，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4个样本点，故所求概率P＝eq \f(4,18)＝eq \f(2,9).
20．(本小题满分14分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为eq \f(4,5)，乙当选的概率为eq \f(3,5)，丙当选的概率为eq \f(7,10).
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(3,5)，P(C)＝eq \f(7,10).
(1)易知事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(Aeq \(B,\s\up6(－)) eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \x\t(A)Beq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A) eq \x\t(B)C)
＝P(A)P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(B)P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(C)
＝eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(47,250).
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(83,125).
21．(本小题满分14分)(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000(部)，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50(部)，
故所求概率为eq \f(50,2 000)＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372(部)，
故所求概率估计为1－eq \f(372,2 000)＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
22．(本小题满分14分)(2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45])．
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．
解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为P＝0.02×5＝0.1，
故年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1＝20(人)．
(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，
所以用分层抽样的方法在第3,4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3,4组中分别抽取3人，2人．
记第3组的3名市民分别为A1，A2，A3，第4组的2名市民分别为B1，B2，
则从5名市民中选取2名做重点发言，这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，其中共有10个样本点．
设事件A＝“第4组的2名B1，B2至少有一名被选中”，则A＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共有7个样本点，所以n(A)＝7，
所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(7,10).
23．(本小题满分14分)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×eq \f(8,20)＝40(人)．
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8.
由题意可知，P(Ai)＝eq \f(1,5)，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝eq \f(1,8)，j＝1,2，…，8.
P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,8)＝eq \f(1,40)，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，
E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)
＝15×eq \f(1,40)＝eq \f(3,8).
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
A班
6 6.5 7 7.5 8
B班
6 7 8 9 10 11 12
C班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
A卷——学考合格性考试滚动检测卷
(时间：100分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D 事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共有6个样本点．故选D.
2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析：选D 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小．故选D.
3．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生 B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生 D．事件A发生的可能性很大
解析：选B 概率只能度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．故选B.
4．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指( )
A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
解析：选D 概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确．故选D.
5．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列试验包含3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析：选A “至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”、“1分、2分都向上”三个样本点．故选A.
6．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：选A 由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件．故选A.
7．若A，B是互斥事件，则( )
A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1
解析：选D ∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1)．故选D.
8．下列是古典概型的是( )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
解析：选C A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本空间中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中两个样本点不是等可能的，故D不是．故选C.
9．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副 B．224.4副
C．不少于225副 D．不多于225副
解析：选C 根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副．故选C.
10．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据样本频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为( )
A．0.25 B．0.20
C．0.35 D．0.45
解析：选A 袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的有5袋，故所求概率P≈0.25.故选A.
11．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
解析：选C 此试验的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，两胎均是女孩的样本点有1个，故概率为eq \f(1,4).故选C.
12．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,5)
C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,4)
解析：选A 甲、乙两名同学分班有以下情况：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种，其中符合条件的有3种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).故选A.
13．掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( )
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率大于eq \f(1,6)
C．出现“6点朝上”的概率等于eq \f(1,6)
D．无法预测“6点朝上”的概率
解析：选C 随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关，由于正方体骰子质地均匀，所以它出现哪一面朝上的可能性都是eq \f(1,6).故选C.
14．从高中应届毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为eq \f(3,4)，视力合格的概率为eq \f(1,2)，其他标准合格的概率为eq \f(1,5)，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )
A.eq \f(3,8) B．eq \f(1,10)
C.eq \f(3,20) D.eq \f(3,40)
解析：选D 设这批学生“体型合格”为事件A，“视力合格”为事件B，“其他标准合格”为事件C，因A，B，C相互独立，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(3,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＝eq \f(3,40).故选D.
15．设a是掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为( )
A.eq \f(2,3) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,12)
解析：选A 此试验的样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若方程有两个不相等的实根则Δ＝a2－8＞0，满足上述条件的样本点有4个，故P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).故选A.
16．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解析：选B 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，此试验的样本空间Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，其中B先于A，C通过的样本点有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选B.
17．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为eq \f(3,4)
C．淋雨机会为eq \f(1,2) D．淋雨机会为eq \f(1,4)
解析：选D 用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b表示帐篷运到和运不到，则此试验的样本空间Ω＝{(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)}，则当样本点(A，b)发生时就会被雨淋到，故淋雨的概率为P＝eq \f(1,4).故选D.
18．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
解析：选D P(A1)＝eq \f(3,5)，若A1发生，则P(A2)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)；若A1不发生，则P(A2)＝eq \f(3,4)，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，故A1与A2不是相互独立事件．故选D.
19．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋各摸出一个球，则eq \f(2,3)等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：选C 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,2)，由于A，B相互独立，所以1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3).根据互斥事件可知C正确．故选C.
20．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
解析：选A 由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜．于是这两局有四种可能，即(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率为eq \f(3,4)，乙获胜的概率为eq \f(1,4).所以甲得到的游戏牌为12×eq \f(3,4)＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×eq \f(1,4)＝3(张)．故选A.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)
21．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
解析：设共进行了n次试验，则有eq \f(10,n)＝0.02，得n＝500，故共进行500次试验．
答案：500
22．袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为eq \f(1,7)，则a＝________.
解析：由eq \f(3,3＋a)＝eq \f(1,7)，得a＝18.
答案：18
23.如图所示，沿田字形路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率为________．
解析：由A到N所有走法共有6种，而经过点C的走法有4种，故P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
24．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有两个面涂有颜色的概率是________．
解析：27个小正方体中两面涂有颜色的共有12个．如右图所示，每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中每一层中有4个小正方体恰有2个面涂有颜色．故恰有两个面涂有颜色的概率P＝eq \f(12,27)＝eq \f(4,9).
答案：eq \f(4,9)
25．已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________.
解析：记两个零件中“恰有一个一等品”的事件为A，
则P(A)＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)－eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12).
答案：eq \f(5,12)
三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
26．(本小题满分8分)某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．
贫困地区：
发达地区：
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解：(1)贫困地区依次填：0.533,0.540,0.520,0.520，0.512，0.503.
发达地区依次填：0.567,0.580,0.560,0.555,0.552,0.550.
(2)贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，
故概率分别为0.5和0.55.
27．(本小题满分8分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率
P1＝P(A1eq \x\t(A)2A3∪eq \x\t(A)1A2A3)＝P(A1)P(eq \x\t(A)2)P(A3)＋P(eq \x\t(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)
＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
28．(本小题满分9分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解：(1)甲、乙出手指都有5种可能的结果，甲出手指的每一个结果都可与乙出手指的任意一个结果配对，组成甲、乙出手指游戏的一个结果．用数字m表示甲出手指的根数，数字n表示乙出手指的根数．则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5}}，其中共有25个样本点，因为A＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，所以n(A)＝5，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(5,25)＝eq \f(1,5).
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．设事件D＝“和为偶数”，则D＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}，所以n(D)＝13.
所以甲赢的概率为P(D)＝eq \f(13,25)，乙赢的概率为1－P(D)＝eq \f(12,25).
所以这种游戏规则不公平．
B卷——面向全国卷高考滚动检测卷
(时间：120分钟，满分150分)
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是随机事件的是( )
①同种电荷，互相排斥；
②明天是晴天；
③自由下落的物体作匀速直线运动；
④函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④
C．②④ D．③④
解析：选C ②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．故选C.
2．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是( )
A．至多有2只不成对 B．恰有2只不成对
C．4只全部不成对 D．至少有2只不成对
解析：选D 从四双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”．故选D.
3．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
解析：选B 对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选B.
4．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节6个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁4位同学接到绘制二十四节气彩绘任务，现4位同学抽签确定每位同学完成一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
解析：选B 由题意可知，每个人抽到的可能性都是相同的，因此甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是eq \f(1,4).故选B.
5．《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件A，则事件A发生的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选A 甲、乙等五位候选参赛者分别记为甲，乙，c，d，e.则从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人，该试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，c)，(甲，d)，(甲，e)，(乙，c)，(乙，d)，(乙，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}共有10个样本点．事件A＝{(甲，c)，(甲，d)，(甲，e)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(3,10)＝0.3.故选A.
6．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法( )
A．公平，每个班被选到的概率都为eq \f(1,12)
B．公平，每个班被选到的概率都为eq \f(1,6)
C．不公平，6班被选到的概率最大
D．不公平，7班被选到的概率最大
解析：选D P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝eq \f(1,36)，P(3)＝P(11)＝eq \f(1,18)，P(4)＝P(10)＝eq \f(1,12)，P(5)＝P(9)＝eq \f(1,9)，P(6)＝P(8)＝eq \f(5,36)，P(7)＝eq \f(1,6).故选D.
7．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则( )
A．P1＝P2
C．P1
解析：选B 先后抛掷两颗质地均匀的骰子的点数共有36个样本点：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个样本点都是等可能发生的，而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1
8．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
解析：选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可如图所示，任何一个事件与其余三个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.
9．2021年某省新高考改革方案正式出台，本科高校考试招生主要安排在夏季进行，考试科目按“3＋1＋2”模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语，“1”由考生在物理、历史2门中选择1门，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
解析：选C “3＋1＋2”模式中选考科有(物理，生物，化学)，(物理，生物，地理)，(物理，生物，思想政治)，(物理，化学，地理)，(物理，化学，思想政治)，(物理，地理，思想政治)，(历史，生物，化学)，(历史，生物，地理)，(历史，生物，思想政治)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，(历史，地理，思想政治)，共12种情况，其中该学生选择考历史和化学的选法有(历史，化学，生物)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，共3种情况，∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率是eq \f(3,12)＝eq \f(1,4).故选C.
10．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB∪eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B))＝0.44，则P(B)＝( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选A 因为A，B是相互独立事件，所以eq \x\t(A)，B和A，eq \x\t(B)均相互独立．因为P(A)＝0.2，P(AB∪eq \x\t(A)B∪Aeq \x\t(B))＝0.44，所以P(A)P(B)＋P(eq \x\t(A))P(B)＋P(A)P(eq \x\t(B))＝0.44，所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.故选A.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
11．下列各选项表述正确的是( )
A．若事件A与事件B为同一样本空间的两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
B．若事件A与事件B互斥，则P(A)＋P(B)>1
C．若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)
D．Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B表示A，B两事件恰有一个发生
解析：选CD 对于A，同一样本空间内的两个事件A，B，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立，A错；对于B，A与B互斥，则P(A)＋P(B)≤1，B错；对于C，由相互独立事件的定义可知，C正确；对于D，Aeq \x\t(B)表示A发生且B不发生，eq \x\t(A)B表示A不发生且B发生，事件Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B表示A，B两事件恰有一个发生，D正确．故选C、D.
12．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品为20件，二等品为70件，其余为次品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A＝“是一等品”，B＝“是二等品”，C＝“是次品”，则下列结果正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(7,10) B．P(A∪B)＝eq \f(9,10)
C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)
解析：选ABC 根据事件的关系及运算求解，A，B为互斥事件，故C项正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，则A、B两项正确，D项错误．故选A、B、C.
13．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为( )
A．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出奇数点}
B．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3点}
C．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3的倍数点}
D．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出的点数小于4}
解析：选ABD 对于A，∵P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,2)，P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；
对于B，∵P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,6)且P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；
对于C，∵P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,3)且P(MN)＝eq \f(1,6)，∴事件M与事件N独立；
对于D，∵P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,2)且P(MN)＝eq \f(1,6)，∴事件M与事件N不独立．故选A、B、D.
三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)
14．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
解析：设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以eq \f(1 200,x)＝eq \f(100,1 000)，解得x＝12 000.
答案：12 000
15．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
解析：此试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．记“甲，乙相邻而站”为事件A，则A＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，所以n(A)＝4，
从而甲，乙两人相邻而站的概率为P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪eq \x\t(B)发生的概率为________．( eq \x\t(B)表示B的对立事件)
解析：事件A包含的样本点为“出现2点”或“出现4点”；eq \x\t(B)表示“大于等于5的点出现”，包含的样本点为“出现5点”或“出现6点”．显然A与eq \x\t(B)是互斥的，故P(A∪eq \x\t(B))＝P(A)＋P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
17．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
解析：设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件eq \(A,\s\up6(－))为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件eq \x\t(B)为“取得红球”．
因为事件A与B相互独立，所以事件eq \x\t(A)与eq \x\t(B)相互独立．
所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P(AB∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(AB)＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：
(1)甲被选中的概率；
(2)丁没被选中的概率．
解：四人中选两名代表，这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}．
(1)记“甲被选中”为事件A，则A＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)}，所以n(A)＝3，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
(2)记“丁没被选中”为事件B，则B＝{(甲，乙)，(甲，丙), (乙，丙)}，所以n(B)＝3，从而P(B)＝eq \f(nB,nΩ)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
19．(本小题满分14分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表：
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有可能结果为：
由以上树状图知共有18个样本点，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4个样本点，故所求概率P＝eq \f(4,18)＝eq \f(2,9).
20．(本小题满分14分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为eq \f(4,5)，乙当选的概率为eq \f(3,5)，丙当选的概率为eq \f(7,10).
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(3,5)，P(C)＝eq \f(7,10).
(1)易知事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(Aeq \(B,\s\up6(－)) eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \x\t(A)Beq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A) eq \x\t(B)C)
＝P(A)P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(B)P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(C)
＝eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,10)＋eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(47,250).
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(7,10)＝eq \f(83,125).
21．(本小题满分14分)(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000(部)，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50(部)，
故所求概率为eq \f(50,2 000)＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372(部)，
故所求概率估计为1－eq \f(372,2 000)＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
22．(本小题满分14分)(2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45])．
(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．
解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为P＝0.02×5＝0.1，
故年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1＝20(人)．
(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，
所以用分层抽样的方法在第3,4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3,4组中分别抽取3人，2人．
记第3组的3名市民分别为A1，A2，A3，第4组的2名市民分别为B1，B2，
则从5名市民中选取2名做重点发言，这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，其中共有10个样本点．
设事件A＝“第4组的2名B1，B2至少有一名被选中”，则A＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共有7个样本点，所以n(A)＝7，
所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(7,10).
23．(本小题满分14分)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×eq \f(8,20)＝40(人)．
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8.
由题意可知，P(Ai)＝eq \f(1,5)，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝eq \f(1,8)，j＝1,2，…，8.
P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,8)＝eq \f(1,40)，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，
E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)
＝15×eq \f(1,40)＝eq \f(3,8).
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
A班
6 6.5 7 7.5 8
B班
6 7 8 9 10 11 12
C班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
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