备战2021年中考数学专题练——专题八 二次函数及其应用试卷


专题八 二次函数及其应用
一、单选题
1.（2019九上·义乌月考）将抛物线y=x2向下平移1个单位，所得到的抛物线是（     ）
A. y=(x－1)2                           B. y=x2－1                           C. y=(x＋1)2                           D. y=x2＋1
2.（2019九上·济阳期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确个数有（   ）．

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
3.（2019·云霄模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：①b2＜4ac；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④a+b+c＜0；⑤当0＜x＜3时，y随x增大而减小；其中结论正确的个数是（   ）

A. 4个                                       B. 3个                                       C. 2个                                       D. 1个
4.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（　　）
A. 5元                                     B. 10元                                     C. 15元                                     D. 20元
5.（2019·江川模拟）如图，已知A，B是反比例函数 图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（    ）

A.             B.             C.             D. 
6.（2020九上·长兴期末）将抛物线y=-x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（   ）
A. y=-(x+3)2                           B. y=-(x-3)2                           C. y=-x2+3                           D. y=-x2-3
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象大致为（   ）
A.            B.            
C.            D. 
8.（2019九上·黄石期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（　　）

A.                          B.                          C.                          D. 
9.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（　　）


A. 50m                                  B. 100m                                  C. 160m                                  D. 200m
10.（2020·郑州模拟）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B=60°，BC=2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（　　）

A.                                             B. 
C.                                            D. 
11.（2019九下·新田期中）已知： 表示不超过x的最大整数.例： .令关于 的函数 （ 是正整数），例： .则下列结论错误的是（  ）
A.                      B.                      C.                      D. 或1
12.（2019九上·天台月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，且a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1 ， 0），且1＜x1＜2，与y轴交于正半轴，且交点在（0，2）的下方，下列结论①4a﹣2b+c=0； ②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是（　　）
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
13.（2018九上·阆中期中）如下图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：
①2a＋b＝0；②当y＜0时，x＜－1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b
其中正确的个数是(   )

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
14.（2019九下·河南月考）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与x轴交于点B、D，若直线 与 、 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（   ）

A.         B.         C.         D. 
15.（2019九上·宜兴月考）在平面直角坐标系 中，直线经过点A（－3，0），点B（0， ），点P的坐标为（1，0），与 轴相切于点O，若将⊙P沿 轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（   ）
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
16.（2020九上·德清期末）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（   ）

A. 7                                  B.                                  C.                                  D. 
17.（2019九下·建湖期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，DE是正三角形ABC的中位线.动点M，N分别从D、E出发，沿着射线DE与射线EB方向移动相同的路程，连结AM，DN交于P点.则下列结论：①ac=-3；②AM=DN；③无论M，N处何位置，∠APN的大小始终不变.其中正确的是（   ）

A.                                  B.                                  C.                                  D. 
18.（2019九上·许昌期末）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是（   ）

A. b≤-2                                   B. b-2
19.（2019九上·深圳期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则x1＜-1＜5＜x2 ． 其中正确的结论有（   ）

A. 2个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个
20.（2019·天宁模拟）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk ， yk)处，其中x1＝1，y1＝2，当k≥2时，xk＝xk﹣1+1﹣5（[ ]﹣[ ]），yk＝yk﹣1+[ ]﹣[ ]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2017棵树种植点的坐标为（   ）
A. (5，2017)                          B. (6，2016)                          C. (1，404)                          D. (2，404)
二、填空题
21.（2018九上·阆中期中）若抛物线y=ax2+c与y=2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，－3），则该抛物线的函数解析式是________.
22.（2020·乌鲁木齐模拟）二次函数 中的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：

…







…

…







…
则 的解为________.
23.（2020九上·遂宁期末）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为________．

24.如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有________个．

25.某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(h)的函数：M=t2－5t+100(其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时)，则上午10时此物体的温度为________℃．

26.（2019九上·西安月考）如图，若被击打的小球飞行高度 h （单位： m ）与飞行时间 t （单位： s ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为________ ．

27.（2019·汇川模拟）如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y= （x＞0），y=﹣ （x＞0）的图象交于A点和B点，若C为y轴任意一点.连接AB、BC，则△ABC的面积为________.

28.（2020·百色模拟）三角形ABC中任意一点P（x0 ， y0）经平移后対应点为P1（x0+5，y0+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1 ， 若A（﹣2，3），则A1的坐标为________.
29.（2020·松滋模拟）二次函数 的图象与 轴相交于 和 两点，则该抛物线的对称轴是________.
30.（2019·遵义模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（-2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中⊙P中的阴影区域（包括边界）内，⊙P的半径为1，点P的坐标为（3，2），则m的取值范围是________.

31.（2019·武汉模拟）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界），仅有4个整数点时（整数点就是横纵坐标均为整数的点），则a的取值范围________．
32.（2020·武汉模拟）平面直角坐标系中，点P是一动点，点A（6，0）绕点P顺时针旋转90°到点B处，点B恰好落在直线y＝﹣2x上.当线段AP最短时，点P的坐标为________.
33.（2020九上·遂宁期末）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a的取值范围是________．
34.（2020九上·建湖月考）关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不含－1和0），则a的取值范围是________.
35.（2020九上·鞍山期末）如图，抛物线解析式为y＝x2 ， 点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1 ， 分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2 ， 分别交y轴、抛物线于点P3、B2…；则点Pn的坐标是________．

三、解答题
36.（2020九下·安庆月考）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

37.（2019·会宁模拟）如图，▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

38.（2020·乌鲁木齐模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
39.已知一次函数y1=6x，二次函数y2=3x2+3，是否存在二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1 ， y2 ， y3都有y1≤y2≤y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.


40.以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．
41.（2019·天宁模拟）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：
方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p = .
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！
42.（2019九上·如皋期末）复习课中，教师给出关于x的函数 （k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图像经过（1,0）点；
②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；
③当 时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
43.（2019九下·中山月考）已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2 ． 在坐标系中画出矩形P2M2O2N2 ， 并求出直线P1P2的解析式．
44.某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．

（1）根据题意，填写下表：

蔬菜的批发量（千克）
…
25
60
75
90
…
所付的金额（元）
…
125
　      　
300
　      　
…
（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；


（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？

45.如图，平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2028与顶点为C的抛物线y＝ x2+2019相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，其中x1＝﹣1.

（1）求k的值；
（2）求证：点（y1﹣2019，y2﹣2019）在反比例函数y＝ 的图象上；
（3）小安提出问题：若等式x1•BC+y2•AC＝m•AC恒成立，则实数m的值为2019.请通过演算分析“小安问题”是否正确.
46.（2019·秦安模拟）一商家按标价销售工艺品时，每件可获利 元，按标价的八五新销售工艺品 件与将标价降低 元销售这种工艺品 件所获利润相等.
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少？
（2）若每件工艺品按此进价进货，标价销售，商家每天可卖出工艺品 件，若每件工艺品降价 元，则每天可多卖出该工艺品 件，间每件降价多少元销售，每天获得利润最大？获得最大利润是多少元？
47.（2019·河南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由.
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标.
48.（2019·抚顺模拟）如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），点 的坐标为 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 .动点 在抛物线上运动，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 .

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 在线段 上时， 的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点 是抛物线对称轴与 轴的交点，点 是 轴上一动点，点 在运动过程中，若以 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 的坐标.
49.（2019九下·建湖期中）如图，抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于A、B两点，交y轴交于点C，直线y=-x+5经过点B、C.

（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（1，0），点P为对称轴上一动点，连接BP、CP.
①若∠CPB=90°，求点P的坐标；
②点Q为抛物线上一动点，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P的坐标.

答案解析部分
一、单选题
1. B
【解答】解：将抛物线y=x2向下平移1个单位，所得到的抛物线是y=x2-1.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。
2. B
【解答】∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①符合题意；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②符合题意；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-2，③不符合题意；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤-2，④不符合题意，
故答案为：B．

【分析】根据二次函数得性质解题即可
3. B
【解答】解：①如图，

抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac ， 故不符合题意；
②由对称轴是x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为A（3，0），得到：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3．故符合题意；
③由对称轴方程x＝﹣ ＝1得到：2a+b＝0，故符合题意；
④如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故符合题意；
⑤如图所示，当0＜x＜1时，y随x增大而减小，故不符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故答案为：B ．
【分析】根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
4. A
【解答】设应降价x元，则（20+x）（100-x-70）= -x2+10x+600= -（x-5）2+625，
∵-1＜0
∴当x=5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故选A．
【分析】设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100-x-70）= -x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．
5. A
【解答】①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B. D；
②点P在BC上运动时,设路线O→A→B→C的总路程为l,点P的速度为a,则S=OC×CP=OC×(l−at)，因为l，OC，a均是常数，
所以S与t成一次函数关系.故排除C.
故答案为：A.
【分析】通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积不变，可以排除B、D；②点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除C.
6. B
【解答】解： 抛物线y=-x2向右平移3个单位后得：
y=-(x-3)2.
故答案为：B.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k, 根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.
7. B
【解答】解：A、 一次函数图象 向右上升a>0,  而二次函数图象张口向下a