高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课后作业题，共11页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

专题圆锥曲线的方程（多选题）
1．椭圆的焦距是4，则实数的值可以为．
A．5 B．8
C．13 D．16
2．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是
A．的最大值大于3
C．的最大值为60°
D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或
3．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数在R上单调递增
C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数不存在零点
4．已知双曲线E的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程可以是
A． B．
C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线为，则下列结论正确的是
A． B．
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的焦点在轴上
6．下列双曲线中，以为渐近线的双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
7．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则
A．的准线方程为 B．线段长度的最小值为4
C． D．
8．已知双曲线C：的焦点与抛物线的焦点之间的距离为2，且C的离心率为，则下列说法正确的有
A．C的渐近线方程为 B．C的标准方程为
C．C的顶点到渐近线的距离为 D．曲线经过C的一个焦点
9．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是
A．焦点为 B．渐近线方程为3x±4y=0
C．离心率 D．焦点到渐近线的距离为4
10．已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是
A．爆炸点在以为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是
A．双曲线C的渐近线方程为y=±2x B．双曲线C的方程为
C．为定值 D．存在点P，使得+=2
12．椭圆的焦距为，则的值为
A．9 B．23
C． D．
13．下列说法正确的是
A．平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；
B．在中，角的对边分别为，若则；
C．若数列为等比数列，则也为等比数列；
D．垂直于同一个平面的两条直线平行．
14．点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是
A． B．
C． D．
15．在平面直角坐标系xoy中，F1，F2分别为椭圆 的左、右焦点，点A在椭圆上．若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为
A．1 B．2
C．3 D．4
16．已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点P使得是直角，则满足条件的一个e的值可以是
A． B．
C． D．
17．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是
A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为
18．下列判断正确的是
A．抛物线与直线仅有一个公共点
B．双曲线与直线仅有一个公共点
C．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则
D．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
19．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
20．已知曲线
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是双曲线，其渐近线方程为
21．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是
A．椭圆上一点到右焦点的距离的最小值为2；
B．若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线；
C．方程表示的曲线是双曲线的右支；
D．若椭圆的离心率为，则实数．
22．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
23．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则
A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为
B．若，则直线的斜率为
C．若直线的斜率为，则
D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为
24．设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是
A．若，则
B．若，直线AB过定点
C．若，到直线AB的距离不大于1
D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则
25．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，，下列判断正确的是
A． B．
C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为
26．已知双曲线，则不因改变而变化的是
A．渐近线方程 B．顶点坐标
C．离心率 D．焦距
27．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，若，则双曲线的离心率可能为
A．2 B．
C． D．3
28．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的方程为
C．为定值 D．存在点P，使得
29．已知抛物线的准线过双曲线()的左焦点，且与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有
A．双曲线的方程为 B．双曲线的两条渐近线的夹角为60°
C．点到双曲线的渐近线的距离为 D．双曲线的离心率为2
30．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则下列说法正确的是
A． B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为 D．点在直线上
31．如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，为双曲线上的动点，已知，则的值可能为
A． B．
C． D．
32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是
A． B．
C． D．
33．已知，，则双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
34．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是
A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为
35．已知双曲线的标准方程为，则
A．双曲线的离心率为2
B．直线与双曲线相交的弦长为6
C．双曲线与双曲线有相同的渐近线
D．双曲线的焦点到渐近线的距离为
36．设双曲线的右焦点为，直线为的一条斜率为正数的渐近线，为坐标原点．若在的左支上存在点，使点与点关于直线对称，则下列结论正确的是．
A． B．的面积为
C．双曲线的离心率为 D．直线的方程是
37．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
38．已知双曲线的右焦点为，点A坐标为，点P双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为
A． B．2
C． D．3
39．已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的有
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆方程为
C．点的横坐标为
D．的而积为
40．双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为．当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的方程为
41．若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是
A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．
C． D．
42．已知曲线的方程为，则下列选项正确的是
A．当时，一定是椭圆 B．当时，是双曲线
C．当时，是圆 D．当且时，是直线
43．若椭圆上的一点到椭圆焦点的距离之积为，当取得最大值时，点的坐标可能为
A． B．
C． D．
44．设，为椭圆：的左、右焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则下列结论正确的是
A． B．
C．点的横坐标为 D．
45．下列结论正确的是
A．方程表示的曲线是双曲线的右支；
B．若动圆过点且与直线相切，则点的轨迹是抛物线；
C．两焦点坐标分别为和，且经过点的椭圆的标准方程为；
D．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为9，最小值为6．
46．已知点是椭圆上的动点，是圆上的动点，点，则
A．椭圆的离心率为
B．椭圆中以为中点的弦所在直线方程为
C．圆在椭圆的内部
D．的最小值为
47．下列命题不正确的是
A．椭圆的焦点坐标为
B．椭圆的焦点坐标为
C．椭圆与的焦点坐标相同
D．已知中，，成等差数列，则顶点的轨迹方程为
48．已知椭圆的离心率，则下列正确的是
A．焦点在轴时， B．焦点在轴时，
C．焦点在轴时， D．焦点在轴时，
49．动点分别到两定点连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中正确的有
A．曲线的焦点坐标为；
B．若，则；
C．的内切圆的面积的面积的最大值为；
D．设，则的最小值为．
50．已知椭圆C：内一点M(1，2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0） B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
51．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是
A．当点不在轴上时，的周长是6
B．当点不在轴上时，面积的最大值为
C．存在点，使
D．的取值范围是
52．已知椭圆的左､右焦点为点P在椭圆上，且不与椭圆的左､右顶点重合，则下列关于的说法正确的有
A．的周长为4+
B．当时，的边
C．当时，的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得为直角三角形
53．已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是
A． B．
C．准线方程为 D．周长为16
54．数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是
A．曲线C关于坐标原点对称
B．曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到原点的距离最小值为1
D．曲线C所围成的区域的面积小于4
55．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有
A．的图象不经过第三象限
B．在上单调递增
C．的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数不存在零点
56．已知曲线，则曲线
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线轴对称
57．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．设点所构成的曲线为，下列结论正确的是
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为
C．在上存在点，使得
D．在上存在点，使得
58．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于对称
D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
59．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是
A．点的坐标为
B．若，，三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
60．已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是
A． B．为中点
C． D．




圆锥曲线的方程（多选题）
1．椭圆的焦距是4，则实数的值可以为．
A．5 B．8
C．13 D．16
【试题来源】湖北省襄阳市宜城市第三中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】AC
【分析】计算得到，讨论和两种情况得解．
【解析】椭圆的焦距是4，故，．
当时，，解得；当时，，解得．故选．
2．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是
A．的最大值大于3
B．的最大值为4
C．的最大值为60°
D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或
【试题来源】人教A版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程
【答案】BCD
【解析】由椭圆方程得，因此．
选项A中，，A错误；
选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；选项C中，当点为短轴的端点时，取得最大值，取，则，的最大值为60°，C正确；
选项D中，设．，
，即或．
又由题意知，或，
化简得或，D正确．故选BCD．
3．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数在R上单调递增
C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数不存在零点
【试题来源】江苏省苏州市相城区2020-2021学年高三上学期阶段性诊断测试
【答案】ACD
【解析】由题意，方程，
当时，，表示椭圆在第一象限的部分；
当时，，表示双曲线在第四象限的部分；
当时，，表示双曲线在第二象限的部分；
当时，，此时不成立，舍去，
其图象如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；
由函数的图象可得，该函数在为单调递减函数，所以B不正确；
由图象可得，函数的图象上的点到原点的距离的最小的点在的图象上，
设点，则点满足时，，即
则，当时，，所以C正确；
令，可得，即，
则函数的零点，即为函数与的交点，
又由直线为双曲线和渐近线，
所以直线与函数没有交点，即函数不存在零点，
所以D是正确的．故选ACD．

4．已知双曲线E的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省湛江市第二十一中学2021届高三上学期9月月考
【答案】ACD
【分析】分别求出四个选项中双曲线的渐近线方程可得结果．
【解析】选项A中，，，所以双曲线有一条渐近线方程为，
选项C中，，，所以双曲线有一条渐近线方程为，
选项D中，，，所以双曲线有一条渐近线方程为，
选项B中，，，所以双曲线的渐近线方程都是．故选ACD．
5．已知双曲线的一条渐近线为，则下列结论正确的是
A． B．
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的焦点在轴上
【试题来源】重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】CD
【分析】由双曲线标准方程，结合已知渐近线即可知焦点位置、参数关系、离心率．
【解析】由双曲线渐近线，知，又，
所以，综上，有：，离心率为且焦点在轴上，故选CD．
6．下列双曲线中，以为渐近线的双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的几何性质之求渐近线的方法可得选项．
【解析】的渐近线方程为，所以A正确；
的渐近线方程为，所以B正确；
的渐近线方程为，所以C不正确；
的渐近线方程为，所以D正确，故选ABD．
7．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则
A．的准线方程为 B．线段长度的最小值为4
C． D．
【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】BCD
【解析】焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，
准线方程为x=－1，则选项A错误；
当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，
消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，
所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，
，
当时成立， 则选项C正确；
又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，则选项D正确；故选BCD.
8．已知双曲线C：的焦点与抛物线的焦点之间的距离为2，且C的离心率为，则下列说法正确的有
A．C的渐近线方程为 B．C的标准方程为
C．C的顶点到渐近线的距离为 D．曲线经过C的一个焦点
【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考
【答案】ABD
【解析】设抛物线的焦点为，双曲线C的一个焦点坐标为，
由题意可知，所以有或（舍去），
因为C的离心率为，所以．
选项A：因为 ，所以C的渐近线方程为，故本选项说法正确；
选项B：因为，所以C的标准方程为，故本选项说法正确；
选项C：设C的一个顶点坐标为，它到渐近线方程为的距离为
，根据双曲线和渐近线的对称性可知C的顶点到渐近线的距离为，故本选项的说法不正确．
选项D：当时，，而恰好是双曲线的一个焦点，因此本选项的说法正确．故选ABD.
9．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是
A．焦点为 B．渐近线方程为3x±4y=0
C．离心率 D．焦点到渐近线的距离为4
【试题来源】广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测
【答案】BC
【分析】根据双曲线的方程依次求出焦点、渐近线方程、离心率等，即可得答案；
【解析】对A，焦点为，故A错误；
对B，渐近线方程为，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，焦点到渐近线的距离为，故D错误；故选BC．
10．已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是
A．爆炸点在以为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】BD
【解析】依题意，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设爆炸点为，则，所以爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上．所以A选项错误，B选项正确．
若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以，
即，结合可得．
所以C选项错误，D选项正确．故选BD.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是
A．双曲线C的渐近线方程为y=±2x B．双曲线C的方程为
C．为定值 D．存在点P，使得+=2
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】BCD
【解析】因为双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，
所以，，渐近线方程为，故A错误；
又，则，所以双曲线方程为，故B正确；
因为，设，则，故C正确；
，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则 ，所以，所以存在点P，使得+=2，故正确；故选BCD
12．椭圆的焦距为，则的值为
A．9 B．23
C． D．
【试题来源】江苏省南航附中2020-2021学年高二（9月份）月考
【答案】AB
【解析】椭圆的焦距为，即得．
依题意当焦点在轴上时，则，解得；
当焦点在轴上时，则，解得，
所以的值为9或23．故选AB．
13．下列说法正确的是
A．平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；
B．在中，角的对边分别为，若则；
C．若数列为等比数列，则也为等比数列；
D．垂直于同一个平面的两条直线平行．
【试题来源】湖北省四地六校2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】BD
【解析】若距离之和等于，则轨迹是线段，不是椭圆，A错；
三角形中大边对大角，大角对大边，B正确；
的公比时，，不是等比数列，C错；
由线面垂直的性质定理知D正确．故选BD．
14．点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】ACD
【解析】设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，
，即，，
则，所以选项ACD满足．故选ACD．
15．在平面直角坐标系xoy中，F1，F2分别为椭圆 的左、右焦点，点A在椭圆上．若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试
【答案】ABC
【解析】由椭圆 可知，
焦点坐标为，通径为，因为△AF1F2为直角三角形，
所以A为直角顶点时，A在短轴端点，此时AF1的长为2；为直角顶点时，A在y轴左侧，此时AF1的长为1；为直角顶点时，A在y轴右侧，此时AF1的长为3；故选ABC．
16．已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点P使得是直角，则满足条件的一个e的值可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研
【答案】BD
【解析】，是椭圆的两个焦点，
，，，
设点，因为椭圆上存在点P使得是直角，所以，
所以，化简得，
联立方程组，整理，得，所以，
解得，又，．故选BD．
17．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是
A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为
【试题来源】江苏省南通中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】AD
【解析】设椭圆的左焦点为，则，
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，
因为，所以，
所以不是直角三角形，C不正确；
将与椭圆方程联立，解得，，
所以，D正确．故选AD.
18．下列判断正确的是
A．抛物线与直线仅有一个公共点
B．双曲线与直线仅有一个公共点
C．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则
D．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试
【答案】BD
【解析】对于A，抛物线与直线方程，联立方程，消去，可得，，所以抛物线与直线有两个个公共点，故A错误；
对于B，双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线平行，故双曲线与直线仅有一个公共点，故B正确；
对于C，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；
对于D，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．故选BD．
19．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
【试题来源】人教A版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 全书综合测评
【答案】BC
【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为．
当时，两圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．
①若均内切，则，
此时，
当时，点的轨迹是以为焦点的双曲线，
当时，点在线段的垂直平分线上．
②若均外切，则，
此时，则点的轨迹与①相同．
③若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，则．同理，当与圆内切，与圆外切时，．
此时点的轨迹是以为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC．
20．已知曲线
A．若，，则是两条直线
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是双曲线，其渐近线方程为
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期
【答案】AD
【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解．
【解析】对于A，若，，则即，为两条直线，故A正确；
对于B，若，则，所以是圆，半径为，故B错误；
对于C，若，则，
所以即为椭圆，且焦点在轴上，故C错误；
对于D，若，则为双曲线，
且其渐近线为，故D正确．故选AD．
21．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是
A．椭圆上一点到右焦点的距离的最小值为2；
B．若动圆过点且与直线相切，则圆心的轨迹是抛物线；
C．方程表示的曲线是双曲线的右支；
D．若椭圆的离心率为，则实数．
【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考
【答案】ABC
【解析】对于，椭圆的长半轴长，半焦距，
椭圆的右顶点到右焦点的距离最小为，故正确；
对于，若动圆过点且与直线相切，则圆心到的距离等于到直线的距离，则圆心的轨迹是抛物线，故正确；
对于，方程的几何意义是平面内动点到两个定点，距离差等于6的点的轨迹，表示以，为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故正确；
对于，椭圆的离心率为，当焦点在轴上时，，，则，则，解得，故错误．故选．
22．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初
【答案】BC
【解析】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，
点到焦点的距离等于3，可得，解得，
则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；
由题知直线的斜率存在，，设，，直线的方程为，
由，消去得，所以，，
所以，所以AB的中点Q的坐标为，
，故线段AB的最小值是4，即D错误；
所以圆Q的半径为，
在等腰中，，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，故选BC．
23．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则
A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为
B．若，则直线的斜率为
C．若直线的斜率为，则
D．设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为
【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】AD
【解析】对于A选项，由抛物线的定义可得，解得，
所以，抛物线的标准方程为，A选项正确；对于B选项，如下图所示：
抛物线的焦点为，设点、，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，恒成立，
由根与系数关系可得，，

由于，由图象可得，即，
所以，，可得，解得，
所以，直线的斜率为，B选项错误；
对于C选项，当直线的斜率为时，由B选项可知，，，
由抛物线的焦点弦长公式可得
，C选项错误；
对于D选项，抛物线的焦点到准线的距离为，则该抛物线的方程为．
设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得，，
则，，
，点到轴的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，D选项正确．故选AD．
24．设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是
A．若，则
B．若，直线AB过定点
C．若，到直线AB的距离不大于1
D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则
【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中模拟
【答案】ACD
【解析】B．设直线方程为，，，，，
将直线方程代入抛物线方程，得，
则，，，，．
于是直线方程为，该直线过定点．故不正确；
C．到直线的距离，即正确；
A．
．正确；
D．由题得，所以，不妨取．
所以，所以直线AB的方程为，所以．
由题得
=．所以．所以D正确．故选ACD．
25．已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，，下列判断正确的是
A． B．
C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为
【试题来源】福建省厦门市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】BCD
【解析】如右图，由，可得M为的中点，又O为的中点，
可得，，，，故A错误，B正确；
设，则，，
则，可得，
，则双曲线的渐近线方程为即为．
故C，D正确．故选BCD．

26．已知双曲线，则不因改变而变化的是
A．渐近线方程 B．顶点坐标
C．离心率 D．焦距
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）
【答案】AC
【解析】双曲线可化为，
所以，所以，
所以，渐近线方程为，故选AC．
27．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，若，则双曲线的离心率可能为
A．2 B．
C． D．3
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）
【答案】AB
【解析】由已知和得，
所以，所以，
即，，故选AB．
28．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，，则下列说法正确的是
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的方程为
C．为定值 D．存在点P，使得
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研
【答案】BC
【解析】因为双曲线C的左焦点在直线上，
所以，又离心率为，所以，故，
所以双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程为，故A错误；B正确；
由题意可得，设P(m， n)，可得，即有，
所以，故C正确；
因为点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，所以，
则，当且仅当时，等号成立，
由A，B为左右顶点，可得，所以，故D错误．故选BC
29．已知抛物线的准线过双曲线()的左焦点，且与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有
A．双曲线的方程为 B．双曲线的两条渐近线的夹角为60°
C．点到双曲线的渐近线的距离为 D．双曲线的离心率为2
【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试
【答案】ABD
【解析】因为抛物线的准线过双曲线()的左焦点，
所以，又与双曲线交于两点，所以，
所以的面积为，即，解得，
所以双曲线的方程为，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的的夹角为60°，故B正确；
点到双曲线的渐近线的距离为，故C错误；
双曲线的离心率为，故正确；故选ABD.
30．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则下列说法正确的是
A． B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为 D．点在直线上
【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测
【答案】ABD
【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，即，
焦点，，
因为过作的一条渐近线的垂线，垂足为，
所以，故A正确；
因为，
则，
所以，
在三角形中，根据余弦定理可知
，解得，即离心率或（舍），故B正确；
因为，解得．所以渐近线的方程为，故C错误；
因为点在直线上，可设，由可知，
，解得，故D正确．故选ABD．
31．如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，为双曲线上的动点，已知，则的值可能为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测
【答案】CD
【解析】依题意可知点在渐近线上，所以，即，
设，则，结合解得，
由，所以，，所以离心率，右准线为，
设点到右准线的距离为，则根据双曲线的定义可知，
所以．
根据四个选项可知，正确．故选CD.
32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南通市如东高级中学、泰州高级中学2020-2021学年高二11月联考
【答案】ACD
【解析】，由双曲线定义可知，
，由，得，
在中，由余弦定理可得，
解得，或，或，
或，或，故选ACD．
33．已知，，则双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测（一）
【答案】AC
【解析】由已知得，
所以当焦点在轴上，双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上，双曲线的标准方程为．故选AC
34．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是
A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为
【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求得，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项．
【解析】设双曲线方程为，将代入得．
双曲线的渐近线方程为，所以．
由解得，所以双曲线的方程为．
所以．故A选项正确．
双曲线的离心率为，故B选项错误．
双曲线的焦点坐标为，其中满足，所以C选项正确．
双曲线一个焦点为，渐近线方程，即，
焦点到渐近线的距离为，故D选项正确．故选ACD
35．已知双曲线的标准方程为，则
A．双曲线的离心率为2
B．直线与双曲线相交的弦长为6
C．双曲线与双曲线有相同的渐近线
D．双曲线的焦点到渐近线的距离为
【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】ABD
【解析】由得，渐近线为，
故A正确，C中双曲线的渐近线为，故C错；
B中将代入解得，故与双曲线相交的弦长为6，故B正确；
D中，双曲线的焦点到渐近线的距离为，故D正确故选ABD
36．设双曲线的右焦点为，直线为的一条斜率为正数的渐近线，为坐标原点．若在的左支上存在点，使点与点关于直线对称，则下列结论正确的是．
A． B．的面积为
C．双曲线的离心率为 D．直线的方程是
【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高二上学期10月月考（第二次大练习）
【答案】ABD
【解析】设左焦点为，与的交点为，如下图所示：

因为点与点关于直线对称，所以，为中点，且为中点，
所以，，
因为，所以，所以，
所以，故A正确；
因为，且，所以，故B正确；由双曲线的定义可知，所以，所以，
所以，，所以，故C错误，D正确，故选ABD．
37．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研
【答案】BC
【解析】由双曲线方程得，，则，由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，由双曲线的定义知，
则，则，故正确，
在△中，，则，为钝角，
则△为钝角三角形，故正确，
，则错误，故正确的是，故选．
38．已知双曲线的右焦点为，点A坐标为，点P双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为
A． B．2
C． D．3
【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研
【答案】ABC
【解析】由右焦点为，点的坐标为，，
的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，
可得的最小值不小于 9，
又为双曲线的左焦点，可得， ，
当，，三点共线时，取最小值
所以，即，因为，可得．故选．

39．已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的有
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆方程为
C．点的横坐标为
D．的而积为
【试题来源】江苏省徐州市铜山区大许中学2020-2021学年高三上学期第二次调研考试
【答案】AD
【解析】由双曲线方程知，，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；
，以为直径的圆的方程是，B错误；
由得或，由得或．
所以，点横坐标是，C错误；
，D正确．故选AD．
【名师点睛】双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为（即），应注意其区别与联系．
40．双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为．当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的方程为
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考
【答案】BCD
【解析】因为，所以
因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值为，所以 不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为．将其代入双曲线的方程，得，即，解得 因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为故选BCD
41．若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是
A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．
C． D．
【试题来源】人教A版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程
【答案】AB
【解析】依题意，，即，所以，所以，因此B正确；又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；
设，其中，则有，
即有，则，因此C错误；
，
即有，则，因此D错误．故选AB．
42．已知曲线的方程为，则下列选项正确的是
A．当时，一定是椭圆 B．当时，是双曲线
C．当时，是圆 D．当且时，是直线
【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试
【答案】BCD
【解析】对于A，若，，此时变为，不表示椭圆，故A错误；
对于B，若，则可化为，表示双曲线，故B正确．对于C，若，方程变为，表示圆，故C正确．
对于D，若，，此时变为，表示直线；同理，若，，也表示直线，故D正确．故选BCD．
43．若椭圆上的一点到椭圆焦点的距离之积为，当取得最大值时，点的坐标可能为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省怀化市沅陵县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】CD
【解析】记椭圆的两个焦点分别为，，故，
可得，当且仅当时取等号，
即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值，
此时点的坐标为点或．
44．设，为椭圆：的左、右焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则下列结论正确的是
A． B．
C．点的横坐标为 D．
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）
【答案】BCD
【解析】因为椭圆：，所以，
因为为上一点且在第一象限，且为等腰三角形，
所以，且，
在中，由余弦定理得 ，
所以，所以，
所以，故选BCD.
45．下列结论正确的是
A．方程表示的曲线是双曲线的右支；
B．若动圆过点且与直线相切，则点的轨迹是抛物线；
C．两焦点坐标分别为和，且经过点的椭圆的标准方程为；
D．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为9，最小值为6．
【试题来源】江苏省徐州市新沂市第一中学2020-2021学年高二上学期10月抽测
【答案】AB
【解析】方程化简得，它表示的曲线是双曲线的右支，所以该选项正确；
由题得点不在直线上，点到定点和定直线的距离相等，满足抛物线的定义，所以点的轨迹是抛物线，所以该选项正确；
由题得椭圆的，所以，所以椭圆的标准方程为，所以该选项错误；
椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，最小值为，所以该选项错误．故选AB.
46．已知点是椭圆上的动点，是圆上的动点，点，则
A．椭圆的离心率为
B．椭圆中以为中点的弦所在直线方程为
C．圆在椭圆的内部
D．的最小值为
【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测
【答案】ABC
【解析】对于A，由椭圆得，，则离心率为，故A正确；
对应B，设以为中点的弦交椭圆于，则，，，，两式相减得，则可得，即斜率为，则直线方程为，整理得，故B正确；
对于C，设，则，所以圆在椭圆的内部，故C正确；
对于D，由C选项可得的最小值为，故D错误．故选ABC．
47．下列命题不正确的是
A．椭圆的焦点坐标为
B．椭圆的焦点坐标为
C．椭圆与的焦点坐标相同
D．已知中，，成等差数列，则顶点的轨迹方程为
【试题来源】福建省罗源第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】ACD
【解析】A．因为椭圆方程为，则，所以焦点在轴上，故错误；
B． 因为椭圆方程为，则，所以焦点在轴上，
又，所以焦点坐标为，故正确；
C．椭圆的焦点坐标为，又椭圆方程中，所以椭圆的焦点在轴上，故错误；
D．由条件可知，且三点不共线，
所以的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长为的椭圆去掉这两个点，
所以的轨迹方程为，故错误；故选ACD．
【名师点睛】本题考查椭圆的焦点坐标以及和椭圆相关的轨迹方程问题，主要考查学生对椭圆方程和椭圆定义的理解，难度一般．（1）求解椭圆的焦点坐标，要先分析椭圆的焦点位置；（2）利用椭圆的定义求解轨迹方程时注意是否有一些值不能取．
48．已知椭圆的离心率，则下列正确的是
A．焦点在轴时， B．焦点在轴时，
C．焦点在轴时， D．焦点在轴时，
【试题来源】福建省罗源第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】AD
【解析】椭圆标准方程为，
当椭圆的焦点在轴上时且，则，解得，
当椭圆的焦点在轴上时且，则，解得，故选AD．
49．动点分别到两定点连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中正确的有
A．曲线的焦点坐标为；
B．若，则；
C．的内切圆的面积的面积的最大值为；
D．设，则的最小值为．
【试题来源】湖南省常德市临澧县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试
【答案】ACD
【解析】由题意可知化解得，
A项：，，即曲线C的焦点坐标为，故A项正确；B项：先推导焦点三角形面积公式：
在中，设，，，由余弦定理得

,
所以，即，
所以=．
故B项错误；
C项：在三角形中，设内切圆的半径为r ，由椭圆形定义， ，，解得（），当M在上顶点时，，内切圆半径r取最大值，内切圆最大面积为，故C正确；
D项：在三角形中，，则，当 三点共线，并且M在A的上方时，有最小值，即 ，故D项正确．故选ACD
50．已知椭圆C：内一点M(1，2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0） B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中
【答案】CD
【解析】由椭圆方程可得焦点在轴上，且，
椭圆的焦点坐标为，故A错误；
椭圆C的长轴长为，故B错误；
可知直线的斜率存在，设斜率为，，
则，两式相减得，
，解得，
则直线的方程为，即，故C正确；
联立直线与椭圆，整理得，，
，故D正确．故选CD．
51．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是
A．当点不在轴上时，的周长是6
B．当点不在轴上时，面积的最大值为
C．存在点，使
D．的取值范围是
【试题来源】厦门市国祺中学2020-2021学年高二上数学第一次月考试题
【答案】ABD
【解析】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A：根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
由图可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
对于选项D：当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．故选ABD
【名师点睛】椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）．
52．已知椭圆的左､右焦点为点P在椭圆上，且不与椭圆的左､右顶点重合，则下列关于的说法正确的有
A．的周长为4+
B．当时，的边
C．当时，的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得为直角三角形
【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期期中
【答案】AD
【解析】由椭圆的方程可得，，，
对于选项A： 的周长为，故选项A 正确；
对于选项B：当时，轴，令，可得，所以，故选项B不正确；
当时，的面积为，故选项C不正确；
当点位于椭圆的上下顶点时，，而，此时，有2个直角三角形，当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得时，，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确，故选AD
【名师点睛】以焦点三角形的有关结论
（1）焦点三角形的周长为定值；
（2）设焦点三角形中，则焦点三角形面积为，
（3）当点为短轴端点时，最大．
53．已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是
A． B．
C．准线方程为 D．周长为16
【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】ABC
【解析】A．因为，故正确；
B．因为，所以，
所以，
因为，所以，故正确；
C．因为准线方程为，所以准线方程为，故正确；
D．的周长为，故错误；故选ABC．
【名师点睛】椭圆的焦半径以及焦点三角形周长有关结论：
已知为椭圆上一点，椭圆的左右焦点为：
（1）焦半径：（为椭圆的离心率）；
（2）焦点三角形的周长为．
54．数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是
A．曲线C关于坐标原点对称
B．曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到原点的距离最小值为1
D．曲线C所围成的区域的面积小于4
【试题来源】江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中
【答案】AC
【解析】用代替曲线不变，则关于原点对称，故A正确；
，要使得x，y均为整数，则x，y只能为0，1，则可得整点有8个分别为，，，故B错误；
因为，当点为时取等号，故C正确；
令，可得，令，
因为，所以函数有两个零点，
因为，，所以两个零点一个小于0，一个大于1，
即曲线C上当时，同理当时，
即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，
由图象的对称性可得面积应大于4，故D错误．故选AC
55．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有
A．的图象不经过第三象限
B．在上单调递增
C．的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数不存在零点
【试题来源】江苏省南通市如东高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】ACD
【分析】首先讨论去绝对值，并画出函数图象，直接判断、，然后数形结合椭圆和双曲线的性质判断、选项．
【解析】当，时，方程是，当，时，方程是，
当，时，方程是，不表示任何曲线，
当，时，方程是，函数的图象如图所示，

由图知的图象不经过第三象限，故A 正确；在上单调递减，故B 不正确；的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1，故C 正确；
的图象与图象没有交点，故ACD正确，故选ACD
56．已知曲线，则曲线
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线轴对称
【试题来源】人教B版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第二章 平面解析几何
【答案】ABCD
【解析】，则；；成立
故曲线关于轴对称；关于轴对称；关于原点对称；
取曲线任一点 关于直线轴对称点为，
成立．故选.
57．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．设点所构成的曲线为，下列结论正确的是( )
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为
C．在上存在点，使得
D．在上存在点，使得
【试题来源】江苏省苏州市北外附属苏州湾外国语学校2019-2020学年高一下学期期末
【答案】BD
【解析】设点，由，
得，化简得，即，故A选项错误；
对于B选项，设，由到点的距离为，得，又，联立方程可知有解，故B选项正确；
对于C选项，设，由，得，又，联立方程可知无解，故C选项错误；
对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确．故选BD
58．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于对称
D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
【试题来源】山东省德州市2020届高三第二次（6月）模拟考试
【答案】AD
【解析】A．设是抛物线的准线，过 作于，则 ，当且仅当三点共线时等号成立．所以 最小值是3，A正确；

B．设 是抛物线上任一点，即， ，时， ，B错误； C．假设存在直线，使得A， B两点关于 对称，设方程为 ，由 得 ，
所以， ，设 ，则， 中点为 ，则 ， ，必在直线 上，
所以， ，这与直线 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误；
D．设 ，由即，得 ，则切线方程为 ， 即 ，同理方程是 ，
由 ，解得 ，由题意在准线 上，
所以 ，，
所以 ，
所以时， 为最小值．D 正确．故选AD．
59．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是
A．点的坐标为
B．若，，三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）
【答案】BCD
【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
所以，故B正确；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，
所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；
因为，
所以，所以，
因为，
所以的中点到轴的距离：
，当且仅当时等号成立，
所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，
综上所述，正确命题为BCD．故选BCD．
60．已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是
A． B．为中点
C． D．
【试题来源】山东省青岛市黄岛区2019-2020学年高二上学期期中
【答案】ABC
【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于．
直线的斜率为，故，，，故，．
，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；
，，故；故选．