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    高中数学3.2 双曲线课后练习题

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    这是一份高中数学3.2 双曲线课后练习题,共12页。
    一、选择题


    1.(2020·广东湛江高二期末)已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直,则双曲线的离心率为( )


    A.B.C.或D.或


    2.(2020·北京大兴区高二月考)已知点P是双曲线C:x21的一条渐近线y=kx(k>0)上一点,F是双曲线C的右焦点,若△OPF的面积为5,则点P的横坐标为( )


    A.B.C.D.


    3.(2020·西南大学附中高二月考)斜率存在的直线点且与双曲线:有且只有一个公共点,则直线斜率为( )


    A.B.C.2或D.或


    4.(2020·陕西西安中学高二月考)已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论错误的是( )


    A.曲线的方程为;


    B.左焦点到一条渐近线距离为;


    C.直线与曲线有两个公共点;


    D.过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条;


    5.(多选题)(2020·东莞市东华高级中学月考)双曲线的左、右焦点分别为,点为的左支上任意一点,直线是双曲线的一条渐近线,,垂足为.当的最小值为3时,的中点在双曲线上,则( )


    A.的方程为B.的离心率为


    C.的渐近线方程为D.的方程为


    6. (多选题)(2020·福清西山学校高二期中)在平面直角坐标系中,动点与两个定点和连线的斜率之积等于,记点的轨迹为曲线,直线:与交于,两点,则( )


    A.的方程为B.的离心率为


    C.的渐近线与圆相切D.满足的直线仅有1条


    二、填空题


    7.(2020·湖南师大附中月考)过双曲线的下焦点作轴的垂线,交双曲线于两点,若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________.


    8.(2020·云南师大附中高二月考)设双曲线的右焦点为F,过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A,且,O为坐标原点,则C的离心率为_________.


    9.(2020·内江市第六中学其他模拟(文))已知双曲线:的一条渐近线方程是,过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于,两点,则截得的弦长________.


    10.(2020·河北石家庄一中高二月考)设,分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使,为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为__________.


    三、解答题


    11. (2020·重庆市万州沙河中学高二月考)已知双曲线与双曲线的渐近线相同,且经过点.


    (1)求双曲线的方程;


    (2)已知双曲线的左右焦点分别为,直线经过,倾斜角为与双曲线交于两点,求的面积.


    12.(2020·全国高二课时练)已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数,且直线经过椭圆的右顶点.


    (1)求椭圆C的标准方程;


    (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且,求面积的取值范围.











    3.2.2双曲线的简单几何性质 (2) -B提高练


    一、选择题


    1.(2020·广东湛江高二期末)已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直,则双曲线的离心率为( )


    A.B.C.或D.或


    【答案】C


    【解析】双曲线的渐进线方程为,故双曲线的渐近线方程为.


    设双曲线的方程为.当时,双曲线的方程为,则,解得:;当时,双曲线的方程为,则,解得:;故选C


    2.(2020·北京大兴区高二月考)已知点P是双曲线C:x21的一条渐近线y=kx(k>0)上一点,F是双曲线C的右焦点,若△OPF的面积为5,则点P的横坐标为( )


    A.B.C.D.


    【答案】A


    【解析】由双曲线方程可得a=1,b=2,则c,则渐近线方程为:y=2x,F(,0),又Sc•|yP|=5,则yP=±2,当y=2时,x,当y=﹣2时,x,


    故点P的横坐标为±,故选:A.


    3.(2020·西南大学附中高二月考)斜率存在的直线点且与双曲线:有且只有一个公共点,则直线斜率为( )


    A.B.C.2或D.或





    【答案】D


    【解析】由题意,设直线的方程为,代入双曲线方程化简可得,


    当即时,只有一解,满足直线与双曲线有且只有一个公共点;当时,令,解得,此时方程有两个相等实数根,


    满足直线与双曲线有且只有一个公共点;所以或.故选:D.


    4.(2020·陕西西安中学高二月考)已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论错误的是( )


    A.曲线的方程为;


    B.左焦点到一条渐近线距离为;


    C.直线与曲线有两个公共点;


    D.过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条;


    【答案】C


    【解析】因为双曲线的渐近线方程为,所以可设双曲线方程为,又双曲线过点,所以,所以双曲线方程为,A正确;由双曲线方程知,,左焦点为,渐近线方程为,左焦点到渐近线的中庸为,B正确;由得,代入双曲线方程整理得,解得,所以,直线与双曲线只有一个公共点,C错;双曲线的通径长为,因此过右焦点,且两顶点都右支上弦长为的弦有两条,又两顶点间距离为,因此端点在双曲线左右两支上且弦长为的弦只有一条,为实轴,所以共有3条弦的弦长为,D正确.故选:C.





    5.(多选题)(2020·东莞市东华高级中学月考)双曲线的左、右焦点分别为,点为的左支上任意一点,直线是双曲线的一条渐近线,,垂足为.当的最小值为3时,的中点在双曲线上,则( )


    A.的方程为B.的离心率为


    C.的渐近线方程为D.的方程为


    【答案】BCD


    【解析】因为,所以


    因为焦点到渐近线的距离为,所以的最小值为,所以 不妨设直线为,因为,所以点,,的中点为.将其代入双曲线的方程,得,即,解得 又因为,所以,故双曲线的方程为,离心率为,渐近线方程为,故选:BCD


    6. (多选题)(2020·福清西山学校高二期中)在平面直角坐标系中,动点与两个定点和连线的斜率之积等于,记点的轨迹为曲线,直线:与交于,两点,则( )


    A.的方程为B.的离心率为


    C.的渐近线与圆相切D.满足的直线仅有1条


    【答案】AC


    【解析】设点,由已知得,整理得,所以点的轨迹为曲








    线的方程为,故A正确;又离心率,故B不正确;


    圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为,


    又圆的半径为1,故C正确;直线与曲线的方程联立整理得,设, ,且,有,所以,要满足,则需,解得或或,当,此时,而曲线E上,所以满足条件的直线有两条,故D不正确,故选:AC.


    二、填空题


    7.(2020·湖南师大附中月考)过双曲线的下焦点作轴的垂线,交双曲线于两点,若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________.


    【答案】


    【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线,交双曲线于,两点,则,以为直径的圆恰好过其上焦点,可得:,∴,可得,解得,舍去.


    8.(2020·云南师大附中高二月考)设双曲线的右焦点为F,过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A,且,O为坐标原点,则C的离心率为_________.


    【答案】


    【解析】由题意可得,渐近线方程为,


    ∴,,故.


    9.(2020·内江市第六中学其他模拟(文))已知双曲线:的一条渐近线方程是,过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于,两点,则截得的弦长________.


    【答案】10


    【解析】∵双曲线:的一条渐近线方程是,


    ∴,即,∵左焦点,∴


    ∴,∴,,


    ∴双曲线方程为,直线的方程为,


    设,由,


    消可得,∴,,


    ∴.


    10.(2020·河北石家庄一中高二月考)设,分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使,为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为__________.


    【答案】


    【解析】取的中点,则∵,


    ∴,∴,∵是的中位线,∴,.


    由双曲线的定义得,∵,∴,.


    中,由勾股定理得,∴,∴.


    三、解答题


    11. (2020·重庆市万州沙河中学高二月考)已知双曲线与双曲线的渐近线相同,且经过点.


    (1)求双曲线的方程;


    (2)已知双曲线的左右焦点分别为,直线经过,倾斜角为与双曲线交于两点,求的面积.


    【解析】(1)设所求双曲线方程为,代入点得:,即,


    ∴双曲线方程为,即.


    (2)由(1)知:,即直线的方程为.


    设,联立得,


    满足且,,


    由弦长公式得,


    点到直线的距离.


    所以





    12.(2020·全国高二课时练)已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数,且直线经过椭圆的右顶点.


    (1)求椭圆C的标准方程;


    (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且,求面积的取值范围.


    【解析】(1)∵双曲线的离心率为,


    ∴椭圆的离心率.


    又∵直线经过椭圆的右顶点,令,则


    ∴右顶点的坐标为,即,


    ∴椭圆C的标准方程为.


    (2)由题意可知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,.


    联立消去y,整理得,


    则,


    于是.


    又,


    故,则.


    由得,解得.


    又由,


    得,且.


    设原点O到直线的距离为d,则,





    ,,


    故由m的取值范围可得面积的取值范围为.





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