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高中数学人教A版( 2019 )选择性必修第二册内容测试（能力提升）
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册全册综合练习，共29页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且an＞0，若S2＝6，，则a2＝（ ）
A．1B．2C．4D．
2.若数列{2an+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝（ ）
A．18B．C．D．12
3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是（ ）
A．B．C．D．
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
5.用数学归纳法证明不等式“1+++…+＞（n≥2，n∈N+）的过程中，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是（ ）
A． B．
C．++…+ D．++…+
6.关于函数f（x）＝xe﹣x的说法正确的是（ ）
A．有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．没有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
7.已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
8.已知函数f（x）＝（x2+x+1）ex，则f（x）在（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x+y+1＝0D．2x﹣y+1＝0
9.直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为（ ）
A．从时刻t到t+△t时，物体的平均速度
B．从时刻t到t+△t时位移的平均变化率
C．当时刻为△t时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
10.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象过点（1，1），f'（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数．若f'（x）＞1恒成立，则不等式f（x）＞x的解集为（ ）
A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．（e，+∞）
11.已知函数，若存在点A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），使得直线AB与两曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切，当实数a取最小值时，x1+x2＝（ ）
A．B．C．D．
12.下面是利用数学归纳法证明不等式n2（n≥2，且n∈N*）的部分过程：
“……
假设当n＝k（k≥2）时，k2，故当n＝k+1时，有_____，
因为2＝＜_____，
故+）＜（k+1）2，
……”
则横线处应该填（ ）
A．+）＜k2+2，2k+1
B．＜k2+2，2k+1
C．+）＜k2+2，2k+2
D．＜k2+2，2k+2
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知a≠0，函数f（x）＝aex，g（x）＝alnx+b，若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则使不等式恒成立的最小整数m的值是 ．
14.若函数f（x）＝3x4﹣4（a+1）x3+6ax2在x＝0和x＝1时取极小值，则实数a的取值范围是 ．
15.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{an}的通项公式为 ．
16.设n∈N*，用An表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜rn≤n，且ri∈N（i∈N*），bn为集合An中的所有元素之和．则{bn}的通项公式为bn＝ ﹣ ．
三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝44，S8＝56．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）求Sn的最大值．
18.数列{an}中，已知a1＝，an+1＝．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并加以证明．
19.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，n≥2时（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n（n﹣1）．
（Ⅰ）证明{+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时bn＝，求++…+的值．
20.已知函数f（x）＝ex（x+1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
21.已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣1时，有极值，求a的值；
（Ⅱ）在直线x＝1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线y＝f（x）相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
22.已知函数h（x）＝，不等式t≥（1+）t对于x∈（0，+∞）恒成立．
（Ⅰ）求函数h（x）的最值；
（Ⅱ）求实数t的值；
（Ⅲ）已知实数f（x）＝mx﹣+lgtx，g（x）＝，其中e为自然对数的底数．若对任意的x∈（0，1]，g（x）﹣2f（x）+3mx+＞4都恒成立，求正实数m的取值范围．
23.已知正项等比数列{an}的前n项和为，且a3＝a2+2，a2•a4＝16．数列{bn}的前n项和为Tn，且．
（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（2）证明数列{bn}为等差数列，并求出{bn}的通项公式；
（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得cm，cn，cl成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．
期末卷 本册内容测试
能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且an＞0，若S2＝6，，则a2＝（ ）
A．1B．2C．4D．
【解答】解：S2＝6，，
所求公比q≠1，
＝＝1+q2＝，
由题意可知q＞0，
所以q＝，＝6，
解可得，a1＝4，
则a2＝2．
故选：B．
【知识点】等比数列的前n项和
2.若数列{2an+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝（ ）
A．18B．C．D．12
【解答】解：∵数列{2an+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，
∴2a3+1＝（2a1+1）+2＝11，解得a1＝4，
∴2a10+1＝（2a1+1）+9＝18，
解得a10＝．
故选：B．
【知识点】等差数列的通项公式
3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，可将9节的竹子构成的等差数列设为数列{an}，设公差为d．则有
，
即，
解得，
∴a5＝a1+4d＝+4×＝．
故选：C．
【知识点】等差数列的通项公式
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，
则数列{an}公比为2的等比数列，
∴S7＝＝381，
解得a1＝3．
故选：B．
【知识点】等比数列的性质
5.用数学归纳法证明不等式“1+++…+＞（n≥2，n∈N+）的过程中，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是（ ）
A．
B．
C．++…+
D．++…+
【解答】解：当n＝k时，左边＝1，
当n＝k+1时，左边＝1，
两式相减得：．
故选：D．
【知识点】数学归纳法
6.关于函数f（x）＝xe﹣x的说法正确的是（ ）
A．有最小值，有最大值
B．有最小值，没有最大值
C．没有最小值，有最大值
D．没有最小值，也没有最大值
【解答】解：f′（x）＝e﹣x（1﹣x），画出图象如下：
根据f（x）＝xe﹣x的图象和性质，
函数有最大值，没有最小值，
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的最值
7.已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：法1：设x1＞x2≥1，则：
f（x1）﹣f（x2）＝＝；
∵x1＞x2≥1，f（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴x1﹣x2＞0；
∴恒成立；
在x∈[1，+∞）上恒成立；
；
∴；
∴a≤3；
即a的最大值为3．
法2：f′（x）＝3x2﹣a；
∵f（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴3x2﹣a≥0在x∈[1，+∞）上恒成立；
即a≤3x2恒成立；
∵3x2在[1，+∞）上的最小值为3；
∴a≤3；
∴a的最大值为3．
故选：A．
【知识点】利用导数研究函数的最值
8.已知函数f（x）＝（x2+x+1）ex，则f（x）在（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x+y+1＝0D．2x﹣y+1＝0
【解答】解：由f（x）＝（x2+x+1）ex，得f′（x）＝（2x+1）ex+（x2+x+1）ex＝（x2+3x+2）ex，
则f′（0）＝2，又f（0）＝1，
∴f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0．
故选：D．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
9.直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为（ ）
A．从时刻t到t+△t时，物体的平均速度
B．从时刻t到t+△t时位移的平均变化率
C．当时刻为△t时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
【解答】解：根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，时间的变化量为△t，而物体的位移为△s，
那么为该物体在t时刻的瞬时速度；
故选：D．
【知识点】变化的快慢与变化率
10.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象过点（1，1），f'（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数．若f'（x）＞1恒成立，则不等式f（x）＞x的解集为（ ）
A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．（e，+∞）
【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣x，
则g′（x）＝f′（x）﹣1，
∵f'（x）＞1恒成立，
∴g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）单调递增，
∵f（1）＝1，
∴g（1）＝f（1）﹣1＝0，
∵不等式f（x）＞x，
∴g（x）＞0＝g（1），
∴x＞1，
故选：C．
【知识点】导数的运算
11.已知函数，若存在点A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），使得直线AB与两曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切，当实数a取最小值时，x1+x2＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：f′（x）＝2x+2a，g′（x）＝．
∴f′（x1）＝2x1+2a，g′（x2）＝．
由题意可得：＝2x1+2a＝．
化为：x2＝．
∴2a＝﹣2x1＝﹣2x1＝g（x1）．
g′（x1）＝﹣2＝（x1﹣）（+x1+）．
可得x1＝时，a取得极小值即最小值：﹣，
∴x1+x2＝2．
故选：A．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
12.下面是利用数学归纳法证明不等式n2（n≥2，且n∈N*）的部分过程：
“……
假设当n＝k（k≥2）时，k2，故当n＝k+1时，有_____，
因为2＝＜_____，
故+）＜（k+1）2，
……”
则横线处应该填（ ）
A．+）＜k2+2，2k+1
B．＜k2+2，2k+1
C．+）＜k2+2，2k+2
D．＜k2+2，2k+2
【解答】解：假设当n＝k（k≥2）时，k2，
故当n＝k+1时，有2（++…++）＜k2+2，
因为2＝＜2k+1，
故+）＜（k+1）2，
故选：A．
【知识点】数学归纳法
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知a≠0，函数f（x）＝aex，g（x）＝alnx+b，若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则使不等式恒成立的最小整数m的值是 ．
【解答】解：函数f（x）＝aex，g（x）＝alnx+b，
导数为f′（x）＝aex，g′（x）＝，
设切点分别为（t，aet），（n，alnn+b），
与y＝f（x），y＝g（x）相切的直线方程为y﹣aet＝aet（x﹣t），
y﹣alnn﹣b＝（x﹣n），
由题意可得aet＝，且﹣a+b+alnn＝（1﹣t）aet，
可得n＝e﹣t，b＝a+（1﹣t）aet+ta，
则＝1+t+（1﹣t）et，
由y＝1+t+（1﹣t）et导数为y′＝1﹣tet，
由y＝et与y＝的交点只有一个，且t＞0，
可得et＝，
即有＝1+t+＝t+∈[2，3），且t＝1时，取得等号，
则m＞2，可得最小整数m＝3．
故答案为：3．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
14.若函数f（x）＝3x4﹣4（a+1）x3+6ax2在x＝0和x＝1时取极小值，则实数a的取值范围是 ．
【解答】解：∵f（x）＝3x4﹣4（a+1）x3+6ax2，
∴f′（x）＝12x3﹣12（a+1）x2+12ax＝12x[x2﹣（a+1）x+a]＝12x（x﹣1）（x﹣a），
令f′（x）＝0，解得x＝0，或x＝1或x＝a，
∵函数f（x）＝3x4﹣4（a+1）x3+6ax2在x＝0和x＝1时取极小值，
∴0＜a＜1，
故答案为：（0，1）
【知识点】利用导数研究函数的极值
15.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{an}的通项公式为 ．
【解答】解：数列{an}是公差d≠0的等差数列，
∵a2，a4，a8成等比数列，
∴＝a2a8，
∴（2+3d）2＝（2+d）（2+7d），
化为2d2﹣4d＝0，
解得d＝2或d＝0（舍）．
∴an＝2+2（n﹣1）
＝2n．
故答案为：an＝2n．
【知识点】等差数列的通项公式
16.设n∈N*，用An表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜rn≤n，且ri∈N（i∈N*），bn为集合An中的所有元素之和．则{bn}的通项公式为bn＝ ﹣ ．
【解答】解：由题意可知，r1、r2、…、rn是0、1、2、…、n的一个排列，
且集合An中共有n+1个数，若把集合An中每个数表示为++…+的形式，
则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，
因此，＝，
故答案为：n•（2n+1﹣1）．
【知识点】等比数列的前n项和
三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝44，S8＝56．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）求Sn的最大值．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S4＝44，S8＝56，得
，解得a1＝14，d＝﹣2．
（Ⅰ）；
（Ⅱ），其对称轴方程为n＝，
∵n∈N*，∴当n＝7或8时，Sn的最大值为56．
【知识点】等差数列的前n项和
18.数列{an}中，已知a1＝，an+1＝．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并加以证明．
【解答】解：（1）a1＝，an+1＝．n＝1时，a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝＝……6分
（2）猜想an＝，……8分
数学归纳法证明：
1）当n＝1时，a1＝，等式显然成立……9分
2）假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，……10分
那么当n＝k+1时，ak+1＝＝＝，等式也成立……13分
根据1）2）可知，等式对an＝一切正整数都成立……14分
【知识点】数列递推式、数学归纳法
19.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，n≥2时（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n（n﹣1）．
（Ⅰ）证明{+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时bn＝，求++…+的值．
【解答】解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，n≥2时（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n（n﹣1）．
所以：，
整理得：，
即：，
所以：数列{}是以为首项，2为公比的等比数列．
，
则：，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n+1）•2n﹣1﹣1，
当n＝1时a1＝1（符合通项），
故：，
（Ⅱ）数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时bn＝，
由于：，
所以：＝2n，
当n＝1时，b1＝2（符合通项），
故：bn＝2n．
所以：＝（），
所以：，
＝，
＝，
＝．
【知识点】等比数列的性质、数列递推式、数列的求和
20.已知函数f（x）＝ex（x+1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）则f′（x）＝ex（x+2），令f′（x）＝0，得x＝﹣2
当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞﹣2时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；所以f（x）的极小值为f（﹣2）＝﹣e﹣2，无极大值；
（2）g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m＝ex（x﹣2）﹣m，
函数g（x）＝ex（x﹣2）﹣m有两个零点，相当于曲线u（x）＝ex•（x﹣2）与直线y＝m有两个交点．
u′（x）＝ex•（x﹣2）+ex＝ex（x﹣1），令u′（x）＝0得x＝1．当x∈（﹣∞，1）时，u′（x）＜0∴u（x）
在（﹣∞，1）单调递减，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0∴u（x）在（1，+∞）单调递增，∴x＝1时，u（x）取得极小值u（1）＝﹣e，又x→+∞时，u（x）→+∞；x＜2时，u（x）＜0，∴﹣e＜m＜0．
【知识点】利用导数研究函数的极值
21.已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣1时，有极值，求a的值；
（Ⅱ）在直线x＝1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线y＝f（x）相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（I）∵f（x）＝x3﹣x2﹣3ax，
∴f′（x）＝x2﹣2x﹣3a
由题意可得，f′（﹣1）＝1+2+3a＝0，
∴a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，f（x）有极值，
综上可得，a＝﹣1，
（II）不妨设直线x＝1上存在点P（1，b），
设过点P与y＝f（x）相切的直线为l，切点（x0，y0），
则切线方程为y﹣+﹣3ax0＝，
又直线l过P（1，b），有＝，
即，
设g（x）＝，
则g′（x）＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2≥0，
故g（x）单调递增，g（x）至多一个解，
故过点P与y＝f（x）相切的直线最多有一条，
故在直线x＝1上不存在至少有两条直线与曲线y＝f（x）相切．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值
22.已知函数h（x）＝，不等式t≥（1+）t对于x∈（0，+∞）恒成立．
（Ⅰ）求函数h（x）的最值；
（Ⅱ）求实数t的值；
（Ⅲ）已知实数f（x）＝mx﹣+lgtx，g（x）＝，其中e为自然对数的底数．若对任意的x∈（0，1]，g（x）﹣2f（x）+3mx+＞4都恒成立，求正实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题可得，
则当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，
∴h（x）的最大值为，无最小值，
（Ⅱ）由题可得t＞0．有得
即：对于所有的x∈（0，+∞）恒成立，
有（Ⅰ）可知，的最大值为，∴，
又，∴，∴t＝e，
（Ⅲ）令，
化简得：，
当m＞0时，
令F′（x）＞0得，，F（x）在上单调递减，F（x）在上单调递增．
又∵m＞0，∴，∴F（x）在（0，1）上单调递减
∴F（x）min＝F（1）＝2m+2＞4，∴m＞1
综上：正实数m的取值范围为（1，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题
23.已知正项等比数列{an}的前n项和为，且a3＝a2+2，a2•a4＝16．数列{bn}的前n项和为Tn，且．
（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（2）证明数列{bn}为等差数列，并求出{bn}的通项公式；
（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得cm，cn，cl成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），
则由a2•a4＝16，
得，
从而a3＝4，
又由a3＝a2+2，
得a2＝2，
因此，，
所以，
．
（2）方法一：因为，
所以，
从而数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，
故，
当n≥2时，，
且n＝1时适合，
因此，bn＝n，
从而当n≥2时，bn﹣bn﹣1＝1为常数，所以，数列{bn}为等差数列．
方法二：因为，
所以，当n≥2时，有，
两式相减得：nTn+1＝2nTn﹣nTn﹣1+n，即Tn+1＝2Tn﹣Tn﹣1+1，
故Tn+1﹣Tn＝Tn﹣Tn﹣1+1，即bn+1＝bn+1，
又由得T2＝2T1+1＝3，从而b2＝T2﹣T1＝2，故b2﹣b1＝1，
所以，数列{bn}为等差数列．
（3）因为，
所以，
假设存在存在正整数m，n，l（m＜n＜l），
使得cm，cn，cl成等差数列，
则，
即，
令，
则原问题等价于存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），
使得，
即2dn'＝dm'+dl'成立．
因为（因为n≥3），故数列{dn}单调递增，
若l'﹣n'≥2，即l'≥n'+2，则dl'≥dn'+2，
从而，
即dl'＞2dn'，
而2dn'＝dm'+dl'，
因此，dm'＜0，
这与dm'＞0恒成立矛盾，
故只能有l'﹣n'＝1，即l'＝n'+1，
从而，
故，
即，（*）
①若n'为奇数，
则记，
从而，
因为数列单调递增，
所以数列单调递减，
故当n'≥4时，，
而2m'∈N*，故t∉N，因此，（*）式无正整数解．
②若n'为偶数，
则记，
即，
同理可得（*）无正整数解．
综上，不存在存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），
使得cm'，cn'，cl'成等差数列，也即不存在正整数m，n，l（m＜n＜l），
使得cm，cn，cl成等差数列．
【知识点】等比数列的通项公式、数列的求和
能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且an＞0，若S2＝6，，则a2＝（ ）
A．1B．2C．4D．
2.若数列{2an+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝（ ）
A．18B．C．D．12
3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是（ ）
A．B．C．D．
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
5.用数学归纳法证明不等式“1+++…+＞（n≥2，n∈N+）的过程中，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是（ ）
A． B．
C．++…+ D．++…+
6.关于函数f（x）＝xe﹣x的说法正确的是（ ）
A．有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．没有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
7.已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
8.已知函数f（x）＝（x2+x+1）ex，则f（x）在（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x+y+1＝0D．2x﹣y+1＝0
9.直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为（ ）
A．从时刻t到t+△t时，物体的平均速度
B．从时刻t到t+△t时位移的平均变化率
C．当时刻为△t时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
10.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象过点（1，1），f'（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数．若f'（x）＞1恒成立，则不等式f（x）＞x的解集为（ ）
A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．（e，+∞）
11.已知函数，若存在点A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），使得直线AB与两曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切，当实数a取最小值时，x1+x2＝（ ）
A．B．C．D．
12.下面是利用数学归纳法证明不等式n2（n≥2，且n∈N*）的部分过程：
“……
假设当n＝k（k≥2）时，k2，故当n＝k+1时，有_____，
因为2＝＜_____，
故+）＜（k+1）2，
……”
则横线处应该填（ ）
A．+）＜k2+2，2k+1
B．＜k2+2，2k+1
C．+）＜k2+2，2k+2
D．＜k2+2，2k+2
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知a≠0，函数f（x）＝aex，g（x）＝alnx+b，若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则使不等式恒成立的最小整数m的值是 ．
14.若函数f（x）＝3x4﹣4（a+1）x3+6ax2在x＝0和x＝1时取极小值，则实数a的取值范围是 ．
15.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{an}的通项公式为 ．
16.设n∈N*，用An表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜rn≤n，且ri∈N（i∈N*），bn为集合An中的所有元素之和．则{bn}的通项公式为bn＝ ﹣ ．
三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝44，S8＝56．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）求Sn的最大值．
18.数列{an}中，已知a1＝，an+1＝．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并加以证明．
19.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，n≥2时（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n（n﹣1）．
（Ⅰ）证明{+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时bn＝，求++…+的值．
20.已知函数f（x）＝ex（x+1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
21.已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣1时，有极值，求a的值；
（Ⅱ）在直线x＝1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线y＝f（x）相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
22.已知函数h（x）＝，不等式t≥（1+）t对于x∈（0，+∞）恒成立．
（Ⅰ）求函数h（x）的最值；
（Ⅱ）求实数t的值；
（Ⅲ）已知实数f（x）＝mx﹣+lgtx，g（x）＝，其中e为自然对数的底数．若对任意的x∈（0，1]，g（x）﹣2f（x）+3mx+＞4都恒成立，求正实数m的取值范围．
23.已知正项等比数列{an}的前n项和为，且a3＝a2+2，a2•a4＝16．数列{bn}的前n项和为Tn，且．
（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（2）证明数列{bn}为等差数列，并求出{bn}的通项公式；
（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得cm，cn，cl成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．
期末卷 本册内容测试
能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且an＞0，若S2＝6，，则a2＝（ ）
A．1B．2C．4D．
【解答】解：S2＝6，，
所求公比q≠1，
＝＝1+q2＝，
由题意可知q＞0，
所以q＝，＝6，
解可得，a1＝4，
则a2＝2．
故选：B．
【知识点】等比数列的前n项和
2.若数列{2an+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝（ ）
A．18B．C．D．12
【解答】解：∵数列{2an+1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，
∴2a3+1＝（2a1+1）+2＝11，解得a1＝4，
∴2a10+1＝（2a1+1）+9＝18，
解得a10＝．
故选：B．
【知识点】等差数列的通项公式
3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，可将9节的竹子构成的等差数列设为数列{an}，设公差为d．则有
，
即，
解得，
∴a5＝a1+4d＝+4×＝．
故选：C．
【知识点】等差数列的通项公式
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，
则数列{an}公比为2的等比数列，
∴S7＝＝381，
解得a1＝3．
故选：B．
【知识点】等比数列的性质
5.用数学归纳法证明不等式“1+++…+＞（n≥2，n∈N+）的过程中，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是（ ）
A．
B．
C．++…+
D．++…+
【解答】解：当n＝k时，左边＝1，
当n＝k+1时，左边＝1，
两式相减得：．
故选：D．
【知识点】数学归纳法
6.关于函数f（x）＝xe﹣x的说法正确的是（ ）
A．有最小值，有最大值
B．有最小值，没有最大值
C．没有最小值，有最大值
D．没有最小值，也没有最大值
【解答】解：f′（x）＝e﹣x（1﹣x），画出图象如下：
根据f（x）＝xe﹣x的图象和性质，
函数有最大值，没有最小值，
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的最值
7.已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：法1：设x1＞x2≥1，则：
f（x1）﹣f（x2）＝＝；
∵x1＞x2≥1，f（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴x1﹣x2＞0；
∴恒成立；
在x∈[1，+∞）上恒成立；
；
∴；
∴a≤3；
即a的最大值为3．
法2：f′（x）＝3x2﹣a；
∵f（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴3x2﹣a≥0在x∈[1，+∞）上恒成立；
即a≤3x2恒成立；
∵3x2在[1，+∞）上的最小值为3；
∴a≤3；
∴a的最大值为3．
故选：A．
【知识点】利用导数研究函数的最值
8.已知函数f（x）＝（x2+x+1）ex，则f（x）在（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．2x+y+1＝0D．2x﹣y+1＝0
【解答】解：由f（x）＝（x2+x+1）ex，得f′（x）＝（2x+1）ex+（x2+x+1）ex＝（x2+3x+2）ex，
则f′（0）＝2，又f（0）＝1，
∴f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0．
故选：D．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
9.直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为（ ）
A．从时刻t到t+△t时，物体的平均速度
B．从时刻t到t+△t时位移的平均变化率
C．当时刻为△t时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
【解答】解：根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，时间的变化量为△t，而物体的位移为△s，
那么为该物体在t时刻的瞬时速度；
故选：D．
【知识点】变化的快慢与变化率
10.已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象过点（1，1），f'（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数．若f'（x）＞1恒成立，则不等式f（x）＞x的解集为（ ）
A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．（e，+∞）
【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣x，
则g′（x）＝f′（x）﹣1，
∵f'（x）＞1恒成立，
∴g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）单调递增，
∵f（1）＝1，
∴g（1）＝f（1）﹣1＝0，
∵不等式f（x）＞x，
∴g（x）＞0＝g（1），
∴x＞1，
故选：C．
【知识点】导数的运算
11.已知函数，若存在点A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），使得直线AB与两曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切，当实数a取最小值时，x1+x2＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：f′（x）＝2x+2a，g′（x）＝．
∴f′（x1）＝2x1+2a，g′（x2）＝．
由题意可得：＝2x1+2a＝．
化为：x2＝．
∴2a＝﹣2x1＝﹣2x1＝g（x1）．
g′（x1）＝﹣2＝（x1﹣）（+x1+）．
可得x1＝时，a取得极小值即最小值：﹣，
∴x1+x2＝2．
故选：A．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
12.下面是利用数学归纳法证明不等式n2（n≥2，且n∈N*）的部分过程：
“……
假设当n＝k（k≥2）时，k2，故当n＝k+1时，有_____，
因为2＝＜_____，
故+）＜（k+1）2，
……”
则横线处应该填（ ）
A．+）＜k2+2，2k+1
B．＜k2+2，2k+1
C．+）＜k2+2，2k+2
D．＜k2+2，2k+2
【解答】解：假设当n＝k（k≥2）时，k2，
故当n＝k+1时，有2（++…++）＜k2+2，
因为2＝＜2k+1，
故+）＜（k+1）2，
故选：A．
【知识点】数学归纳法
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知a≠0，函数f（x）＝aex，g（x）＝alnx+b，若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则使不等式恒成立的最小整数m的值是 ．
【解答】解：函数f（x）＝aex，g（x）＝alnx+b，
导数为f′（x）＝aex，g′（x）＝，
设切点分别为（t，aet），（n，alnn+b），
与y＝f（x），y＝g（x）相切的直线方程为y﹣aet＝aet（x﹣t），
y﹣alnn﹣b＝（x﹣n），
由题意可得aet＝，且﹣a+b+alnn＝（1﹣t）aet，
可得n＝e﹣t，b＝a+（1﹣t）aet+ta，
则＝1+t+（1﹣t）et，
由y＝1+t+（1﹣t）et导数为y′＝1﹣tet，
由y＝et与y＝的交点只有一个，且t＞0，
可得et＝，
即有＝1+t+＝t+∈[2，3），且t＝1时，取得等号，
则m＞2，可得最小整数m＝3．
故答案为：3．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
14.若函数f（x）＝3x4﹣4（a+1）x3+6ax2在x＝0和x＝1时取极小值，则实数a的取值范围是 ．
【解答】解：∵f（x）＝3x4﹣4（a+1）x3+6ax2，
∴f′（x）＝12x3﹣12（a+1）x2+12ax＝12x[x2﹣（a+1）x+a]＝12x（x﹣1）（x﹣a），
令f′（x）＝0，解得x＝0，或x＝1或x＝a，
∵函数f（x）＝3x4﹣4（a+1）x3+6ax2在x＝0和x＝1时取极小值，
∴0＜a＜1，
故答案为：（0，1）
【知识点】利用导数研究函数的极值
15.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{an}的通项公式为 ．
【解答】解：数列{an}是公差d≠0的等差数列，
∵a2，a4，a8成等比数列，
∴＝a2a8，
∴（2+3d）2＝（2+d）（2+7d），
化为2d2﹣4d＝0，
解得d＝2或d＝0（舍）．
∴an＝2+2（n﹣1）
＝2n．
故答案为：an＝2n．
【知识点】等差数列的通项公式
16.设n∈N*，用An表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜rn≤n，且ri∈N（i∈N*），bn为集合An中的所有元素之和．则{bn}的通项公式为bn＝ ﹣ ．
【解答】解：由题意可知，r1、r2、…、rn是0、1、2、…、n的一个排列，
且集合An中共有n+1个数，若把集合An中每个数表示为++…+的形式，
则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，
因此，＝，
故答案为：n•（2n+1﹣1）．
【知识点】等比数列的前n项和
三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝44，S8＝56．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）求Sn的最大值．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S4＝44，S8＝56，得
，解得a1＝14，d＝﹣2．
（Ⅰ）；
（Ⅱ），其对称轴方程为n＝，
∵n∈N*，∴当n＝7或8时，Sn的最大值为56．
【知识点】等差数列的前n项和
18.数列{an}中，已知a1＝，an+1＝．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并加以证明．
【解答】解：（1）a1＝，an+1＝．n＝1时，a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝＝……6分
（2）猜想an＝，……8分
数学归纳法证明：
1）当n＝1时，a1＝，等式显然成立……9分
2）假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，……10分
那么当n＝k+1时，ak+1＝＝＝，等式也成立……13分
根据1）2）可知，等式对an＝一切正整数都成立……14分
【知识点】数列递推式、数学归纳法
19.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，n≥2时（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n（n﹣1）．
（Ⅰ）证明{+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时bn＝，求++…+的值．
【解答】解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，n≥2时（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n（n﹣1）．
所以：，
整理得：，
即：，
所以：数列{}是以为首项，2为公比的等比数列．
，
则：，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n+1）•2n﹣1﹣1，
当n＝1时a1＝1（符合通项），
故：，
（Ⅱ）数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时bn＝，
由于：，
所以：＝2n，
当n＝1时，b1＝2（符合通项），
故：bn＝2n．
所以：＝（），
所以：，
＝，
＝，
＝．
【知识点】等比数列的性质、数列递推式、数列的求和
20.已知函数f（x）＝ex（x+1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）则f′（x）＝ex（x+2），令f′（x）＝0，得x＝﹣2
当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞﹣2时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；所以f（x）的极小值为f（﹣2）＝﹣e﹣2，无极大值；
（2）g（x）＝f（x）﹣3ex﹣m＝ex（x﹣2）﹣m，
函数g（x）＝ex（x﹣2）﹣m有两个零点，相当于曲线u（x）＝ex•（x﹣2）与直线y＝m有两个交点．
u′（x）＝ex•（x﹣2）+ex＝ex（x﹣1），令u′（x）＝0得x＝1．当x∈（﹣∞，1）时，u′（x）＜0∴u（x）
在（﹣∞，1）单调递减，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0∴u（x）在（1，+∞）单调递增，∴x＝1时，u（x）取得极小值u（1）＝﹣e，又x→+∞时，u（x）→+∞；x＜2时，u（x）＜0，∴﹣e＜m＜0．
【知识点】利用导数研究函数的极值
21.已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣3ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x＝﹣1时，有极值，求a的值；
（Ⅱ）在直线x＝1上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线y＝f（x）相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（I）∵f（x）＝x3﹣x2﹣3ax，
∴f′（x）＝x2﹣2x﹣3a
由题意可得，f′（﹣1）＝1+2+3a＝0，
∴a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，f（x）有极值，
综上可得，a＝﹣1，
（II）不妨设直线x＝1上存在点P（1，b），
设过点P与y＝f（x）相切的直线为l，切点（x0，y0），
则切线方程为y﹣+﹣3ax0＝，
又直线l过P（1，b），有＝，
即，
设g（x）＝，
则g′（x）＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2≥0，
故g（x）单调递增，g（x）至多一个解，
故过点P与y＝f（x）相切的直线最多有一条，
故在直线x＝1上不存在至少有两条直线与曲线y＝f（x）相切．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值
22.已知函数h（x）＝，不等式t≥（1+）t对于x∈（0，+∞）恒成立．
（Ⅰ）求函数h（x）的最值；
（Ⅱ）求实数t的值；
（Ⅲ）已知实数f（x）＝mx﹣+lgtx，g（x）＝，其中e为自然对数的底数．若对任意的x∈（0，1]，g（x）﹣2f（x）+3mx+＞4都恒成立，求正实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题可得，
则当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，
∴h（x）的最大值为，无最小值，
（Ⅱ）由题可得t＞0．有得
即：对于所有的x∈（0，+∞）恒成立，
有（Ⅰ）可知，的最大值为，∴，
又，∴，∴t＝e，
（Ⅲ）令，
化简得：，
当m＞0时，
令F′（x）＞0得，，F（x）在上单调递减，F（x）在上单调递增．
又∵m＞0，∴，∴F（x）在（0，1）上单调递减
∴F（x）min＝F（1）＝2m+2＞4，∴m＞1
综上：正实数m的取值范围为（1，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题
23.已知正项等比数列{an}的前n项和为，且a3＝a2+2，a2•a4＝16．数列{bn}的前n项和为Tn，且．
（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（2）证明数列{bn}为等差数列，并求出{bn}的通项公式；
（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得cm，cn，cl成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），
则由a2•a4＝16，
得，
从而a3＝4，
又由a3＝a2+2，
得a2＝2，
因此，，
所以，
．
（2）方法一：因为，
所以，
从而数列是以为首项，为公差的等差数列，
故，
故，
当n≥2时，，
且n＝1时适合，
因此，bn＝n，
从而当n≥2时，bn﹣bn﹣1＝1为常数，所以，数列{bn}为等差数列．
方法二：因为，
所以，当n≥2时，有，
两式相减得：nTn+1＝2nTn﹣nTn﹣1+n，即Tn+1＝2Tn﹣Tn﹣1+1，
故Tn+1﹣Tn＝Tn﹣Tn﹣1+1，即bn+1＝bn+1，
又由得T2＝2T1+1＝3，从而b2＝T2﹣T1＝2，故b2﹣b1＝1，
所以，数列{bn}为等差数列．
（3）因为，
所以，
假设存在存在正整数m，n，l（m＜n＜l），
使得cm，cn，cl成等差数列，
则，
即，
令，
则原问题等价于存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），
使得，
即2dn'＝dm'+dl'成立．
因为（因为n≥3），故数列{dn}单调递增，
若l'﹣n'≥2，即l'≥n'+2，则dl'≥dn'+2，
从而，
即dl'＞2dn'，
而2dn'＝dm'+dl'，
因此，dm'＜0，
这与dm'＞0恒成立矛盾，
故只能有l'﹣n'＝1，即l'＝n'+1，
从而，
故，
即，（*）
①若n'为奇数，
则记，
从而，
因为数列单调递增，
所以数列单调递减，
故当n'≥4时，，
而2m'∈N*，故t∉N，因此，（*）式无正整数解．
②若n'为偶数，
则记，
即，
同理可得（*）无正整数解．
综上，不存在存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），
使得cm'，cn'，cl'成等差数列，也即不存在正整数m，n，l（m＜n＜l），
使得cm，cn，cl成等差数列．
【知识点】等比数列的通项公式、数列的求和
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