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备战2021年中考数学专题练——专题十 四边形试卷
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专题十 四边形
一、单选题
1.(2020·南通模拟)如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,则△ODE与△AOB的面积比为( )
A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:5
2.(2019·合肥模拟)矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点M、N分别从顶点A、B同时出发,且分别沿着AD、BA运动,点N的速度是点M的2倍,点N到达顶点A时,则两点同时停止运动,连接BM、CN交于点P,过点P分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F,则线段EF的最小值为( )
A. B. ﹣1 C. D.
3.(2019·嘉定模拟)已知 ,而且 和 的方向相反,那么下列结论中正确是( )
A. B. C. D. .
4.(2019·宝山模拟)设 为实数,那么下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D. 若 ,那么
5.(2019·汇川模拟)如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )
A. AD=BC B. CD=BF C. ∠A=∠C D. ∠F=∠CDE
6.(2019·五华模拟)如图,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为(﹣4,0),点B在y轴上,若反比例函数y= (k≠0)的图象过点C,则该反比例函数的表达式为( )
A. y= B. y= C. y= D. y=
7.(2019·武汉模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,点A、B、C的坐标分别为(2,0)、(0,1)、(1,2),则AB+BC的值为( )
A. B. 3 C. 4 D. 5
8.如图,已知正方形ABCD的边长为6,BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG,现在有如下4个结论:① ;② ;③ ;④ 在以上4个结论中,正确的有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.(2019·乌鲁木齐模拟)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是( )
A. 2 B. 3 C. D. 1+
10.如图所示,在四边形 中, , ,它的一个外角 ,则 的大小是( )
A. 70° B. 60° C. 40° D. 30°
11.如图,在⊙O中,点C在优弧AB上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为 ,AB=8,则BC的长是( )
A. B. C. D.
12.(2019·丹阳模拟)如图,将边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B的对应点M落在边CD上(不与点C、D重合),折痕为EF,AB的对应线段MG交AD于点N.以下结论正确的有( )①∠MBN=45°;②△MDN的周长是定值;③△MDN的面积是定值.
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
13.(2019·孝感模拟)如图,已知E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③∠BMO=90°;④MD=2AM=4EM;⑤ .其中正确结论的是( )
A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③⑤ D. ①③④⑤
14.(2019九下·义乌期中)如图,已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点,连接CE,过点B作BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值是( )
A. B. C. D.
15.(2019·汇川模拟)如图1,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开,拼成如图2所示的▱ALMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且▱ALMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为( )
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27
16.(2019·武汉模拟)如图,⊙O内切于正方形ABCD,边AD,CD分别与⊙O切于点E,F,点M、N分别在线段DE,DF上,且MN与⊙O相切,若△MBN的面积为8,则⊙O的半径为( )
A. B. 2 C. D. 2
17.(2020九上·覃塘期末)如图,在正方形 中, 是 边的中点,将 沿 折叠,使点 落在点 处, 的延长线与 边交于点 .下列四个结论:① ;② ;③ ;④ S正方形ABCD , 其中正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
18.(2018九下·龙岩期中)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG= S△FGH;④AG+DF=FG . 则下列结论正确有( )
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
19.(2019·朝阳模拟)如图,点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点,AC、BD交于点O,且∠EAF=45°,AE,AF分别交对角线BD于点M,N,则有以下结论:①△AOM∽△ADF;②EF=BE+DF;③∠AEB=∠AEF=∠ANM;④S△AEF=2S△AMN , 以上结论中,正确的个数有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
20.(2019九上·温州月考)我们知道,勾股定理反映了直角三角形三条边的关系:a2+b2=c2 , 而a2 , b2 , c2又可以看成是以a,b,c为边长的正方形的面积。如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,O为AB的中点,分别以AC,BC为边向△ABC外作正方形ACFG,BCED,连结OF,EF,OE,则△OEF的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
21.(2019·渝中模拟)如图,长方形ABCO的边OC在x轴的正半轴上,边OA在y轴的正半轴上,反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象经过其对角线OB的中点D,交边BC于点E,过点E作EG∥OB交x轴于点F,交y轴于点G、若点B的坐标是(8,6),则四边形OBEG的周长是________.
22.(2020·北京模拟)如图,在平面直角坐标系中, ,以 为一边,在第一象限作菱形 ,并使 ,再以对角线 为一边,在如图所示的一侧作相同形状的菱形 ,再依次作菱形 , , ,则过点 , , 的圆的圆心坐标为________.
23.(2019九上·高州期末)如图,矩形ABCD面积为40,点P在边CD上,PE⊥AC,PF⊥BD,足分别为E,F.若AC=10,则PE+PF=________.
24.(2018九上·成都期中)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OA,OC分别在x轴和y轴上,反比例函数 的图象经过AB的中点D,和BC相交于点E,连接OE,OD,DE,若 ,则 ________.
25.如图,在菱形 中, , 边上的高 ,那么对角线 的长为________ .
26.(2020九上·信阳期末)如图,矩形ABCD中, , ,把矩形ABCD绕点A顺时针旋转,当点D落在射线CB上的点P处时,那么线段DP的长度等于________.
27.如图,M,N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连结AC交BN于点E,连结DE交AM于点F,连结CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是________.
28.(2019九下·无锡期中)在平面直角坐标系中,已知 ,动点 从点 出发,以每秒1个单位的速度向下运动,动点 从点 出发,以每秒1个单位的速度向右运动,过点 作 的平行线交 于点 ,当 的值最小时,此时 ________秒.
29.(2019·海州模拟)如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,DE=4BE,连接CE,过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F,若AF=8,则正方形ABCD的边长为________.
30.(2019九上·温州月考)如图1,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在BC,BD上,且BE=1,过三点C,E,F作⊙O交CD于点G。
(1)证明∠EFG=90°.
(2)如图2,连结AF,当点F运动至点A,F,G三点共线时,求△ADF的面积。
(3)在点F整个运动过程中,
①当EF,FG,CG中满足某两条线段相等,求所有满足条件的BF的长。
②连接EG,若 时,求⊙O的半径(请直接写出答案)。
三、解答题
31.(2019·三明模拟)菱形ABCD的对角线交于O点,DE∥AC , CE∥BD , 求证:四边形OCED是矩形.
32.如图,已知四边形ABCD为正方形,AB=2 ,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE.交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
①求证:矩形DEFG是正方形;
②探究:CE+CG的值是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
33.(2019·会宁模拟)如图,▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),B(7,0),作∠AOB的平分线交AC于点G,并求线段CG的长,(要求尺规作图保留作图痕迹,不写作法)
34.(2020九上·岐山期末)如图,在菱形ABCD中,点E是边AD上一点,延长AB至点F,使BF=AE,连接BE、CF求证:BE=CF。
35.(2019九下·沈阳月考)如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点, , ,垂足分别是F、G.
求证:AE=FG.
36.(2019九下·徐州期中)已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.
①求证:CD=AN.
②若∠AMD=50°,当∠MCD=▲ °时,四边形ADCN是矩形.
37.(2020九上·兴安盟期末)如图,BF为⊙O的直径,直线AC交⊙O于A、B两点,点D在⊙O上,BD平分∠OBC,DE⊥AC于点E.求证:直线DE是⊙O的切线.
38.(2019·越秀模拟)如图,在□ABCD中,点E、F分别在AD,BC上,且AE=CF,EF,BD相交于点O,求证:OE=OF
39.(2018九上·和平期末)已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P,求证:四边形CODP是菱形.
40.(2019九下·中山月考)已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上,O为坐标原点,且点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2 . 在坐标系中画出矩形P2M2O2N2 , 并求出直线P1P2的解析式.
41.(2019九下·东台月考)如图所示,在矩形 中, 是 边上的点, , ,垂足为 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)若 , ,求 的值.
42.(2020·北京模拟)如图,矩形 中, , . , 分别在 , 上,点 与点 关于 所在的直线对称, 是边 上的一动点.
(1)连接 , ,求证四边形 是菱形;
(2)当 的周长最小时,求 的值;
(3)连接 交 于点 ,当 时,求 的长.
43.(2020九下·中卫月考)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点, ,垂足为F.
(1)求证: ;
(2)如果 ,求 的余切值.
44.(2019·重庆模拟)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC= ,点 M 在 AC 上,且 AM= AC,连接并延长 BM 交 AD 于点 N.
(1)求证:△ABC∽△AMB;
(2)求 MN 的长.
45.(2018九上·焦作期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线EF交AC于点D,交AB于点F,且CE=BF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)当∠BAC的度数为多少时,四边形AECF是正方形.
46.(2020·绍兴模拟)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线 经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于y轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
47.(2019·淮安模拟)定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,则对角线BD的长为________;
②若AC⊥BD,求证:AD=CD;________
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点 是对角线 上一点,且 ,过点 作直线分别交边 于点 ,使四边形 是等腰直角四边形.直接写出 的长为________.
48.(2020九下·吴江月考)如图①,四边形 是矩形, ,点 是线段 上一动点 (不与 重合),点 是线段 延长线上一动点,连接 交 于点 .设 ,已知 与 之间的函数关系如图②所示.
(1)求图②中 与 的函数表达式;
(2)求证: ;
(3)是否存在 的值,使得 是等腰三角形?如果存在,求出 的值;如果不存在,说明理由.
49.(2019·润州模拟)如图,在菱形ABCD中,边长为2 ,∠BAD=120°,点P从点B开始,沿着B→D方向,速度为每秒1个单位,运动到点D停止,设运动的时间为t(秒),将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到对应线段的延长线与过点P且垂直AP的垂线段相交于点E,
( ≈1.73,sin11°≈0.19,cos11°≈0.98,sin19°≈0.33,tan19°≈0.34,sin41°≈0.65,tan41°≈0.87)
(1)当t=0时,求AE的值.
(2)P点在运动过程中,线段PE与菱形的边框交于点F.(精确到0.1)
问题1:如图2,当∠BAP=11°,AF=2PF,则OQ=________.
问题2:当t为何值时,△APF是含有30°角的直角三角形,写出所有符合条件的t的值________.
(3)当点P在运动过程中,求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式.(请说明理由)
50.(2019·天宁模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线 ( )与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l: 与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为 ,求a的值;
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1. A
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,BO=DO
∴S△AOB=S△BOC , S△BOC=S△COD .
∴S△AOB=S△COD .
∵点E是CD的中点
∴S△ODE= S△COD= S△AOB .
∴△ODE与△AOB的面积比为1:2
故答案为:A.
【分析】由题意可得:S△AOB=S△COD , 由点E是CD中点,可得S△ODE= S△COD= S△AOB . 即可求△ODE与△AOB的面积比.
2. B
【解答】解:如图,取BC的中点O,连接OA,OP,PA.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,BC=AD=2,
∴OB=OC=1,
∴OA= ,
∵BN=2t,AM=t,
∴ =2,
∵∠CBN=∠BAM,
∴△CBN∽△ABM,
∴∠ABM=∠BCN,
∵∠ABM+∠CBM=90°,
∴∠CBM+∠BCN=90°,
∴∠CPB=90°,
∵OB=OC,
∴OP= BC=1,
∵PA≥OA﹣OP,
∴PA≥ ﹣1,
∴PA的最小值为 ﹣1,
∵PE⊥AB,PF⊥AD,
∴∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°,
∴四边形AEPF是矩形,
∴EF=PA,
∴EF地方最小值为 ﹣1.
故答案为:B.
【分析】取BC的中点O,连接OA,OP,PA,可得OA= ,根据BN=2t,AM=t,△CBN∽△ABM,得到∠CPB=90°,在证明四边形AEPF是矩形,即可解答
3. D
【解答】∵ ,而且 和 的方向相反
∴ .
故答案为:D.
【分析】根据平面向量的性质即可解决问题.
4. D
【解答】根据向量的运算法则,即可知A(结合律)、B、C(乘法的分配律)是正确,D中的 是有方向的,而0没有,所以不符合题意.
解:∵A、B、C均属于向量运算的性质,是正确;
∵D、如果 = ,则m=0或 = .∴符合题意.
故答案为:D.
【分析】空间向量的线性运算的理解:(1)空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算;(2)注意向量的书写与代数式的书写的不同,我们书写向量的时候一定带上线头,这也是向量与字母的不同之处;(3)虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算,但它们表示的意义不同.
5. D
【解答】正确选项是D.
理由:∵∠F=∠CDF,∠CED=∠BEF,EC=BE,
∴△CDE≌△BFE,CD∥AF,
∴CD=BF,
∵BF=AB,
∴CD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为:D.
【分析】利用内错角相等两直线平行可得CD∥AF,根据AAS可证△CDE≌△BFE,利用全等三角形的性质可得CD=BF,由BF=AB,可得CD=AB,根据一组对边平行且的四边形是平行四边形即可求出结论.
6. A
【解答】解:如图,过点C作CE⊥y轴于E.
在正方形ABCD中,∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABO+∠CBE=90°.∵∠OAB+∠ABO=90°,∴∠OAB=∠CBE.∵点A的坐标为(﹣4,0),∴OA=4.∵AB=5,∴OB= =3.在△ABO和△BCE中,∵∠OAB=∠CBE,∠AOB=∠BEC,AB=BC,∴△ABO≌△BCE(AAS),∴OA=BE=4,CE=OB=3,∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1,∴点C的坐标为(3,1).∵反比例函数 (k≠0)的图象过点C,∴k=xy=3×1=3,∴反比例函数的表达式为 .故答案为:A.
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,涉及到正方形的性质,全等三角形的判定与性质,反比例函数图象上的点的坐标特征,作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键.
7. A
【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,1),
∴OA=2,OB=1,
∴AB= ,
过C作CE⊥y轴于E,
∵点C的坐标为(1,2),
∴CE=1,OE=2,
∴BE=1,
∴BC= ,
∴AB+BC= + ,
故答案为:A.
【分析】根据勾股定理得到AB= ,过C作CE⊥y轴于E,根据勾股定理得到BC= ,于是得到结论.
8. C
【解答】解:由折叠可知,DF=DC=DA,∠DFE=∠C=90∘,
∴∠DFG=∠A=90∘,
在Rt△ADG与Rt△FDG中
∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL),故①正确;
∵正方形边长为6,
∴BE=EC=EF=3,
设AG=FG=x,则EG=x+3,BG=6−x,
由勾股定理得: ,
即: ,
解得: ;
∴AG=GF=2,BG=4,BG=2AG,故②正确;
BE=EF=3,△BEF是等腰三角形,易知△GED不是等腰三角形,故③错误;
S△GBE= , ,S△BEF ,故④正确。
故正确的有①②④,选C.
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF,∠A=∠GFD=90°,于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG,再由GF+GB=GA+GB=12,EB=EF,△BGE为直角三角形,可通过勾股定理列方程求出AG=4,BG=8,进而求出△BEF的面积,再抓住△BEF是等腰三角形,而△GED显然不是等腰三角形,判断③是错误的.
9. A
【解答】解:连接AC,∵四边形ABCD为正方形,
∴∠CAB=45°,
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°,
∴∠B1AB=45°,
∴点B1在线段AC上,
易证△OB1C为等腰直角三角形,
∴B1C=B1O,
∴AB1+B1O="AC=" = ,
同理可得AD+DO="AC=" ,
∴四边形AB1OD的周长为 .
故答案为:A.
【分析】连接AC,根据正方形的性质及旋转的性质可得∠CAB=45°,∠B1AB=45°,从而可得点B1在线段AC上,易证△OB1C为等腰直角三角形,可得B1C=B1O,利用勾股定理可得AB1+B1O=AC= ,同理可得AD+DO=AC=,从而求出四边形AB′OD的周长.
10. C
【解答】解:∵∠ADE=60°,∴∠ADC=120°,
∵ ,∴∠A=90°,
∵
∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°.
故答案为:C.
【分析】根据外角和垂直得到∠ADC和∠A的度数,再利用四边形的内角和是360°即可解题.
11. C
【解答】解:连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图.
∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∴AD=BD= AB=4.
在Rt△OBD中,OD= =2.
∵将弧 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆,∴ ,∴AC=DC,∴AE=DE=2.
易证四边形ODEF为正方形,∴OF=EF=2.
在Rt△OCF中,CF= =4,∴CE=CF+EF=4+2=6.
而BE=BD+DE=4+2=6,∴BC= .
故答案为:C.
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图,利用垂径定理得到OD⊥AB,则AD=BD= AB=4,于是根据勾股定理可计算出OD=2,再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆,则根据圆周角定理得到 ,所以AC=DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=2,接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=2,然后计算出CF后得到CE=BE=6,由勾股定理可得到BC的长.
12. A
【解答】连接BG、BE,作BP⊥EF于P,如图所示:
由折叠性质可得:BF=FM,
∴∠MBF=∠FMB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=∠ABC=∠NMF=90°,
∴∠CBM+∠BMC=90°,∠BMF+∠NMB=90°,
∴∠BMC=∠NMB,
又∵BP⊥MN,BC⊥DC,
∴BP=BC,且∠BMC=∠NMB,BM=BM
∴△BPM≌△BCM(SAS),
∴MP=MC,∠PBM=∠CBM,
同理可证:NA=NP,∠ABN=∠PBN,
∴△MND的周长=DN+DM+MN=DN+AN+DM+CM=AD+CD=2,
∴△DGE的周长始终为定值.
∵∠ABN+∠PBN+∠PBM+∠CBM=90°
∴∠MBN=45°;
∵DM,DN的值不确定,
∴△MDN的面积不确定,
∴③错误.
故①②正确
故答案为:A.
【分析】连接BM、BN,作BP⊥MN于P.只要证明△BMP≌△BMC,可得MP=MC,∠PBM=∠CBM,同理可证:NA=NP,∠ABN=∠PBN,由此可判断①②正确.
13. D
【解答】在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,
∵E、F分别为边AB,BC的中点,
∴AE=BF= BC,
在△ABF和△DAE中,
,
∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴∠BAF=∠ADE,
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠AMD=180°-(∠ADE+∠DAF)=180°-90°=90°,
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°,故①正确;
∵DE是△ABD的中线,
∴∠ADE≠∠EDB,
∴∠BAF≠∠EDB,故②错误;
∵∠BAD=90°,AM⊥DE,
∴△AED∽△MAD∽△MEA,
∴
∴AM=2EM,MD=2AM,
∴MD=2AM=4EM,故④正确;
设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,
在Rt△ABF中,AF=
∵∠BAF=∠MAE,∠ABC=∠AME=90°,
∴△AME∽△ABF,
∴ ,
即 ,
解得AM=
∴MF=AF-AM= ,
∴AM= MF,故⑤正确;
如图,过点M作MN⊥AB于N,
则
即
解得MN= ,AN= ,
∴NB=AB-AN=2a- = ,
根据勾股定理,BM=
过点M作GH∥AB,过点O作OK⊥GH于K,
则OK=a- = ,MK= -a= ,
在Rt△MKO中,MO=
根据正方形的性质,BO=2a× ,
∵BM2+MO2=
∴BM2+MO2=BO2 ,
∴△BMO是直角三角形,∠BMO=90°,故③正确;
综上所述,正确的结论有①③④⑤共4个.
故答案为:D
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,再根据中点定义求出AE=BF,然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE,然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,从而求出∠AMD=90°,再根据邻补角的定义可得∠AME=90°,从而判断①正确;根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB,然后求出∠BAF≠∠EDB,判断出②错误;根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似,利用相似三角形对应边成比例可得 ,然后求出MD=2AM=4EM,判断出④正确,设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求出AF,再根据相似三角形对应边成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM= MF,判断出⑤正确;过点M作MN⊥AB于N,求出MN、NB,然后利用勾股定理列式求出BM,过点M作GH∥AB,过点O作OK⊥GH于K,然后求出OK、MK,再利用勾股定理列式求出MO,根据正方形的性质求出BO,然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°,从而判断出③正确.
14. C
【解答】解:如图:取点D关于直线AB的对称点D′.以BC中点O为圆心,OB为半径画半圆.
连接OD′交AB于点P,交半圆O于点G,连BG.连CG并延长交AB于点E.
由以上作图可知,BG⊥EC于G.
PD+PG=PD′+PG=D′G
由两点之间线段最短可知,当点D′,G,O三点共线时,PD+PG最小.
∵D′C′=4,OC′=6
∴D′O=
∴D′G=2 −2
∴PD+PG的最小值为2 −2
故答案为:C.
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′,以BC中的O为圆心作半圆O,连D′O分别交AB及半圆O于P、G.将PD+PG转化为D′G找到最小值.
15. B
【解答】设EF=a,BC=b,AB=c,则PQ=a-c,RQ=b-a,PQ=RQ
∴a= ,
∵▱ALMN的面积为50,∴bc+a2+(a-c)2=50,
把a= 代入化简求值得b+c=10, ∴a=5,
∴正方形EFGH的边长为5,
∴正方形EFGH的面积为25,
故答案为:B.
【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质,先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系,再根据▱ALMN的面积,求出各边长的关系,最后得出面积.
16. B
【解答】解:设⊙O与MN相切于点K,设正方形的边长为2a.
∵AD、CD、MN是切线,
∴AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,
在Rt△DMN中,∵MN=x+y,DN=a﹣y,DM=a﹣x,
∴(x+y)2=(a﹣y)2+(a﹣x)2 ,
∴ax+ay+xy=a2 ,
∵S△BMN=S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN=8,
∴4a2﹣ ×2a×(a+x)﹣ (a﹣x)(a﹣y)﹣ ×2a×(a+y)=8,
∴ a2﹣ (ax+ay+xy)=8,
∴a2=8,
∴a=2 ,
∴AB=2a=4 ,
∴⊙O的半径为2 ,
故答案为:B.
【分析】设⊙O与MN相切于点K,设正方形的边长为2a.因为AD、CD、MN是切线,可得AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,在Rt△DMN中,以为MN=x+y,DN=a-y,DM=a-x,看到(x+y)2=(a-y)2+(a-x)2 , 推出ax+ay+xy=a2 , 根据S△BMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△DMN-S△BCN=8,构建方程求出a即可解决问题;
17. D
【解答】 E是AB的中点
AE=BE
沿 折叠
BE=EM,
故①正确;
四边形ABCD为正方形
沿 折叠
四边形AECF为平行四边形
又 E是AB的中点
故②正确;
过点E作
由①知,
由②知,
E是AB的中点
设
则
故③正确;
设
则 , ,
,
,
故④正确.
故答案为:D.
【分析】根据折叠的性质,正方形的性质,等边对等角,同角的余角相等即可判断①;
根据题意先证明四边形AECF为平行四边形,再根据平行四边形的性质即可判断②;
过点E作 ,根据三线合一及折叠的性质即可得出 ,再根据同角的余切值相等得出比值, ,用a表示AM,MF的值,即可得出比值,判断③;设 ,用a表示 及 的值,即可判断④.
18. B
【解答】解:
∵△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,
∴∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,
在Rt△ABF中,∵AB=6,BF=10,
∴ ,
∴DF=AD-AF=10-8=2,
设EF=x,则CE=x,DE=CD-CE=6-x,
在Rt△DEF中,∵DE2+DF2=EF2 ,
∴(6-x)2+22=x2 , 解得 ,
∴ ,
∵△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,
∴∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,
∴ ,所以①符合题意;
HF=BF-BH=10-6=4,
设AG=y,则GH=y,GF=8-y,
在Rt△HGF中,∵GH2+HF2=GF2 ,
∴y2+42=(8-y)2 , 解得y=3,
∴AG=GH=3,GF=5,
∵∠A=∠D,
,
,
∴ ,
∴△ABG与△DEF不相似,所以②不符合题意;
∵ ,
所以③符合题意;
∵AG+DF=3+2=5,而GF=5,
∴AG+DF=GF,所以④符合题意.
故答案为B.
【分析】由折叠性质得∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8,所以DF=AD-AF=2,设EF=x,则CE=x,DE=CD-CE=6-x,在Rt△DEF中利用勾股定理得(6-x)2+22=x2 , 解得 ,即 ;再利用折叠性质得∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,易得∠2+∠3=45°,于是可对①进行判断;设AG=y,则GH=y,GF=8-y,在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=(8-y)2 , 解得y=3,则AG=GH=3,GF=5,由于∠A=∠D和 ,可判断△ABG与△DEF不相似,则可对②进行判断;根据三角形面积公式可对③进行判断;利用AG=3,GF=5,DF=2可对④进行判断.
19. D
【解答】如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH
由旋转的性质得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF
∵∠EAF=45°
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°
∴∠EAH=∠EAF=45°
在△AEF和△AEH中
∴△AEF≌△AEH(SAS)
∴EH=EF
∴∠AEB=∠AEF
∴BE+BH=BE+DF=EF,
故②正确
∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN,
∠AEB=90°﹣∠BAE=90°﹣(∠HAE﹣∠BAH)=90°﹣(45°﹣∠BAH)=45°+∠BAH
∴∠ANM=∠AEB
∴∠ANM=∠AEB=∠ANM;
故③正确,
∵AC⊥BD
∴∠AOM=∠ADF=90°
∵∠MAO=45°﹣∠NAO,∠DAF=45°﹣∠NAO
∴△OAM∽△DAF
故①正确
连接NE,
∵∠MAN=∠MBE=45°,∠AMN=∠BME
∴△AMN∽△BME
∴
∴
∵∠AMB=∠EMN
∴△AMB∽△NME
∴∠AEN=∠ABD=45°
∵∠EAN=45°
∴∠NAE=NEA=45°
∴△AEN是等腰直角三角形
∴AE=
∵△AMN∽△BME,△AFE∽△BME
∴△AMN∽△AFE
∴
∴
∴
∴S△AFE=2S△AMN
故④正确
故答案为:D.
【分析】如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,由旋转的性质得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF,由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°,根据全等三角形的性质得到EH=EF,所以∠ANM=∠AEB,则可求得②正确;根据三角形的外角的性质得到①正确;根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF,故③正确;根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°,推出△AEN是等腰直角三角形,根据勾股定理得到AE= AN,再根据相似三角形的性质得到EF= MN,于是得到S△AEF=2S△AMN.故④正确.
20. D
【解答】解:如图,连接FA、EB,
∵AC+CE=BC+CF,
∴AE=BF,∠FBE=∠AEB,BE=BE,
∴△ABE≌△FBE,
∵四边形FABE的面积=S△BAF+S△BEF ,
∴四边形FABE的面积=BF×AC+BF×CF=(a+b)(a+b)=(a+b)2,
∵O为AB的中点,
∴S△FOA=S△BAF , S△FOB=S△BAE=S△BFE ,
∴S△FOA+S△FOB=S△BAF+S△BFE=S四边形FABE ,
∴S △OEF=S四边形FABE=(a+b)2.
故答案为:D.
【分析】本题运用间接求法求 △OEF的面积 ,连接FA、EB,先通过三角形的面积之和求出四边形FABE的面积,通过O为AB的中点,利用等底同高三角形面积相等,再求出△FOA和△FOB的面积,则△OEF的面积可求.
二、填空题
21. 29.
【解答】解:∵点B的坐标是(8,6),点D是对角线OB的中点,
∴D(4,3)
在Rt△OBC中,OB= =10,
∵反比例函数 (k≠0)在第一象限的图象经过其对角线OB的中点D,
∴k=12,
∴反比例函数的解析式为
又∵点E在反比例函数的图象上,
∵点E的横坐标为8,
∴当x=8时,y= ,
∴E(8, ),
∴CE= ,
∴BE=6- =4.5,
∵BC∥OG,EG∥OB,
∴四边形OBEG是平行四边形,
∴OG=BE=4.5, EG=OB=10 ,
∴四边形OBEG的周长是2(10+4.5)=29,
故答案为:29.
【分析】根据已知条件得到D(4,3),OB= =10,求得k=12,得到反比例函数的解析式为 ,求得E(8, ),得到CE= ,推出四边形OBEG是平行四边形,于是得到结论.
22. ,
【解答】解:过 作 轴于 ,
四边形 是菱形,
, ,
, ,
,
在 △ 中, ,
, ,
,
,
, ,
菱形 的边长 ,
设 的中点为 ,连接 , ,
于是求得, ,
过点 , , 的圆的圆心坐标为 , ,
菱形 的边长为 ,
,
设 的中点为 ,
连接 , ,
同理可得, ,
过点 , , 的圆的圆心坐标为 , , 以此类推,菱形菱形 的边长为 ,
,
设 的中点为 ,连接 , ,
求得, ,
点 是过点 , , 的圆的圆心,
,
点 在射线 上,
则点 的坐标为 , ,
即过点 , , 的圆的圆心坐标为 , ,
故答案为: , .
【分析】过 作 轴于 ,由菱形的性质得到 , ,根据勾股定理得到 ,求得 ,解直角三角形得到 , ,求得 得到菱形 的边长 ,设 的中点为 ,连接 , ,推出过点 , , 的圆的圆心坐标为 , ,以此类推,于是得到结论.
23. 4
【解答】解:如图,设AC与BD的交点为O,连接PO,
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO=5=BO=DO,
∴S△DCO= S矩形ABCD=10,
∵S△DCO=S△DPO+S△PCO ,
∴10= ×DO×PF+ ×OC×PE
∴20=5PF+5PE
∴PE+PF=4
故答案为:4
【分析】由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO,由S△DCO=S△DPO+S△PCO , 可得PE+PF的值.
24.
【解答】
点E在反比例函数 的图象上,
设 ,
, ,
四边形OABE是平行四边形,
,
点D在反比例函数 的图象上,点D是AB的中点,
,
设 ,则 ,
,
,
, ,
过E作 轴于F,过D作 轴于G,
则 ,
,
故答案为: .
【分析】设 ,根据已知条件得到四边形OABE是平行四边形,根据平行四边形的性质得到 ,由于点D在反比例函数 的图象上,点D是AB的中点,得到 ,设 ,则 ,根据中点坐标公式得到 ,求得 , ,过E作 轴于F,过D作 轴于G,根据图形的面积公式即可得到结论.
25.
【解答】解:如图:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=13cm,
∵BC边上的高AH=5cm,
∴BH= =12cm,
∴CH=13-12=1(cm),
∴AC= = cm,
故答案为 .
【分析】首先根据菱形的性质可得AB=BC=13cm,再利用勾股定理计算出BH的长,进而得到HC的长,然后再进一步利用勾股定理计算出AC的长.
26.
【解答】(1)如图,当P在B的右侧时,由旋转和矩形性质得:
AP=AD=5,AB=CD=3,
在直角三角形ABP中,BP= ,
所以,PC=BC-BP=5-4=1,
在直角三角形PDC中,PD= ,
( 2 )如图,当点P在B的左侧时,由旋转和矩形性质得:
AP=AD=5,AB=CD=3,
在直角三角形APB中,PB= ,
所以,PC=BC+PB=5+4=9,
在在直角三角形PDC中,PD= ,
所以,PD的长度为
故答案为:
【分析】画图,分两种情况:点P在B的右侧或左侧.根据旋转和矩形性质,运用勾股定理,分别求出BP和PC,便可求出PD.
27. 3 -3
【解答】解:如图,取AD的中点O,连接OF、OC,
在正方形ABCD中,AD=BC=CD,∠ADC=∠BCD,∠DCE=∠BCE,
在Rt△ADM和Rt△BCN中,
,
∴Rt△ADM≅Rt△BCN(HL),
∴∠DAM=∠CBN,
在△DCE和△BCE中,
,
∴△DCE≅△BCE(SAS),
∴∠CDE=∠CBE
∴∠DAM=∠CDE,
∵∠ADF+∠CDE=∠ADC=90∘ ,
∴∠DAM+∠ADF=90∘ ,
∴∠AFD=180∘−90∘=90∘ ,
取AD的中点O,连接OF、OC,
则OF=DO=AD=3,
在Rt△ODC中,OC==3,
根据三角形的三边关系,OF+CF>OC,
∴CF>OC-OF,
∴当O、F、C三点共线时,CF的长度最小,
最小值=OC−OF=3−3.
【分析】先利用斜边直角边定理证出Rt△ADM≅Rt△BCN,得出∠DAM=∠CBN,于是利用边角边定理可证△DCE≅△BCE(SAS),得出∠CDE=∠CBE,即可判断出∠AFD=90∘ , 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=AD=3,利用勾股定理列式求出OC,最后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时,CF的长度最小.
28.
【解答】解:如图:连接BC、AB
依题意可知:在△BCE和△BAF中
∴△BCE≌△BAF(SAS)
∴∠CBE=∠ABF
∴∠EBF=∠CBA=90°,
∵AP∥BF,
∴∠APB=90°,
∴P在以AB为直径的圆上,取AB的中点M,当O、P、M在同意直线上时OP最小,
∴OM= ,
∴OP= ,
∵PM=BM,
∴∠BPM=∠MBM,
∵AB∥CE,
∴∠CEB=∠PBM,
又∵∠OPE=∠BPM,
∴∠CEB=∠OPE,
∴OE=OP,
∴CE=2+( )= ,
∴t=( )÷1= ,
故填: .
【分析】由点的坐标可知四边形OABC是正方形,而EF的速度和时间相同,故易证明△BCE≌△BAF,从而可得∠EBF=90°,由平行可知∠BPA=90°,得到点P在以AB为直径的圆上,取AB的中点M,故当O、P、M在同意直线上时OP最小,再由勾股定理可计算出OM的长,进而得出PO的最小值= ,由△BPM是等腰三角形,AB∥CE可得△EOP是等腰三角形,可知OP=OE,所以CE=2+( ),从而求出运动时间.
29. 5
【解答】解:如图所示:
过点E作EM⊥BC,EN⊥AB,分别交BC、AB于M、N两点,
且EF与BC相交于点H.
∵EF⊥CE,∠ABC=90°,∠ABC+∠HBF=180°,
∴∠CEH=∠FBH=90°,
又∵∠EHC=∠BHF,
∴△ECH∽△BFH(AA),
∴∠ECH=∠BFH,
∵EM⊥BC,EN⊥AB,四边形ABCD是正方形,
∴四边形ENBM是正方形,
∴EM=EN,∠EMC=∠ENF=90°,
在△EMC和△ENF中
,
∴△EMC≌△ENF(AAS)
∴CM=FN,
∵EM∥DC,∴△BEM∽△BDC,
∴ .
又∵DE=4BE,
∴ ,
同理可得: ,
设BN=a,则AB=5a,CM=AN=NF=4a,
∵AF=8,AF=AN+FN,
∴8a=8
解得:a=1,
∴AB=5
故答案为:5
【分析】由∠EHC=∠BHF,∠CEH=∠FBH=90°可判定△ECH∽△BFH,从而得到∠ECH=∠BFH;作辅助线可证明四边形ENBM是正方形,根据正方形的性质得EM=EN,由角角边可证明△EMC≌△ENF,得CM=FN;因DE=4BE,△BEM∽△BDC,△BEN∽△BDA和线段的和差可求出正方形ABCD的边长.
30. (1)证明:连结 EG,
在正方形 ABCD 中,得∠C=90°
∴EG 为⊙O 的直径
∴∠EFG=90°
(2)解:如图,过F点作FN⊥AD,交BC于点M,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ADF=45°,MN=AD,
∴ND=NF,
∴AN=FM,
∵∠MFG=∠AFN,∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN,
∴∠MFE=∠FAN,
∴△AFN≌△FEM(AAS),
∴FN=AM,EM=FN,
设AN=x, 则ND=EM=BM-BE=x-1,
∵AN+ND=4,
∴x+x-1=5,
∴x=,
∴FN=EM=BM-BE=-1=,
∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.
(3)①1)如图,当EF=FG时,过F作FH⊥BC,FI⊥CD,
∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG,
∴∠EFH=∠IFG,
∴△EHF≌△GIF(AAS),
∴FH=FI,
又∵FH=BH,
∴BH=FI=HC=2,
∴BF=BH=2.
2)当CG=EF时,
∵EF=CG,
∴FG∥EC,
∵∠C=90°,
∴∠EFG=90°,∠FEC=90°,
∴四边形FECG为矩形,
又∵EF=BE,
∴BF=BE=.
3)当FG=CG,如图,过F点作FN⊥BC,
∵FG=CG,
∴∠FEG=CEG,
∵∠C=∠EFG=90°,
∴∠FGE=∠CGE,
∴EF=EC=BC-BE=4-1=3,
设EN=x,
则FN=BN=x+1,
∵EF2=FN2+EN2 ,
∴32=(x+1)2+x2,
解得x=,
则BN=,
BF=EN=.
②如图,作FH⊥EC,FK⊥CD,
△FKG∽△FHE,
∴,
设FH=k, 则FK=2k,
∴BH=FH=k,
∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,
∴k=,
∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=,
∴∴EG=,
∴r=.
【分析】(1) 连结 EG,由90°的圆周角所对的弦为直径,可知EG为圆O的直径,于是根据直径所对的圆周角是直角可得 ∠EFG=90° .
(2)如图,过F点作FN⊥AD,交BC于点M,利用正方形的性质,结合等角的余角相等,用角角边定理证明△AFN≌△FEN,∴FN=AM,EM=FN,设AN=x, 把ND用含x的代数式表示,根据AN+ND=4,求出x, 则FN可求,于是可求△ADF的面积.
(3) ① 分三种情况讨论,1)当EF=FG时,过F作FH⊥BC,FI⊥CD,利用角角边定理证明△EHF≌△GIF,则对应边FH=FI,BH=FI=HC=2, 于是BF的长度可求;当CG=EF时,易证四边形FECG为矩形,则BF=2BE;当FG=CG,过F点作FN⊥BC,根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC,从而求出EF的长,于是利用勾股定理求出FN的长,则BF的长可求.
② 设FH=k, 根据相似的性质,把相关线段用含x的代数式表示,得出BC=k+2k=4, 求出k值,则CG的长度可求,从而利用勾股定理求出直径,则半径可知.
三、解答题
31. 证明:∵DE∥AC , CE∥BD ,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵菱形ABCD的对角线交于O点,
∴AC⊥BD , 即∠COD=90°.
∴四边形OCED是矩形
【解答】证明:∵DE∥AC, CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵菱形ABCD的对角线交于O点,
∴AC⊥BD , 即∠COD=90°.
∴四边形OCED是矩形
【分析】根据已知首先证明四边形OCED是平行四边形,再根据菱形的性质即可得到AC⊥BD , 进而不难证明结论 .
32. 解:①证明:过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点,如图所示:
∵正方形ABCD ∴∠BCD=90°,∠ECN=45°∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
且NE=NC,∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形,∴EM=EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF,又∠DNE=∠FME=90°,
在△DEN和△FEM中, ,
∴△DEN≌△FEM(ASA),∴ED=EF,∴矩形DEFG为正方形,
②解:CE+CG的值为定值,理由如下:
∵矩形DEFG为正方形,∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°
∵四边形ABCD是正方形,∵AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG,
在△ADE和△CDG中, ,
∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG
∴AC=AE+CE= AB= ×2 =4, ∴CE+CG=4 是定值.
【分析】①证明:过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点,利用正方形的性质,可证明∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,由NE=NC,可证得四边形EMCN为正方形,可得到EM=EN,再利用ASA证明△DEN≌△FEM,利用全等三角形的对应边相等,易证ED=EF,然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形,可证得结论。
②根据正方形的性质去证明DE=DG,AD=DC,∠ADE=∠CDG,再利用SAS证明△ADE≌△CDG,利用全等三角形的对应边相等,可知AE=CG,利用解直角三角形,就可证得CE+CG=4,因此可知CE+CG的值是一个定值。
33. 解:如图,
就是所求的 的平分线.
的顶点 , ,
, ,
在 中, .
由题意可知 平分 ,
,
又 ,
,
,
.
的顶点 ,
,
.
【分析】根据角平分线的作图步骤画出图形即可, 先根据勾股定理求得AO的长度,再利用角平分线得 ,再根据AC=OB=7即可得出线段 的长.
34. 证明:四边形ABCD是菱形
∴AB=BC,AD∥BC
∴∠A=∠CBF……2分
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BGF(SAS)
∴BE=CF
【分析】由菱形的邻边相等可得AB=BC, 其对边平行,结合两直线平行同位角相等可得∠A=∠CBF,于是利用边角边定理即可证明 △ABE≌△BGF,则对应边BE和CF相等.
35. 解:连接EC.
∵四边形ABCD是正方形,EF⊥BC,EG⊥CD,
∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°,
∴四边形EFCG为矩形.
∴FG=CE.
又BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ABE=∠CBE.
在△ABE和△CBE中,
,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=EC.
∴AE=FG.
【分析】根据题意我们不难得出四边形GEFC是个矩形,因此它的对角线相等.如果连接EC,那么EC=FG,要证明AE=FG,只要证明EC=AE即可.证明AE=EC就要通过全等三角形来实现.三角形ABE和BEC中,有∠ABD=∠CBD,有AB=BC,有一组公共边BE,因此构成了全等三角形判定中的SAS,因此两三角形全等,得AE=EC,即AE=GF.
36. ①证明:∵CN∥AB,
∴∠DAC=∠NCA,
在△AMD和△CMN中,
∴△AMD≌△CMN(ASA),
∴AD=CN,
又∵AD∥CN,
∴四边形ADCN是平行四边形,
∴CD=AN;
②25°
【解答】②若∠AMD=50°,当∠MCD= 25° 时,四边形ADCN是矩形.
理由是:
∵∠MCD= 25°,∠AMD=50°
∴∠AMD=2∠MCD,∠AMD=∠MCD+∠MDC,
∴∠MCD=∠MDC,
∴MD=MC,
由①知四边形ADCN是平行四边形,
∴MD=MN=MA=MC,
∴AC=DN,
∴四边形ADCN是矩形.
【分析】①根据两直线平行,内错角相等求出∠DAC=∠NCA,然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=CN,然后判定四边形ADCN是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证;②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC,再根据等角对等边可得MD=MC,然后证明AC=DN,再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.
37. 证明:如图所示,连接OD,
∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∵BD平分∠OBC
∴∠OBD=∠DBE
∴∠ODB=∠DBE
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半径
∴直线DE是⊙O的切线
【分析】连接OD,证得∠ODB=∠DBE,即可得到OD∥AC,由DE⊥AC得到OD⊥DE,即可得到直线DE是⊙O的切线.
38. 解:连接BE、DF,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,
又∵AE=CF,∴DE∥BF,DE=BF, ∴四边形BEDF是平行四边形,∴OE=OF.
【分析】连接BE和DF,根据平行四边形的性质得出四边形BEDF为平行四边形,从而得出答案.
39. 证明:∵DP∥AC,CP∥BD
∴四边形CODP是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BD=AC,OD= BD,OC= AC,
∴OD=OC,
∴四边形CODP是菱形.
【分析】根据DP∥AC,CP∥BD,即可证出四边形CODP是平行四边形,由矩形的性质得出OC=OD,即可得出结论.
40. 解:如图所示:
当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 .
∵点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1 ,
∴P1的坐标为(2,3),
∵将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 .
∴P2的坐标为(7,2),
设P1P2的解析式为:y=kx+b,把P1(2,3),P2(7,2)代入得,2k+b=3①,7k+b=2②,
解由①②组成的方程组得,k=﹣ ,b= .
所以直线P1P2的解析式为y=﹣ x + ;
当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 . 如图,
∴P2的坐标为(1,﹣2),
设P1P2的解析式为:y=kx+b,把P1(2,3),P2(1,﹣2)代入得,2k+b=3①,k+b=﹣2②,
解由①②组成的方程组得,k=5,b=﹣7.
所以直线P1P2的解析式为y=5x﹣7;
故答案为矩形P2M2O2N2见解析;当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 , 直线P1P2的解析式为:y=﹣ x + ;当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 , 直线P1P2的解析式为:y=5x﹣7.
【分析】由点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1 , 得到P1的坐标为(2,3).将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 , 得P2的坐标为(7,2);当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 , 得P2的坐标为(1,﹣2),然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式.
四、综合题
41. (1)证明:在矩形 中, , , ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ≌
∴ ;
(2)解:由(1)可知: , ,
在 中, ,
∴ ,
∴ ,
在 中, ,
∴ .
【分析】(1)根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE,∠DAF=∠EAB.再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA;然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF;(2)根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理,可以求得DF,EF的长;再根据勾股定理求得DE的长,运用三角函数定义求解.
42. (1)证明:如图:连接 , , 交 于点
四边形 是矩形,
, ,
, ,
点 与点 关于 所在的直线对称
,
, ,
,且
四边形 是平行四边形,且
四边形 是菱形;
(2)解:如图,作点 关于 的对称点 ,连接 ,交 于点 ,此时 的周长最小,
四边形 是菱形
,
,
,
点 ,点 关于 对称
(3)解:如图,延长 ,延长 交于点 ,过点 作 于 ,交 于点 ,过点 作 于点 ,
由(2)可知, ,
,
四边形 是矩形
,
,
,
,
,
,
,
【分析】(1)由“ ”可证 ,可得 ,可得四边形 是平行四边形,且 ,可证四边形 是菱形;(2)作点 关于 的对称点 ,连接 ,交 于点 ,此时 的周长最小,由勾股定理可求 的长,由平行线分线段成比例可求解;(3)延长 ,延长 交于点 ,过点 作 于 ,交 于点 ,过点 作 于点 ,可证四边形 是矩形,可得 , ,由相似三角形的性质依次求出 , , , , 的长,通过证明 ,由相似三角形的性质可求 的长.
43. (1)证明: 四边形 是矩形,
,
,
在 和 中,
,
,
;
(2)解: ,
,
设 ,
,
,
,
,
,
,
,
.
【分析】(1)矩形的性质得到 ,得到 ,根据 定理证明 ;(2)根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.
44. (1)证明:在 Rt△ABC 中,AB=1,BC= ,
∴AC=2.
∵AM= AC,
∴AM= ,
∴ = = .
又∵∠BAM=∠CAB,
∴△ABC∽△AMB.
(2)解:∵△ABC∽△AMB,
∴∠BMA=∠CBA=90°=∠BAN,
∴BM= = .
又∵∠ABM=∠NBA,
∴△ABM∽△NBA,
∴ = ,即 = , 解得:MN= .
【分析】(1)在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC的长度,进而可得出AM的长度,由AB、AM、AC的长度可得出 = ,结合∠BAM=∠CAB即可证出△ABC∽△AMB;(2)由△ABC∽△AMB可得出∠BMA=90°=∠BAN,利用勾股定理可求出BM的长度,结合∠ABM=∠NBA可证出△ABM∽△NBA,根据相似三角形的性质即可求出MN的长度.
45. (1)证明:如图:
AC的垂直平分线EF交AC于点D
CD=AD,∠ADF=90 ,EC=AE,CF=AF,
又∠ACB=90°, EF∥BC,
△ADF∽△ACB,
AF:AB=AD:AC, CD=AD,D为AC的中点,
AF:AB=AD:AC=1:2,
F为AB中点,
BF=AF,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, CF=AF,
又 CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF
CE= CF= AF= AE
四边形BECF是菱形.
(2)解:当∠BAC=45 时, 四边形AECF是正方形.
证明: ∠BAC=45 ,四边形AECF是菱形,
∠EAC=∠BAC=45 ,
∠EAF =∠EAC+∠BAC =90 ,
菱形AECF是正方形.
【分析】(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断;(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45 时,∠EAF=90 ,则菱形AECF为正方形.
46. (1)y=n,x=m,y=-x+m+n,y=x-m+n
(2)解:∵点D有一条特征线是
∴
∴
∵抛物线的解析式为
∴
∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,
∴
∴
∴
将 代入 中
解得
∴抛物线的解析式为
(3)解:①如图,当点 在平行于y轴的D点的特征线时
根据题意可得
∴
∴
∴
∴
∴抛物线需要向下平移的距离
②如图,当点 在平行于x轴的D点的特征线时,设
则
∴
设
在 中,
解得
∴
∴直线OP解析式为
∴
∴抛物线需要向下平移的距离
即抛物线向下平移 或 距离,其顶点落在OP上.
【解答】(1)∵点D
∴D 的特征线是
【分析】(1)根据特征线的定义以及性质直接求出点D的特征线;(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;(3)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.
47. (1);证明:如图1,连接AC,BD, ∵AB=BC,AC⊥BD, ∴∠ABD=∠CBD, 又∵BD=BD, ∴△ABD≌△CBD, ∴AD=CD.
(2)5或6.5
【解答】解:(1)①∵AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又AB=BC,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴BD=AC= =
故答案为: .
( 2 )
因为四边形ABFE是等腰直角四边形,
所以可以是AB=AE或AB=BF.
当AB=AE时,AE=AB=5,
当AB=BF时,BF=5
∵DE∥BF,
∴△DPE∽△BPF,
∴ ,
∴DE=2.5
∴AE=9-2.5=6.5
综上,AE结果为5或6.5.
【分析】(1)①根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形ABCD是平行四边形;根据邻边相等的平行四边形是菱形可证得四边形ABCD是菱形;根据有一个角是直角的菱形是正方形可证得四边形ABCD是正方形,从而求出对角边即可.②根据全等三角形的判定定理可得出三角形全等,然后得出对应边相等即可.(2)紧抓等腰直角四边形的概念,分类讨论,先根据图形定义可直接得出AE的长度,再结合相似三角形的性质和判定定理可求出AE的长度.
48. (1)解:设y=kx+b,
由图象得:当x=1时,y=2,当x=0时,y=4,
代入得: ,
∴ ,
∴y=-2x+4(0<x<2);
(2)证明:∵BE=x,BC=2
∴CE=2-x,AF=-2x+4,
∴ , ,
∴ ,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=∠DAF=90°,
∴△CDE∽△ADF;
(3)解:根据题意,假设存在x的值,使得 是等腰三角形,可分三种情况:
①若DE=DG,则∠DGE=∠DEG,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°,
∴∠DGE=∠GEB,
∴∠DEG=∠BEG,
在△DEF和△BEF中,
,
∴△DEF≌△BEF(AAS),
∴DE=BE=x,CE=2-x,
∴在Rt△CDE中,由勾股定理得:1+(2-x)2=x2 ,
∴ ;
②若DE=EG,如图,作EH∥CD,交AD于H,
∵AD∥BC,EH∥CD,
∴四边形CDHE是平行四边形,
∴∠C=90°,
∴四边形CDHE是矩形,
∴EH=CD=1,DH=CE=2-x,EH⊥DG,
∴HG=DH=2-x,
∴AG=2x-2,
∵EH∥CD,DC∥AB,
∴EH∥AF,
∴△EHG∽△FAG,
∴ ,
∴ ,
解得: , (舍去);
③若DG=EG,则∠GDE=∠GED,
∵∠EDF=90°,
∴∠FDG+∠GDE=∠DFG+∠DEG=90°,
∴∠FDG=∠DFG,
∴FG=DG,
∴FG=EG,
∵AD∥BC,
∴∠FGA=∠FEB,∠FAG=∠B,
∴△FAG∽△FBE,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
综合上述,x的值为 、 或 .
【分析】(1)利用待定系数法可得y与x的函数表达式;(2)先证明 ,又∠C=∠DAF=90°,利用两组对应边成比例,及夹角相等,即可证明△CDE∽△ADF;(3)根据题意,使得 是等腰三角形,可分三种情况:①若DE=DG,则∠DGE=∠DEG;②若DE=EG,如图,作EH∥CD,交AD于H;③若DG=EG,则∠GDE=∠GED;分别列方程计算可得结论.
49. (1)解:t=0时,点P与点B重合,
∵∠PAE=60°,∠APE=60°,
∴∠E=30°,
∴AE=2PA=2AB=4 .
(2)0.6;t=1s或4s时,∠PAF=30°
(3)解:如图3中,作BM⊥AB交AC的延长线于M,作EH⊥AM于H,连接EM.
在Rt△ABM中,∵∠ABM=90°,∠BAM=60°,
∴∠AMB=30°,
∴AM=2AB,
在Rt△APE中,∵∠APE=90°,∠PAE=60°,
∴∠AEP=30°,
∴AE=2PA,
∴ = =2,
∵∠EAP=∠MAB,
∴∠EAM=∠PAB,
∴△EAM∽△PAB,
∴ = =2,∠AME=∠ABP=30°,
∴EM=2t,EH= EM=t,
∴S△ACE= •AC•EH= t(0<t≤6).
【解答】(2)①如图2中,
∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=120°,
∴∠DAC=∠CAB=60°,AD=CD=AB=BC=2 ,
∴△ADC,△ABC都是等边三角形,
∴AC=AB=2 ,OA=OC= ,
∵∠APF=90°,
∴sin∠PAF= = ,
∴∠PAF=30°,
∴∠OAQ=60°﹣11°﹣30°=19°,
∴OQ=OA•tan19°≈0.6.
故答案为0.6.
②如图2﹣2中,当∠PAF=30°时,延长FP到H,使得PH=PF,连接AH,BH.
∵PA⊥FH,FP=FH,
∴AF=AH,
∵∠PAF=30°,
∴∠AFH=60°,
∴△AFH是等边三角形,
∴∠PAH=∠PAF=30°,
∴PA= PH,
∵∠AHF=∠ABC=60°,
∴A,H,B,F四点共圆,
∴∠ABH=∠AFH=60°,
∴∠ABH=∠BAC=60°,
∴BH∥AC,
∵BD⊥AC,
∴BD⊥BH,
由△HBP∽△POA,可知: = ,
∴OA= t,
∴ = t,
∴t=1.
如图2﹣1中,当∠PAF=30°,易知∠BAP=90°,
∴PB= = =4,
综上所述,t=1s或4s时,∠PAF=30°.
故答案为1s或4s.
【分析】(1)利用直角三角形30度角的性质解决问题即可.(2)①根据OQ=OA•tan19°,求出OA即可解决问题.②分两种情形:如图2-2中,当∠PAF=30°时,延长FP到H,使得PH=PF,连接AH,BH.如图2-1中,当∠PAF=30°,分别求解即可.(3)如图3中,作BM⊥AB交AC的延长线于M,作EH⊥AM于H,连接EM.证明△EAM∽△PAB,推出 =2,求出EM即可解决问题.
50. (1)解:∵ = ,令y=0,得到 , ,
∴A(-1,0),B(3,0),
∵直线l经过点A,
∴ , ,
∴ ,
令 ,即 ,
∵CD=4AC,
∴点D的横坐标为4,
∴ ,
∴ ,
∴直线l的函数表达式为
(2)解:过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E( , ),则F( , ),
EF= = ,
S△ACE=S△AFE-S△CFE=
= = ,
∴△ACE的面积的最大值为 ,
∵△ACE的面积的最大值为 ,
∴ , 解得
(3)解:令 ,即 ,解得 , ,
∴D(4,5a),
∵ ,
∴抛物线的对称轴为 ,设P(1,m),
①若AD是矩形的一条边,则Q(-4,21a),m=21a+5a=26a,则P(1,26a),
∵四边形ADPQ为矩形,
∴∠ADP=90°,
∴ ,
∴ ,即 ,
∵ ,
∴ ,
∴P1(1, );
②若AD是矩形的一条对角线,则线段AD的中点坐标为( , ),Q(2, ),m= ,则P(1,8a),
∵四边形APDQ为矩形,∴∠APD=90°,
∴ ,
∴ ,即 ,
∵ ,∴ ,∴P2(1,-4).
综上所述,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,点P的坐标为(1, )或(1,-4).
【分析】(1)在 中,令y=0,得到 , ,得到A(-1,0),B(3,0),由直线l经过点A,得到 ,故 ,令 ,即 ,由于CD=4AC,故点D的横坐标为4,即有 ,得到 ,从而得出直线l的函数表达式;(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E( , ),则F( , ),EF= = ,S△ACE=S△AFE-S△CFE= = ,故△ACE的面积的最大值为 ,而△ACE的面积的最大值为 ,所以 , 解得 ;(3)令 ,即 ,解得 , ,得到D(4,5a),因为抛物线的对称轴为 ,设P(1,m),然后分两种情况讨论:①若AD是矩形的一条边,②若AD是矩形的一条对角线.