北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定精品复习练习题

这是一份北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定精品复习练习题，共23页。试卷主要包含了3 正方形的性质与判定，5°，等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．下列说法错误的是（ ）


A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形


B．矩形的对角线相等


C．对角线相等的菱形是正方形


D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形


2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（ ）





A．60°B．65°C．70°D．75°


3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（ ）





A．①②B．③④C．①②④D．①②③④


4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）





A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形


B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形


C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形


D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形


5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：


（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．


其中正确的有（ ）





A．4个B．3个C．2个D．1个


二．填空题


6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ．





7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为 ．





8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．





9．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．





10．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝ 度．





11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为 度．





12．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为 ．





13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝ ．





14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝ ．





15．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝ ．





三．解答题


16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．


（1）求证：四边形CDEF是菱形；


（2）当∠ACB＝ 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．





17．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．


（1）求证：四边形ABCD是正方形．


（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．





18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．


（1）求证：矩形DEFG是正方形；


（2）求AG+AE的值；


（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．





19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．


（1）求证：矩形DEFG是正方形；


（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．





20．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．


（1）求证：四边形ABCD是菱形；


（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．





21．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：


（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．


（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？


（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？








参考答案


一．选择题


1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；


矩形的对角线相等，故选项B正确；


对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；


两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；


故选：A．


2．解：∵四边形ABCD是正方形，


∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．


又AE＝AE，


∴△ABE≌△ADE（SAS）．


∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．


∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．


故选：C．


3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．





∵两张长方形直尺的宽度相等，


∴DE＝DF，


又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，


∴AB＝BC，


∴平行四边形ABCD为菱形．


当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，


∴这个四边形一定是轴对称图形，


故选：C．


4．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，


∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．


∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．


在△BDE和△BAC中，


，


∴△BDE≌△BAC（SAS），


∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．


∵AD是正方形ABDI的对角线，


∴∠BDA＝∠BAD＝45°．


∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，


∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD


＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°


＝225°﹣∠BAC，


∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，


∴DE∥AG，


∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；


B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，


∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，


∵∠BAC＝90°，


∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，


∵四边形ADEG是平行四边形，


∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；


C、∵四边形ADEG是平行四边形，


∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．


∵AD＝AB，


∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；


D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，


∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，


∴四边形ADEG是正方形，


即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；


故选：B．


5．解：∵四边形ABCD是正方形，


∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．


∵CE＝DF，


∴AF＝DE．


在△ABF和△DAE中，，


∴△ABF≌△DAE．


∴AE＝BF，故（1）正确．


∵△ABF≌△DAE，


∴∠AFB＝∠AED．


∵∠AED+∠DAE＝90°，


∴∠AFB+∠DAE＝90°，


∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．


∵△ABF≌△DAE，


∴S△ABF＝S△ADE．


∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．


如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．





∵HE＞OE，GE＞HE，


∴GE＞OE．


∴AD＞OE，故（3）错误．


故选：B．


二．填空题


6．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．


∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，


∴EF⊥l1，EF⊥l4，


即∠CED＝∠BFC＝90°．


∵ABCD为正方形，


∴∠BCD＝90°．


∴∠DCE+∠BCF＝90°．


又∵∠DCE+∠CDE＝90°，


∴∠CDE＝∠BCF．


在△CDE和△BCF中，


∴△CDE≌△BCF（AAS），


∴BF＝CE＝2．


∵CF＝1，


∴BC2＝12+22＝5，


即正方形ABCD的面积为5．


故答案为：5．


7．解：如图，延长BG交CH于点E，


在△ABG和△CDH中，


，


∴△ABG≌△CDH（SSS），


∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，


∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，


∴AG2+BG2＝AB2，


∴∠AGB＝∠CHD＝90°，


∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，


又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，


∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，


在△ABG和△BCE中，


，


∴△ABG≌△BCE（ASA），


∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，


∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，


同理可得HE＝1，


在Rt△GHE中，GH＝＝＝，


故答案为：．





8．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，





∵四边形ABCD是正方形，


∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，


∵E，F分别是边AB，BC的中点，


∴AE＝CF＝×2＝1，


∵AD∥BC，


∴∠DPH＝∠FCH，


∵∠DHP＝∠FHC，


∵DH＝FH，


∴△PDH≌△CFH（AAS），


∴PD＝CF＝1，


∴AP＝AD﹣PD＝1，


∴PE＝＝，


∵点G，H分别是EC，FD的中点，


∴GH＝EP＝．


9．解：∵四边形ABCD是正方形，


∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，


在△BAE和△ADF中，


，


∴△BAE≌△ADF（SAS），


∴∠ABE＝∠DAF，


∵∠ABE+∠BEA＝90°，


∴∠DAF+∠BEA＝90°，


∴∠AGE＝90°，


∴∠BGF＝90°，


∵点H为BF的中点，


∴GH＝BF，


又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，


∴CF＝4，


∴BF＝＝＝，


∴GH＝，


故答案为：．


10．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，


∴∠CBE＝150°，


∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形


∴BC＝BE，


∴∠BEC＝15°，


∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，


∴∠BFE＝60°，


在△CBF和△ABF中，


，


∴△CBF≌△ABF（SAS），


∴∠BAF＝∠BCE＝15°，


又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，


∴∠AFD＝∠ABF+∠FAB＝15°+45°＝60°．


故答案为60．





11．解：∵四边形ABCD是正方形


∴AB＝AD，∠BAD＝90°


∵△ABE是等边三角形


∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°


∴AD＝AE，∠DAE＝150°


∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°


∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°


故答案为：45．


12．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，


AD＝BC，DE＝CE，


∴△ADE≌△BCE，


∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．


∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，


∴AD＝DE，


∵∠ADE＝90°+60°＝150°，


∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，


∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，


∴∠EAB＝＝75°．


故答案为 75°．


13．解：∵四边形ABCD是正方形，


∴∠ACB＝45°，AD∥BC，


∵AC＝EC，


∴∠E＝∠CAE，


∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，


∴∠E＝∠ACB＝22.5°，


∵AD∥BC，


∴∠DAE＝∠E＝22.5°．


故答案为：22.5°．


14．解：过E作EF⊥DC于F，


∵四边形ABCD是正方形，


∴AC⊥BD，


∵CE平分∠ACD交BD于点E，


∴EO＝EF，


在Rt△COE和Rt△CFE中


，


∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），


∴CO＝FC，


∵正方形ABCD的边长为1，


∴AC＝，


∴CO＝AC＝，


∴CF＝CO＝，


∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，


∴DE＝＝﹣1，





另法：因为四边形ABCD是正方形，


∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，


∵CE平分∠ACD交BD于点E，


∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，


∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，


∵∠CBE＝45°，


∴∠BEC＝67.5°，


∴BE＝BC，


∵正方形ABCD的边长为1，


∴BC＝1，


∴BE＝1，


∵正方形ABCD的边长为1，


∴AC＝，


∴DE＝﹣1，


故答案为：﹣1．





15．解：如图作FH∥BC交BD于点H．





∵四边形ABCD是正方形，


∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°


∵FH∥BC，


∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，


∴∠OHF＝∠OFH，


∴OH＝OF＝1，FH＝＝，


∵BF平分∠OBC，


∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，


∴BH＝FH＝，


∴OB＝OC＝1+，


∴BC＝OB＝2+．


故答案为2+．


三．解答题


16．证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O





∵BE＝BC，BD平分∠ABC


∴EO＝CO，BD⊥CE


∴EF＝FC，DE＝CD，


∵CF∥DE


∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE


∴△DOE≌△FOC（AAS）


∴DE＝CF


∴EF＝FC＝CD＝DE


∴四边形EFCD是菱形


（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，


理由如下：


∵∠ACB＝120°，BC＝AC


∴∠ABC＝∠BAC＝30°


∵BD平分∠ABC


∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC


∴∠BCO＝75°


∴∠ACE＝45°，


∵四边形EFCD是菱形


∴∠FCD＝2∠ACE＝90°


∴四边形CDEF是正方形，


∴∠ADE＝90°


如图，过点C作CP⊥AB于点P，





∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB


∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，


∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6


∵∠A＝30°，∠ADE＝90°


∴DE＝AE＝3﹣3


17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，


∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，


∴∠BAD+∠ABC＝180°，


∵∠CAD＝∠DBC，


∴∠BAD＝∠ABC，


∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，


∴四边形ABCD是正方形；


（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，


∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，


∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，


∵DH⊥CE，垂足为H，


∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，


∵∠ECO+∠DEH＝90°，


∴∠ECO＝∠EDH，


在△ECO和△FDO中，，


∴△ECO≌△FDO（ASA），


∴OE＝OF．


18．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．





∵四边形ABCD是正方形，


∴∠EAD＝∠EAB，


∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，


∴EM＝EN，


∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，


∴四边形ANEM是矩形，


∵EF⊥DE，


∴∠MEN＝∠DEF＝90°，


∴∠DEM＝∠FEN，


∵∠EMD＝∠ENF＝90°，


∴△EMD≌△ENF，


∴ED＝EF，


∵四边形DEFG是矩形，


∴四边形DEFG是正方形．





（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，


∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，


∴∠ADG＝∠CDE，


∴△ADG≌△CDE（SAS），


∴AG＝CE，


∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．





（3）如图，作EH⊥DF于H．





∵四边形ABCD是正方形，


∴AB＝AD＝4，AB∥CD，


∵F是AB中点，


∴AF＝FB


∴DF＝＝2，


∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，


∴DH＝HF，


∴EH＝DF＝，


∵AF∥CD，


∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，


∴FM＝，


∴HM＝HF﹣FM＝，


在Rt△EHM中，EM＝＝．


19．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，


∴∠MEN＝90°，


∵点E是正方形ABCD对角线上的点，


∴EM＝EN，


∵∠DEF＝90°，


∴∠DEN＝∠MEF，


∵∠DNE＝∠FME＝90°，


在△DEN和△FEM中，


，


∴△DEN≌△FEM（ASA），


∴EF＝DE，


∵四边形DEFG是矩形，


∴矩形DEFG是正方形；





（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：


∵正方形DEFG和正方形ABCD，


∴DE＝DG，AD＝DC，


∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，


∴∠CDG＝∠ADE，


在∴△ADE和△CDG中，，


∴△ADE≌△CDG（SAS），


∴AE＝CG，


∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．





20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AO＝CO．


∵△ACE是等边三角形，


∴AE＝CE．


∴BE⊥AC．


∴四边形ABCD是菱形．





（2）从上易得：△AOE是直角三角形，


∴∠AEB+∠EAO＝90°


∵△ACE是等边三角形，


∴∠EAO＝60°，


∴∠AEB＝30°


∵∠AEB＝2∠EAB，


∴∠EAB＝15°，


∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．


又∵四边形ABCD是菱形．


∴∠BAD＝2∠BAO＝90°


∴四边形ABCD是正方形．


21．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：


∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，


∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．


∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．


在△BDE和△BAC中，


，


∴△BDE≌△BAC（SAS），


∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．


∵AD是正方形ABDI的对角线，


∴∠BDA＝∠BAD＝45°．


∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，


∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD


＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°


＝225°﹣∠BAC


∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°


∴DE∥AG，


∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．





（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．


则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，


即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；





（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．


由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．


∵四边形ABDI是正方形，


∴AD＝AB．


又∵四边形ACHG是正方形，


∴AC＝AG，


∴AC＝AB．


∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．