高中数学人教A版( 2019 )选择性必修第二册内容测试（基础过关）

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册全册综合同步达标检测题，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
基础过关卷


班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________


（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）


一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）


1.已知等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，则该数列公差为（ ）


A．B．1C．D．2


2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝，a2+a4＝，则＝（ ）


A．B．C．2D．9


3.已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）


A．8B．﹣8C．±8D．


4.函数f（x）＝1﹣x+x4的导数记为f′（x），则f′（﹣1）等于（ ）


A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5


5.等差数列{an}，前n项和为Sn，a1＞0，a2012，a2013是方程x2﹣（λ2+λ+1）x﹣（λ2+1）＝0的两根，则满足Sn＞0的n的最大正整数为（ ）


A．4023B．4024C．4025D．4026


6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）


A．6B．4C．3D．2


7.函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（ ）





A．4B．3C．2D．1


8.已知数列{an}是等比数列，且公比q不为1，Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论中一定正确的为（ ）


A．＝ B．2S8≠S4+S12


C．＝ D．＝Sn（S3n﹣S2n）（n∈N*）


9.设定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，则关于x的不等式的解集为（ ）


A．（3，6）B．（0，3）C．（0，6）D．（6，+∞）


10.已知f（x）＝ex﹣e﹣x，f'（x）是f（x）的导函数，则f'（2）＝（ ）


A．0B．e2+e﹣2C．e2﹣e﹣2D．1


11.已知a，b为正实数，若直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则的取值范围为（ ）


A．（0，）B．（0，1）C．（0，+∞）D．[1，+∞）


12.已知函数f（x）＝+2bx+c的两个极值分别为f（x1）和f（x2），若x1和x2分别在区间（﹣2，0）与（0，2）内，则的取值范围为（ ）


A．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）B．


C．D．





二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）


13.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a3＝ ．





设曲线y＝ax3+x在（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6＝0平行，则实数a的值为 ．





数列{an}是等差数列，3a5＝8a12＞0，数列{bn}满足，设Sn为{bn}的前n项和，则当Sn取得最大值时，n的值等于 ．





16.已知f1（x）＝sinx+csx，且f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn（x）＝fn﹣1′（x），…（n∈N*，n≥2），则f1（）+f2（）+…+f2015（）＝ ．








三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）


17.已知等差数列{an}中，a1+a4+a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．

















18.确定函数f（x）＝cs2x+4csx，x∈（0，2π）的单调区间．























19.已知数列{an}为等差数列，且公差为d．


（1）若a15＝8，a60＝20，求a105的值；


（2）若a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，求公差d．




















20.已知曲线f（x）＝x3﹣2x2+x．


（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（2，2）处的切线方程；


（Ⅱ）求曲线y＝f（x）过原点O的切线方程．











21.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝4，a13＝14．


（1）求数列{an}的通项公式；


（2）求Sn的最小值及相应的n的值；


（3）在公比为q的等比数列{bn}中，b2＝a8，b1+b2+b3＝a13，求q+q4+q7+…+q3n+4．














22.已知数列{an}满足an+2+an=2an+1（n∈N**），数列{bn}满足（n∈N）*），且a1=b1，a3=5，a5+a7=22．


（1）求an及bn；


（2）令cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Sn．

















23.已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx（a∈R）．


（1）求函数f（x）的极值；


（2）求证：若f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，则a＝1；


（3）设a＜0，对任意的0＜x1＜x2≤1，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4（）成立，求实数a的取值范围．


























一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）


1.已知等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，则该数列公差为（ ）


A．B．1C．D．2


【解答】解：∵等差数列{an}中，a2＝1，a3+a5＝4，


∴，


解得d＝，，


∴该数列公差为．


故选：A．


【知识点】等差数列的通项公式


2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝，a2+a4＝，则＝（ ）


A．B．C．2D．9


【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由题意可知，q≠1．


∴，


则＝＝1+q3＝1+8＝9．


故选：D．


【知识点】等比数列的前n项和


3.已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）


A．8B．﹣8C．±8D．


【解答】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，


则有1+3d＝9，1•q4＝9，


解之可得d＝，q2＝3，


∴b2（a2﹣a1）＝1×q2×＝8．


故选：A．


【知识点】等差数列的性质、等比数列的性质


4.函数f（x）＝1﹣x+x4的导数记为f′（x），则f′（﹣1）等于（ ）


A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5


【解答】解：f′（x）＝﹣1+4x3，


∴f′（﹣1）＝﹣1﹣4＝﹣5，


故选：D．


【知识点】导数的运算


5.等差数列{an}，前n项和为Sn，a1＞0，a2012，a2013是方程x2﹣（λ2+λ+1）x﹣（λ2+1）＝0的两根，则满足Sn＞0的n的最大正整数为（ ）


A．4023B．4024C．4025D．4026


【解答】解：∵等差数列{an}，首项a1＞0，a2012，a2013是方程x2﹣（λ2+λ+1）x﹣（λ2+1）＝0的两根，


∴a2012+a2013＝λ2+λ+1＞0，a2012•a2013＝﹣（λ2+1）＜0，


∴a2012＞0，a2013＜0．


假设a2012＜0＜a2013，则d＞0，而a1＞0，可得a2012＝a1+2011d＞0，矛盾，故不可能．


再根据S4024＝2012（a2012+a2013 ）＞0，


而S4025＝4025a2013＜0，


因此使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n为4024．


故选：B．


【知识点】等差数列的性质


6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）


A．6B．4C．3D．2


【解答】解：由等差数列的性质可得：====7+．


只有n=1，2，3，6，9，18时，为整数，可得为整数的正整数n的个数是6．


故选：A．


【知识点】等差数列的性质


7.函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（ ）





A．4B．3C．2D．1


【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，


根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．


故选：D．


【知识点】函数的图象与图象的变换、导数的运算


8.已知数列{an}是等比数列，且公比q不为1，Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论中一定正确的为（ ）


A．＝


B．2S8≠S4+S12


C．＝


D．＝Sn（S3n﹣S2n）（n∈N*）


【解答】解：当q＝﹣1，且n若为偶数，则有Sn＝0，∴S4＝S8＝S12＝0，此时，A，B，C不一定成立．


故选：D．


【知识点】等比数列的前n项和


9.设定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足，则关于x的不等式的解集为（ ）


A．（3，6）B．（0，3）C．（0，6）D．（6，+∞）


【解答】解：∵，


∴（x﹣3）3f（x﹣3）﹣27f（3）＜0，


∴（x﹣3）3f（x﹣3）＜27f（3），


∵定义在（0，+∞）的函数f（x），


∴3＜x，


令g（x）＝x3f（x），


∴不等式（x﹣3）3f（x﹣3）＜27f（3），


即为g（x﹣3）＜g（3），①


g′（x）＝（x3f（x））′＝3x2f（x）+x3f′（x），


∵，


∴xf′（x）＞﹣3f（x），


∴xf′（x）+3f（x）＞0，


∴x3f（x）+3x2f（x）＞0，


∴g′（x）＞0，


∴g（x）单调递增，


又因为由上可知g（x﹣3）＜g（3），


∴＜x﹣3＜3，


∴3＜x＜6．


故选：A．


【知识点】利用导数研究函数的单调性


10.已知f（x）＝ex﹣e﹣x，f'（x）是f（x）的导函数，则f'（2）＝（ ）


A．0B．e2+e﹣2C．e2﹣e﹣2D．1


【解答】解：函数的导数为f′（x）＝ex+e﹣x，


则f′（2）＝e2+e﹣2，


故选：B．


【知识点】导数的运算


11.已知a，b为正实数，若直线y＝x﹣a与曲线y＝ln（x+b）相切，则的取值范围为（ ）


A．（0，）B．（0，1）C．（0，+∞）D．[1，+∞）


【解答】解：函数的导数为y′＝＝1，x＝1﹣b，切点为（1﹣b，0），


代入y＝x﹣a，得a+b＝1，


∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），


则＝，


令g（a）＝，则g′（a）＝＞0，


则函数g（a）为增函数，


∴∈（0，）．


故选：A．


【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程


12.已知函数f（x）＝+2bx+c的两个极值分别为f（x1）和f（x2），若x1和x2分别在区间（﹣2，0）与（0，2）内，则的取值范围为（ ）


A．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）B．


C．D．


【解答】解：函数的两个极值分别为f（x1）和f（x2），


∴f′（x）＝x2+ax+2b＝0的两个根为x1，x2，


∵x1，x2分别在区间（﹣2，0）与（0，2）内，


所以：化为：．


画出可行域，设Q（1，1），设可行域△ABC内部的点为P（a，b）．


kAQ＝，kBQ＝﹣1．


∴的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．


故选：A．





【知识点】利用导数研究函数的极值


二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）


13.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a3＝ ．


【解答】解：由等差数列的性质可知，a2+a4＝2a3＝4，


∴a3＝2


故答案为：2


【知识点】等差数列的通项公式


14.设曲线y＝ax3+x在（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6＝0平行，则实数a的值为 ．


【解答】解：根据题意，曲线y＝ax3+x，其导数y′＝3ax2+1，


则有y′|x＝1＝3a+1，


若曲线y＝ax3+x在（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6＝0平行，则有3a+1＝2，


解可得：a＝；


故答案为：


【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程


15.数列{an}是等差数列，3a5＝8a12＞0，数列{bn}满足，设Sn为{bn}的前n项和，则当Sn取得最大值时，n的值等于 ．


【解答】解：∵3a5＝8a12＞0，∴3a5＝8（a5+7d），a5＝﹣d＞0，∴d＜0．


又a16＝a5+11d＝﹣＞0，a17＝a5+12d＝＜0，n≥17时，an＜0．


∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18＞……，b1＞b2＞b3＞…＞b13＞0＞b14，


∵b15＝a16a17a18＞0，b16＝a17a18a19＜0，n≥16，bn＜0．


n≤13时，Sn＞0．


S14＝＝7（b7+b8）＞0．


∵a15+a18＝﹣d×2+23d＝d＜0，


∴b14+b15＝a16a17（a15+a18）＞0．


故S15＞S14，所以Sn中S15最大．


故答案为：15，


【知识点】等差数列的前n项和


16.已知f1（x）＝sinx+csx，且f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn（x）＝fn﹣1′（x），…（n∈N*，n≥2），则f1（）+f2（）+…+f2015（）＝ ．


【解答】解：f2（x）＝f1′（x）＝csx﹣sinx，


f3（x）＝（csx﹣sinx）′＝﹣sinx﹣csx，


f4（x）＝﹣csx+sinx，


f5（x）＝sinx+csx，


以此类推，可得出fn（x）＝fn+4（x）


又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）＝0，


∴f1（）+f2（）+…+f2015（）＝f1（）+f2（）+f3（）＝﹣f4（）＝cs﹣sin＝0，


故答案为：0．


【知识点】导数的运算





三、解答题：（本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）


17.已知等差数列{an}中，a1+a4+a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．


【解答】解：∵等差数列{an}中，a1+a4+a7＝15，a2a4a6＝45，


∴，


解得或，


当时，此数列的通项公式an＝﹣1+（n﹣1）×2＝2n﹣3．


当时，此数列的通项公式an＝11+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+13．


【知识点】等差数列的通项公式


18.确定函数f（x）＝cs2x+4csx，x∈（0，2π）的单调区间．


【解答】解：函数的导数f'（x）＝﹣2sin2x﹣4sinx＝﹣4sinx（csx+1），


令f'（x）＞0，sinx＜0，


又x∈（0，2π），所以π＜x＜2π；


令f'（x）＜0，sinx＞0，


又x∈（0，2π），所以0＜x＜π．


故f（x）的单调增区间为（π，2π），单调减区间为（0，π）．


【知识点】利用导数研究函数的单调性


19.已知数列{an}为等差数列，且公差为d．


（1）若a15＝8，a60＝20，求a105的值；


（2）若a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，求公差d．


【解答】解：（1）等差数列{an}中，


∵a15＝8，a60＝20，


∴，解得a1＝，d＝，


∴a105＝+104×＝32．


（2）∵数列{an}为等差数列，且公差为d，且a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，


∴a2+a5＝17，a2a5＝52，


∴解得a2＝4，a5＝13．或a2＝13，a5＝4．


∵a5＝a2+3d，


∴13＝4+3d，或4＝13+3d，


解得d＝3，或﹣3．


【知识点】等差数列的通项公式


20.已知曲线f（x）＝x3﹣2x2+x．


（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（2，2）处的切线方程；


（Ⅱ）求曲线y＝f（x）过原点O的切线方程．


【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x3﹣2x2+x得f′（x）＝3x2﹣4x+1，


所以f′（2）＝5，f（2）＝2，可得切线方程为y﹣2＝5（x﹣2），


整理得5x﹣y﹣8＝0；


（Ⅱ）令切点为（m，n），因为切点在函数图象上，


所以n＝m3﹣2m2+m，f′（m）＝3m2﹣4m+1，


所以在该点的切线为y﹣（m3﹣2m2+m）＝（3m2﹣4m+1）（x﹣m），


因为切线过原点，所以﹣（m3﹣2m2+m）＝（3m2﹣4m+1）（0﹣m），


解得m＝0或m＝1，可得切点为（0，0），（1，0），


切线斜率为f′（0）＝1，f′（1）＝0，


所以切线方程为y＝x或y＝0．


【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程


21.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝4，a13＝14．


（1）求数列{an}的通项公式；


（2）求Sn的最小值及相应的n的值；


（3）在公比为q的等比数列{bn}中，b2＝a8，b1+b2+b3＝a13，求q+q4+q7+…+q3n+4．


【解答】解：（1）∵a8＝4，a13＝14．


∴，解得a1＝﹣10，d＝2，


则数列{an}的通项公式an＝﹣10+2（n﹣1）＝2n﹣12．


（2）Sn＝＝n（n﹣12）＝n2﹣12n＝（n﹣6）2﹣36，


∴当n＝6时，Sn取得最小值，


最小值为﹣36，此时相应的n＝6；


（3）∵b2＝a8＝4，b1+b2+b3＝a13＝14，


∴b1+b3＝14﹣4＝10，


设公比为q，


则，


则＝，


即2q2﹣5q+2＝0，


解得q＝2或q＝．


若q＝2，则q+q4+q7+…+q3n+4＝＝＝（8n+2﹣1），


若q＝，则q+q4+q7+…+q3n+4＝＝＝[1﹣（）n+2]．


【知识点】等差数列的前n项和


22.已知数列{an}满足an+2+an=2an+1（n∈N**），数列{bn}满足（n∈N）*），且a1=b1，a3=5，a5+a7=22．


（1）求an及bn；


（2）令cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Sn．


【解答】解：（1）由数列{an}满足an+2+an=2an+1（n∈N**），


可得{an}等差数列，设公差为d，


数列{bn}满足=d，


即{bn}等比数列，


由题有可得，


即有an=2n﹣1；


由=2，而b1=a1=1，可得bn=2n﹣1；


（2）cn=anbn=（2n﹣1）•2n﹣1，


则前n项和Sn=1•1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，


2Sn=1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，


两式相减，得﹣Sn=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n


=1+2•﹣（2n﹣1）•2n，


化简可得Sn=3+（2n﹣3）•2n．


【知识点】等比数列的性质、数列的求和


23.已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx（a∈R）．


（1）求函数f（x）的极值；


（2）求证：若f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，则a＝1；


（3）设a＜0，对任意的0＜x1＜x2≤1，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4（）成立，求实数a的取值范围．


【解答】解：（1）∵f'（x）＝1﹣＝（x＞0），


若a≤0，则f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，原函数无极值；


若a＞0，则当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，


∴f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数，


则f（x）的极小值为f（a）＝a﹣1﹣alna；


证明：（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，


而f（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f（x）＜0，与f（x）≥0恒成立相矛盾，


∴a≤0不满足题意；


当a＞0时，函数f（x）在（a，+∞）上是增函数，在（0，a）上是减函数，


∴f（x）≥f（a）＝a﹣1﹣alna


∵f（1）＝0，∴当a≠1时，f（a）＜f（1）＝0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾．


∴a＝1；


解：（3）由（2）可知，


当a＜0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y＝在（0，1]上是减函数，


不妨设0＜x1≤x2≤1，


则|f（x1）﹣f（x2）|＝f（x2）﹣f（x1），


∴|f（x1）﹣f（x2）|≤4|﹣|，即f（x2）+4×≤f（x1）+4×．


设h（x）＝f（x）+＝x﹣1﹣alnx+，


则|f（x1）﹣f（x2）|≤4||等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数．


∵h'（x）＝1﹣＝，∴x2﹣ax﹣4≤0在（0，1]上恒成立，


即a≥x﹣在（0，1]上恒成立，即a不小于y＝x﹣在（0，1]内的最大值．


而函数y＝x﹣在（0，1]是增函数，∴y＝x﹣的最大值为﹣3．


∴a≥﹣3，


又a＜0，∴a∈[﹣3，0）．


【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的极值