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    备战2021年中考数学专题练——专题十 四边形试卷

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    备战2021年中考数学专题练——专题十 四边形试卷

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    专题十 四边形
    一、单选题
    1.(2020·南通模拟)如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,则△ODE与△AOB的面积比为(  )

    A. 1:2                                    B. 1:3                                    C. 1:4                                    D. 1:5
    2.(2019·合肥模拟)矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点M、N分别从顶点A、B同时出发,且分别沿着AD、BA运动,点N的速度是点M的2倍,点N到达顶点A时,则两点同时停止运动,连接BM、CN交于点P,过点P分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F,则线段EF的最小值为(    )

    A.                                    B. ﹣1                                   C.                                    D. 
    3.(2019·嘉定模拟)已知 ,而且 和 的方向相反,那么下列结论中正确是(    )
    A.                            B.                            C.                            D. .
    4.(2019·宝山模拟)设 为实数,那么下列结论中错误的是(    )
    A.                                           B. 
    C.                                     D. 若 ,那么
    5.(2019·汇川模拟)如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是(   )

    A. AD=BC                             B. CD=BF                             C. ∠A=∠C                             D. ∠F=∠CDE
    6.(2019·五华模拟)如图,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为(﹣4,0),点B在y轴上,若反比例函数y= (k≠0)的图象过点C,则该反比例函数的表达式为(   )

    A. y=                                 B. y=                                 C. y=                                 D. y=
    7.(2019·武汉模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,点A、B、C的坐标分别为(2,0)、(0,1)、(1,2),则AB+BC的值为(    )

    A.                                         B. 3                                        C. 4                                        D. 5
    8.如图,已知正方形ABCD的边长为6,BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG,现在有如下4个结论:① ;② ;③ ;④ 在以上4个结论中,正确的有( )

    A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
    9.(2019·乌鲁木齐模拟)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是(   )

    A. 2                                       B. 3                                      C.                                       D. 1+
    10.如图所示,在四边形 中, , ,它的一个外角 ,则 的大小是(   )

    A. 70°                                       B. 60°                                       C. 40°                                       D. 30°
    11.如图,在⊙O中,点C在优弧AB上,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为 ,AB=8,则BC的长是(    )

    A.                                    B.                                    C.                                    D. 
    12.(2019·丹阳模拟)如图,将边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B的对应点M落在边CD上(不与点C、D重合),折痕为EF,AB的对应线段MG交AD于点N.以下结论正确的有(   )①∠MBN=45°;②△MDN的周长是定值;③△MDN的面积是定值.

    A. ①②                                    B. ①③                                    C. ②③                                    D. ①②③
    13.(2019·孝感模拟)如图,已知E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③∠BMO=90°;④MD=2AM=4EM;⑤ .其中正确结论的是(     )

    A. ①③④                               B. ②④⑤                               C. ①③⑤                               D. ①③④⑤
    14.(2019九下·义乌期中)如图,已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点,连接CE,过点B作BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值是(    )

    A.                           B.                           C.                           D. 
    15.(2019·汇川模拟)如图1,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开,拼成如图2所示的▱ALMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且▱ALMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为(   )

    A. 24                                         B. 25                                         C. 26                                         D. 27
    16.(2019·武汉模拟)如图,⊙O内切于正方形ABCD,边AD,CD分别与⊙O切于点E,F,点M、N分别在线段DE,DF上,且MN与⊙O相切,若△MBN的面积为8,则⊙O的半径为(   )

    A.                                      B. 2                                      C.                                      D. 2
    17.(2020九上·覃塘期末)如图,在正方形 中, 是 边的中点,将 沿 折叠,使点 落在点 处, 的延长线与 边交于点 .下列四个结论:① ;② ;③ ;④ S正方形ABCD , 其中正确结论的个数为(  )

    A. 个                                     B. 个                                     C. 个                                     D. 个
    18.(2018九下·龙岩期中)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG= S△FGH;④AG+DF=FG . 则下列结论正确有(   )

    A. ①②④                                B. ①③④                                C. ②③④                                D. ①②③
    19.(2019·朝阳模拟)如图,点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点,AC、BD交于点O,且∠EAF=45°,AE,AF分别交对角线BD于点M,N,则有以下结论:①△AOM∽△ADF;②EF=BE+DF;③∠AEB=∠AEF=∠ANM;④S△AEF=2S△AMN , 以上结论中,正确的个数有( )个.

    A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
    20.(2019九上·温州月考)我们知道,勾股定理反映了直角三角形三条边的关系:a2+b2=c2 , 而a2 , b2 , c2又可以看成是以a,b,c为边长的正方形的面积。如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,O为AB的中点,分别以AC,BC为边向△ABC外作正方形ACFG,BCED,连结OF,EF,OE,则△OEF的面积为(    )

    A.                          B.                          C.                          D. 
    二、填空题
    21.(2019·渝中模拟)如图,长方形ABCO的边OC在x轴的正半轴上,边OA在y轴的正半轴上,反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象经过其对角线OB的中点D,交边BC于点E,过点E作EG∥OB交x轴于点F,交y轴于点G、若点B的坐标是(8,6),则四边形OBEG的周长是________.

    22.(2020·北京模拟)如图,在平面直角坐标系中, ,以 为一边,在第一象限作菱形 ,并使 ,再以对角线 为一边,在如图所示的一侧作相同形状的菱形 ,再依次作菱形 , , ,则过点 , , 的圆的圆心坐标为________.

    23.(2019九上·高州期末)如图,矩形ABCD面积为40,点P在边CD上,PE⊥AC,PF⊥BD,足分别为E,F.若AC=10,则PE+PF=________.

    24.(2018九上·成都期中)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OA,OC分别在x轴和y轴上,反比例函数 的图象经过AB的中点D,和BC相交于点E,连接OE,OD,DE,若 ,则 ________.

    25.如图,在菱形 中, , 边上的高 ,那么对角线 的长为________ .

    26.(2020九上·信阳期末)如图,矩形ABCD中, , ,把矩形ABCD绕点A顺时针旋转,当点D落在射线CB上的点P处时,那么线段DP的长度等于________.

    27.如图,M,N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连结AC交BN于点E,连结DE交AM于点F,连结CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是________.

    28.(2019九下·无锡期中)在平面直角坐标系中,已知 ,动点 从点 出发,以每秒1个单位的速度向下运动,动点 从点 出发,以每秒1个单位的速度向右运动,过点 作 的平行线交 于点 ,当 的值最小时,此时 ________秒.
    29.(2019·海州模拟)如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,DE=4BE,连接CE,过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F,若AF=8,则正方形ABCD的边长为________.

    30.(2019九上·温州月考)如图1,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在BC,BD上,且BE=1,过三点C,E,F作⊙O交CD于点G。

    (1)证明∠EFG=90°.
    (2)如图2,连结AF,当点F运动至点A,F,G三点共线时,求△ADF的面积。
    (3)在点F整个运动过程中,
    ①当EF,FG,CG中满足某两条线段相等,求所有满足条件的BF的长。
    ②连接EG,若 时,求⊙O的半径(请直接写出答案)。
    三、解答题
    31.(2019·三明模拟)菱形ABCD的对角线交于O点,DE∥AC , CE∥BD , 求证:四边形OCED是矩形.

    32.如图,已知四边形ABCD为正方形,AB=2  ,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE.交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
    ①求证:矩形DEFG是正方形;
    ②探究:CE+CG的值是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

    33.(2019·会宁模拟)如图,▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),B(7,0),作∠AOB的平分线交AC于点G,并求线段CG的长,(要求尺规作图保留作图痕迹,不写作法)

    34.(2020九上·岐山期末)如图,在菱形ABCD中,点E是边AD上一点,延长AB至点F,使BF=AE,连接BE、CF求证:BE=CF。

    35.(2019九下·沈阳月考)如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点, , ,垂足分别是F、G.
    求证:AE=FG.

    36.(2019九下·徐州期中)已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA=MC.
    ①求证:CD=AN.
    ②若∠AMD=50°,当∠MCD=▲ °时,四边形ADCN是矩形.

    37.(2020九上·兴安盟期末)如图,BF为⊙O的直径,直线AC交⊙O于A、B两点,点D在⊙O上,BD平分∠OBC,DE⊥AC于点E.求证:直线DE是⊙O的切线.

    38.(2019·越秀模拟)如图,在□ABCD中,点E、F分别在AD,BC上,且AE=CF,EF,BD相交于点O,求证:OE=OF
     
    39.(2018九上·和平期末)已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两线相交于点P,求证:四边形CODP是菱形.

    40.(2019九下·中山月考)已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上,O为坐标原点,且点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2 . 在坐标系中画出矩形P2M2O2N2 , 并求出直线P1P2的解析式.
    41.(2019九下·东台月考)如图所示,在矩形 中, 是  边上的点, , ,垂足为 ,连接 .

    (1)求证: ;
    (2)若 , ,求 的值.
    42.(2020·北京模拟)如图,矩形 中, , . , 分别在 , 上,点 与点 关于 所在的直线对称, 是边 上的一动点.

    (1)连接 , ,求证四边形 是菱形;
    (2)当 的周长最小时,求 的值;
    (3)连接 交 于点 ,当 时,求 的长.
    43.(2020九下·中卫月考)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点, ,垂足为F.

    (1)求证: ;
    (2)如果 ,求 的余切值.
    44.(2019·重庆模拟)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC= ,点 M 在 AC 上,且 AM= AC,连接并延长 BM 交 AD 于点 N.

    (1)求证:△ABC∽△AMB;
    (2)求 MN 的长.
    45.(2018九上·焦作期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC的垂直平分线EF交AC于点D,交AB于点F,且CE=BF.

    (1)求证:四边形AECF是菱形;
    (2)当∠BAC的度数为多少时,四边形AECF是正方形.
    46.(2020·绍兴模拟)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线 经过B、C两点,顶点D在正方形内部.

    (1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
    (2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
    (3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于y轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
    47.(2019·淮安模拟)定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

    (1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.
    ①若AB=CD=1,AB∥CD,则对角线BD的长为________;
    ②若AC⊥BD,求证:AD=CD;________
    (2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点 是对角线 上一点,且 ,过点 作直线分别交边 于点 ,使四边形 是等腰直角四边形.直接写出 的长为________.
    48.(2020九下·吴江月考)如图①,四边形 是矩形, ,点 是线段 上一动点 (不与 重合),点 是线段 延长线上一动点,连接 交 于点 .设 ,已知 与 之间的函数关系如图②所示.

    (1)求图②中 与 的函数表达式;
    (2)求证: ;
    (3)是否存在 的值,使得 是等腰三角形?如果存在,求出 的值;如果不存在,说明理由.
    49.(2019·润州模拟)如图,在菱形ABCD中,边长为2 ,∠BAD=120°,点P从点B开始,沿着B→D方向,速度为每秒1个单位,运动到点D停止,设运动的时间为t(秒),将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到对应线段的延长线与过点P且垂直AP的垂线段相交于点E,

    ( ≈1.73,sin11°≈0.19,cos11°≈0.98,sin19°≈0.33,tan19°≈0.34,sin41°≈0.65,tan41°≈0.87)
    (1)当t=0时,求AE的值.
    (2)P点在运动过程中,线段PE与菱形的边框交于点F.(精确到0.1)
    问题1:如图2,当∠BAP=11°,AF=2PF,则OQ=________.
    问题2:当t为何值时,△APF是含有30°角的直角三角形,写出所有符合条件的t的值________.
    (3)当点P在运动过程中,求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式.(请说明理由)
    50.(2019·天宁模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线 ( )与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l: 与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.

    (1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);
    (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为 ,求a的值;
    (3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

    答案解析部分
    一、单选题
    1. A
    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形
    ∴AO=CO,BO=DO
    ∴S△AOB=S△BOC , S△BOC=S△COD .
    ∴S△AOB=S△COD .
    ∵点E是CD的中点
    ∴S△ODE= S△COD= S△AOB .
    ∴△ODE与△AOB的面积比为1:2
    故答案为:A.
    【分析】由题意可得:S△AOB=S△COD , 由点E是CD中点,可得S△ODE= S△COD= S△AOB . 即可求△ODE与△AOB的面积比.
    2. B
    【解答】解:如图,取BC的中点O,连接OA,OP,PA.

    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠BAD=∠ABC=90°,BC=AD=2,
    ∴OB=OC=1,
    ∴OA= ,
    ∵BN=2t,AM=t,
    ∴ =2,
    ∵∠CBN=∠BAM,
    ∴△CBN∽△ABM,
    ∴∠ABM=∠BCN,
    ∵∠ABM+∠CBM=90°,
    ∴∠CBM+∠BCN=90°,
    ∴∠CPB=90°,
    ∵OB=OC,
    ∴OP= BC=1,
    ∵PA≥OA﹣OP,
    ∴PA≥ ﹣1,
    ∴PA的最小值为 ﹣1,
    ∵PE⊥AB,PF⊥AD,
    ∴∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°,
    ∴四边形AEPF是矩形,
    ∴EF=PA,
    ∴EF地方最小值为 ﹣1.
    故答案为:B.
    【分析】取BC的中点O,连接OA,OP,PA,可得OA= ,根据BN=2t,AM=t,△CBN∽△ABM,得到∠CPB=90°,在证明四边形AEPF是矩形,即可解答
    3. D
    【解答】∵ ,而且 和 的方向相反
    ∴ .
    故答案为:D.
    【分析】根据平面向量的性质即可解决问题.
    4. D
    【解答】根据向量的运算法则,即可知A(结合律)、B、C(乘法的分配律)是正确,D中的 是有方向的,而0没有,所以不符合题意.
    解:∵A、B、C均属于向量运算的性质,是正确;
    ∵D、如果 = ,则m=0或 = .∴符合题意.
    故答案为:D.
    【分析】空间向量的线性运算的理解:(1)空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算;(2)注意向量的书写与代数式的书写的不同,我们书写向量的时候一定带上线头,这也是向量与字母的不同之处;(3)虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算,但它们表示的意义不同.
    5. D
    【解答】正确选项是D.
    理由:∵∠F=∠CDF,∠CED=∠BEF,EC=BE,
    ∴△CDE≌△BFE,CD∥AF,
    ∴CD=BF,
    ∵BF=AB,
    ∴CD=AB,
    ∴四边形ABCD是平行四边形.
    故答案为:D.
    【分析】利用内错角相等两直线平行可得CD∥AF,根据AAS可证△CDE≌△BFE,利用全等三角形的性质可得CD=BF,由BF=AB,可得CD=AB,根据一组对边平行且的四边形是平行四边形即可求出结论.
    6. A
    【解答】解:如图,过点C作CE⊥y轴于E.

    在正方形ABCD中,∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABO+∠CBE=90°.∵∠OAB+∠ABO=90°,∴∠OAB=∠CBE.∵点A的坐标为(﹣4,0),∴OA=4.∵AB=5,∴OB= =3.在△ABO和△BCE中,∵∠OAB=∠CBE,∠AOB=∠BEC,AB=BC,∴△ABO≌△BCE(AAS),∴OA=BE=4,CE=OB=3,∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1,∴点C的坐标为(3,1).∵反比例函数 (k≠0)的图象过点C,∴k=xy=3×1=3,∴反比例函数的表达式为 .故答案为:A.
    【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,涉及到正方形的性质,全等三角形的判定与性质,反比例函数图象上的点的坐标特征,作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键.
    7. A
    【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(2,0)、(0,1),
    ∴OA=2,OB=1,
    ∴AB= ,
    过C作CE⊥y轴于E,

    ∵点C的坐标为(1,2),
    ∴CE=1,OE=2,
    ∴BE=1,
    ∴BC= ,
    ∴AB+BC= + ,
    故答案为:A.
    【分析】根据勾股定理得到AB= ,过C作CE⊥y轴于E,根据勾股定理得到BC= ,于是得到结论.
    8. C
    【解答】解:由折叠可知,DF=DC=DA,∠DFE=∠C=90∘,

    ∴∠DFG=∠A=90∘,
    在Rt△ADG与Rt△FDG中
    ∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL),故①正确;
    ∵正方形边长为6,
    ∴BE=EC=EF=3,
    设AG=FG=x,则EG=x+3,BG=6−x,
    由勾股定理得: ,
    即: ,
    解得: ;
    ∴AG=GF=2,BG=4,BG=2AG,故②正确;
    BE=EF=3,△BEF是等腰三角形,易知△GED不是等腰三角形,故③错误;
    S△GBE= , ,S△BEF ,故④正确。
    故正确的有①②④,选C.
    【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF,∠A=∠GFD=90°,于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG,再由GF+GB=GA+GB=12,EB=EF,△BGE为直角三角形,可通过勾股定理列方程求出AG=4,BG=8,进而求出△BEF的面积,再抓住△BEF是等腰三角形,而△GED显然不是等腰三角形,判断③是错误的.

    9. A
    【解答】解:连接AC,∵四边形ABCD为正方形,

    ∴∠CAB=45°,
    ∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°,
    ∴∠B1AB=45°,
    ∴点B1在线段AC上,
    易证△OB1C为等腰直角三角形,
    ∴B1C=B1O,
    ∴AB1+B1O="AC=" = ,
    同理可得AD+DO="AC=" ,
    ∴四边形AB1OD的周长为 .
    故答案为:A.
    【分析】连接AC,根据正方形的性质及旋转的性质可得∠CAB=45°,∠B1AB=45°,从而可得点B1在线段AC上,易证△OB1C为等腰直角三角形,可得B1C=B1O,利用勾股定理可得AB1+B1O=AC= ,同理可得AD+DO=AC=,从而求出四边形AB′OD的周长.
    10. C
    【解答】解:∵∠ADE=60°,∴∠ADC=120°,
    ∵ ,∴∠A=90°,

    ∴∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°.
    故答案为:C.
    【分析】根据外角和垂直得到∠ADC和∠A的度数,再利用四边形的内角和是360°即可解题.
    11. C
    【解答】解:连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图.

    ∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∴AD=BD= AB=4.
    在Rt△OBD中,OD= =2.
    ∵将弧 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆,∴ ,∴AC=DC,∴AE=DE=2.
    易证四边形ODEF为正方形,∴OF=EF=2.
    在Rt△OCF中,CF= =4,∴CE=CF+EF=4+2=6.
    而BE=BD+DE=4+2=6,∴BC= .
    故答案为:C.
    【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图,利用垂径定理得到OD⊥AB,则AD=BD= AB=4,于是根据勾股定理可计算出OD=2,再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆,则根据圆周角定理得到 ,所以AC=DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=2,接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=2,然后计算出CF后得到CE=BE=6,由勾股定理可得到BC的长.
    12. A
    【解答】连接BG、BE,作BP⊥EF于P,如图所示:

    由折叠性质可得:BF=FM,
    ∴∠MBF=∠FMB,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠C=∠ABC=∠NMF=90°,
    ∴∠CBM+∠BMC=90°,∠BMF+∠NMB=90°,
    ∴∠BMC=∠NMB,
    又∵BP⊥MN,BC⊥DC,
    ∴BP=BC,且∠BMC=∠NMB,BM=BM
    ∴△BPM≌△BCM(SAS),
    ∴MP=MC,∠PBM=∠CBM,
    同理可证:NA=NP,∠ABN=∠PBN,
    ∴△MND的周长=DN+DM+MN=DN+AN+DM+CM=AD+CD=2,
    ∴△DGE的周长始终为定值.
    ∵∠ABN+∠PBN+∠PBM+∠CBM=90°
    ∴∠MBN=45°;
    ∵DM,DN的值不确定,
    ∴△MDN的面积不确定,
    ∴③错误.
    故①②正确
    故答案为:A.
    【分析】连接BM、BN,作BP⊥MN于P.只要证明△BMP≌△BMC,可得MP=MC,∠PBM=∠CBM,同理可证:NA=NP,∠ABN=∠PBN,由此可判断①②正确.
    13. D
    【解答】在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,
    ∵E、F分别为边AB,BC的中点,
    ∴AE=BF= BC,
    在△ABF和△DAE中,
     ,
    ∴△ABF≌△DAE(SAS),
    ∴∠BAF=∠ADE,
    ∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
    ∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,
    ∴∠AMD=180°-(∠ADE+∠DAF)=180°-90°=90°,
    ∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°,故①正确;
    ∵DE是△ABD的中线,
    ∴∠ADE≠∠EDB,
    ∴∠BAF≠∠EDB,故②错误;
    ∵∠BAD=90°,AM⊥DE,
    ∴△AED∽△MAD∽△MEA,

    ∴AM=2EM,MD=2AM,
    ∴MD=2AM=4EM,故④正确;
    设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,
    在Rt△ABF中,AF=
    ∵∠BAF=∠MAE,∠ABC=∠AME=90°,
    ∴△AME∽△ABF,
    ∴ ,
    即 ,
    解得AM=
    ∴MF=AF-AM= ,
    ∴AM= MF,故⑤正确;
    如图,过点M作MN⊥AB于N,


     

    解得MN= ,AN= ,
    ∴NB=AB-AN=2a- = ,
    根据勾股定理,BM=
    过点M作GH∥AB,过点O作OK⊥GH于K,
    则OK=a- = ,MK= -a= ,
    在Rt△MKO中,MO=
    根据正方形的性质,BO=2a× ,
    ∵BM2+MO2=
     
    ∴BM2+MO2=BO2 ,
    ∴△BMO是直角三角形,∠BMO=90°,故③正确;
    综上所述,正确的结论有①③④⑤共4个.
    故答案为:D
    【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,再根据中点定义求出AE=BF,然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE,然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,从而求出∠AMD=90°,再根据邻补角的定义可得∠AME=90°,从而判断①正确;根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB,然后求出∠BAF≠∠EDB,判断出②错误;根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似,利用相似三角形对应边成比例可得 ,然后求出MD=2AM=4EM,判断出④正确,设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求出AF,再根据相似三角形对应边成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM= MF,判断出⑤正确;过点M作MN⊥AB于N,求出MN、NB,然后利用勾股定理列式求出BM,过点M作GH∥AB,过点O作OK⊥GH于K,然后求出OK、MK,再利用勾股定理列式求出MO,根据正方形的性质求出BO,然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°,从而判断出③正确.
    14. C
    【解答】解:如图:取点D关于直线AB的对称点D′.以BC中点O为圆心,OB为半径画半圆.
    连接OD′交AB于点P,交半圆O于点G,连BG.连CG并延长交AB于点E.
    由以上作图可知,BG⊥EC于G.

    PD+PG=PD′+PG=D′G
    由两点之间线段最短可知,当点D′,G,O三点共线时,PD+PG最小.
    ∵D′C′=4,OC′=6
    ∴D′O=
    ∴D′G=2 −2
    ∴PD+PG的最小值为2 −2
    故答案为:C.
    【分析】作DC关于AB的对称点D′C′,以BC中的O为圆心作半圆O,连D′O分别交AB及半圆O于P、G.将PD+PG转化为D′G找到最小值.
    15. B
    【解答】设EF=a,BC=b,AB=c,则PQ=a-c,RQ=b-a,PQ=RQ
    ∴a= ,
    ∵▱ALMN的面积为50,∴bc+a2+(a-c)2=50,
    把a= 代入化简求值得b+c=10, ∴a=5,
    ∴正方形EFGH的边长为5,
    ∴正方形EFGH的面积为25,
    故答案为:B.
    【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质,先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系,再根据▱ALMN的面积,求出各边长的关系,最后得出面积.
    16. B
    【解答】解:设⊙O与MN相切于点K,设正方形的边长为2a.

    ∵AD、CD、MN是切线,
    ∴AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,
    在Rt△DMN中,∵MN=x+y,DN=a﹣y,DM=a﹣x,
    ∴(x+y)2=(a﹣y)2+(a﹣x)2 ,
    ∴ax+ay+xy=a2 ,
    ∵S△BMN=S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△DMN﹣S△BCN=8,
    ∴4a2﹣ ×2a×(a+x)﹣ (a﹣x)(a﹣y)﹣ ×2a×(a+y)=8,
    ∴ a2﹣ (ax+ay+xy)=8,
    ∴a2=8,
    ∴a=2 ,
    ∴AB=2a=4 ,
    ∴⊙O的半径为2 ,
    故答案为:B.
    【分析】设⊙O与MN相切于点K,设正方形的边长为2a.因为AD、CD、MN是切线,可得AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,设MK=ME=x,NK=NF=y,在Rt△DMN中,以为MN=x+y,DN=a-y,DM=a-x,看到(x+y)2=(a-y)2+(a-x)2 , 推出ax+ay+xy=a2 , 根据S△BMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△DMN-S△BCN=8,构建方程求出a即可解决问题;
    17. D
    【解答】 E是AB的中点
    AE=BE
    沿 折叠
    BE=EM,




    故①正确;
    四边形ABCD为正方形

    沿 折叠




    四边形AECF为平行四边形

    又 E是AB的中点

    故②正确;

    过点E作
    由①知,

    由②知,
    E是AB的中点






    故③正确;

    则 , ,




    故④正确.
    故答案为:D.
    【分析】根据折叠的性质,正方形的性质,等边对等角,同角的余角相等即可判断①;
    根据题意先证明四边形AECF为平行四边形,再根据平行四边形的性质即可判断②;
    过点E作 ,根据三线合一及折叠的性质即可得出 ,再根据同角的余切值相等得出比值, ,用a表示AM,MF的值,即可得出比值,判断③;设 ,用a表示 及 的值,即可判断④.
    18. B
    【解答】解:

    ∵△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,
    ∴∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,
    在Rt△ABF中,∵AB=6,BF=10,
    ∴ ,
    ∴DF=AD-AF=10-8=2,
    设EF=x,则CE=x,DE=CD-CE=6-x,
    在Rt△DEF中,∵DE2+DF2=EF2 ,
    ∴(6-x)2+22=x2 , 解得 ,
    ∴ ,
    ∵△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,
    ∴∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,
    ∴ ,所以①符合题意;
    HF=BF-BH=10-6=4,
    设AG=y,则GH=y,GF=8-y,
    在Rt△HGF中,∵GH2+HF2=GF2 ,
    ∴y2+42=(8-y)2 , 解得y=3,
    ∴AG=GH=3,GF=5,
    ∵∠A=∠D,


    ∴ ,
    ∴△ABG与△DEF不相似,所以②不符合题意;
    ∵ ,
    所以③符合题意;
    ∵AG+DF=3+2=5,而GF=5,
    ∴AG+DF=GF,所以④符合题意.
    故答案为B.
    【分析】由折叠性质得∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8,所以DF=AD-AF=2,设EF=x,则CE=x,DE=CD-CE=6-x,在Rt△DEF中利用勾股定理得(6-x)2+22=x2 , 解得 ,即 ;再利用折叠性质得∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,易得∠2+∠3=45°,于是可对①进行判断;设AG=y,则GH=y,GF=8-y,在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=(8-y)2 , 解得y=3,则AG=GH=3,GF=5,由于∠A=∠D和 ,可判断△ABG与△DEF不相似,则可对②进行判断;根据三角形面积公式可对③进行判断;利用AG=3,GF=5,DF=2可对④进行判断.
    19. D
    【解答】如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH

    由旋转的性质得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF
    ∵∠EAF=45°
    ∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°
    ∴∠EAH=∠EAF=45°
    在△AEF和△AEH中

    ∴△AEF≌△AEH(SAS)
    ∴EH=EF
    ∴∠AEB=∠AEF
    ∴BE+BH=BE+DF=EF,
    故②正确
    ∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN,
    ∠AEB=90°﹣∠BAE=90°﹣(∠HAE﹣∠BAH)=90°﹣(45°﹣∠BAH)=45°+∠BAH
    ∴∠ANM=∠AEB
    ∴∠ANM=∠AEB=∠ANM;
    故③正确,
    ∵AC⊥BD
    ∴∠AOM=∠ADF=90°
    ∵∠MAO=45°﹣∠NAO,∠DAF=45°﹣∠NAO
    ∴△OAM∽△DAF
    故①正确
    连接NE,

    ∵∠MAN=∠MBE=45°,∠AMN=∠BME
    ∴△AMN∽△BME


    ∵∠AMB=∠EMN
    ∴△AMB∽△NME
    ∴∠AEN=∠ABD=45°
    ∵∠EAN=45°
    ∴∠NAE=NEA=45°
    ∴△AEN是等腰直角三角形
    ∴AE=
    ∵△AMN∽△BME,△AFE∽△BME
    ∴△AMN∽△AFE



    ∴S△AFE=2S△AMN
    故④正确
    故答案为:D.
    【分析】如图,把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,由旋转的性质得,BH=DF,AH=AF,∠BAH=∠DAF,由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°,根据全等三角形的性质得到EH=EF,所以∠ANM=∠AEB,则可求得②正确;根据三角形的外角的性质得到①正确;根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF,故③正确;根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°,推出△AEN是等腰直角三角形,根据勾股定理得到AE= AN,再根据相似三角形的性质得到EF= MN,于是得到S△AEF=2S△AMN.故④正确.
    20. D
    【解答】解:如图,连接FA、EB,

    ∵AC+CE=BC+CF,
    ∴AE=BF,∠FBE=∠AEB,BE=BE,
    ∴△ABE≌△FBE,
    ∵四边形FABE的面积=S△BAF+S△BEF ,
    ∴四边形FABE的面积=BF×AC+BF×CF=(a+b)(a+b)=(a+b)2,
    ∵O为AB的中点,
    ∴S△FOA=S△BAF , S△FOB=S△BAE=S△BFE ,
    ∴S△FOA+S△FOB=S△BAF+S△BFE=S四边形FABE ,
    ∴S △OEF=S四边形FABE=(a+b)2.
    故答案为:D.

    【分析】本题运用间接求法求 △OEF的面积 ,连接FA、EB,先通过三角形的面积之和求出四边形FABE的面积,通过O为AB的中点,利用等底同高三角形面积相等,再求出△FOA和△FOB的面积,则△OEF的面积可求.
    二、填空题
    21. 29.
    【解答】解:∵点B的坐标是(8,6),点D是对角线OB的中点,
    ∴D(4,3)
    在Rt△OBC中,OB= =10,
    ∵反比例函数 (k≠0)在第一象限的图象经过其对角线OB的中点D,
    ∴k=12,
    ∴反比例函数的解析式为
    又∵点E在反比例函数的图象上,
    ∵点E的横坐标为8,
    ∴当x=8时,y= ,
    ∴E(8, ),
    ∴CE= ,
    ∴BE=6- =4.5,
    ∵BC∥OG,EG∥OB,
    ∴四边形OBEG是平行四边形,
    ∴OG=BE=4.5, EG=OB=10 ,
    ∴四边形OBEG的周长是2(10+4.5)=29,
    故答案为:29.
    【分析】根据已知条件得到D(4,3),OB= =10,求得k=12,得到反比例函数的解析式为 ,求得E(8, ),得到CE= ,推出四边形OBEG是平行四边形,于是得到结论.
    22. ,
    【解答】解:过 作 轴于 ,
    四边形 是菱形,
    , ,
    , ,

    在 △ 中, ,
    , ,


    , ,

    菱形 的边长 ,
    设 的中点为 ,连接 , ,
    于是求得, ,
    过点 , , 的圆的圆心坐标为 , ,
    菱形 的边长为 ,

    设 的中点为 ,
    连接 , ,
    同理可得, ,
    过点 , , 的圆的圆心坐标为 , , 以此类推,菱形菱形 的边长为 ,

    设 的中点为 ,连接 , ,
    求得, ,
    点 是过点 , , 的圆的圆心,

    点 在射线 上,
    则点 的坐标为 , ,
    即过点 , , 的圆的圆心坐标为 , ,
    故答案为: , .

    【分析】过 作 轴于 ,由菱形的性质得到 , ,根据勾股定理得到 ,求得 ,解直角三角形得到 , ,求得 得到菱形 的边长 ,设 的中点为 ,连接 , ,推出过点 , , 的圆的圆心坐标为 , ,以此类推,于是得到结论.
    23. 4
    【解答】解:如图,设AC与BD的交点为O,连接PO,

    ∵四边形ABCD是矩形
    ∴AO=CO=5=BO=DO,
    ∴S△DCO= S矩形ABCD=10,
    ∵S△DCO=S△DPO+S△PCO ,
    ∴10= ×DO×PF+ ×OC×PE
    ∴20=5PF+5PE
    ∴PE+PF=4
    故答案为:4
    【分析】由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO,由S△DCO=S△DPO+S△PCO , 可得PE+PF的值.
    24.
    【解答】
    点E在反比例函数 的图象上,
    设 ,
    , ,
    四边形OABE是平行四边形,

    点D在反比例函数 的图象上,点D是AB的中点,

    设 ,则 ,


    , ,
    过E作 轴于F,过D作 轴于G,
    则 ,

    故答案为: .
    【分析】设 ,根据已知条件得到四边形OABE是平行四边形,根据平行四边形的性质得到 ,由于点D在反比例函数 的图象上,点D是AB的中点,得到 ,设 ,则 ,根据中点坐标公式得到 ,求得 , ,过E作 轴于F,过D作 轴于G,根据图形的面积公式即可得到结论.
    25.
    【解答】解:如图:

    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AB=BC=13cm,
    ∵BC边上的高AH=5cm,
    ∴BH= =12cm,
    ∴CH=13-12=1(cm),
    ∴AC= = cm,
    故答案为 .
    【分析】首先根据菱形的性质可得AB=BC=13cm,再利用勾股定理计算出BH的长,进而得到HC的长,然后再进一步利用勾股定理计算出AC的长.
    26.
    【解答】(1)如图,当P在B的右侧时,由旋转和矩形性质得:
    AP=AD=5,AB=CD=3,
    在直角三角形ABP中,BP= ,
    所以,PC=BC-BP=5-4=1,
    在直角三角形PDC中,PD= ,

    ( 2 )如图,当点P在B的左侧时,由旋转和矩形性质得:
    AP=AD=5,AB=CD=3,
    在直角三角形APB中,PB= ,
    所以,PC=BC+PB=5+4=9,
    在在直角三角形PDC中,PD= ,

    所以,PD的长度为
    故答案为:
    【分析】画图,分两种情况:点P在B的右侧或左侧.根据旋转和矩形性质,运用勾股定理,分别求出BP和PC,便可求出PD.
    27. 3 -3
    【解答】解:如图,取AD的中点O,连接OF、OC,

    在正方形ABCD中,AD=BC=CD,∠ADC=∠BCD,∠DCE=∠BCE,
    在Rt△ADM和Rt△BCN中,

    ∴Rt△ADM≅Rt△BCN(HL),
    ∴∠DAM=∠CBN,
    在△DCE和△BCE中,

    ∴△DCE≅△BCE(SAS),
    ∴∠CDE=∠CBE
    ∴∠DAM=∠CDE,
    ∵∠ADF+∠CDE=∠ADC=90∘ ,
    ∴∠DAM+∠ADF=90∘ ,
    ∴∠AFD=180∘−90∘=90∘ ,
    取AD的中点O,连接OF、OC,
    则OF=DO=AD=3,
    在Rt△ODC中,OC==3,
    根据三角形的三边关系,OF+CF>OC,
     ∴CF>OC-OF,
    ∴当O、F、C三点共线时,CF的长度最小,
    最小值=OC−OF=3−3.

    【分析】先利用斜边直角边定理证出Rt△ADM≅Rt△BCN,得出∠DAM=∠CBN,于是利用边角边定理可证△DCE≅△BCE(SAS),得出∠CDE=∠CBE,即可判断出∠AFD=90∘ , 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=AD=3,利用勾股定理列式求出OC,最后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时,CF的长度最小.
    28.
    【解答】解:如图:连接BC、AB
     
    依题意可知:在△BCE和△BAF中
     
    ∴△BCE≌△BAF(SAS)
    ∴∠CBE=∠ABF
    ∴∠EBF=∠CBA=90°,
    ∵AP∥BF,
    ∴∠APB=90°,
    ∴P在以AB为直径的圆上,取AB的中点M,当O、P、M在同意直线上时OP最小,
    ∴OM= ,
    ∴OP= ,
    ∵PM=BM,
    ∴∠BPM=∠MBM,
    ∵AB∥CE,
    ∴∠CEB=∠PBM,
    又∵∠OPE=∠BPM,
    ∴∠CEB=∠OPE,
    ∴OE=OP,
    ∴CE=2+( )= ,
    ∴t=( )÷1= ,
    故填: .
    【分析】由点的坐标可知四边形OABC是正方形,而EF的速度和时间相同,故易证明△BCE≌△BAF,从而可得∠EBF=90°,由平行可知∠BPA=90°,得到点P在以AB为直径的圆上,取AB的中点M,故当O、P、M在同意直线上时OP最小,再由勾股定理可计算出OM的长,进而得出PO的最小值= ,由△BPM是等腰三角形,AB∥CE可得△EOP是等腰三角形,可知OP=OE,所以CE=2+( ),从而求出运动时间.
    29. 5
    【解答】解:如图所示:

    过点E作EM⊥BC,EN⊥AB,分别交BC、AB于M、N两点,
    且EF与BC相交于点H.
    ∵EF⊥CE,∠ABC=90°,∠ABC+∠HBF=180°,
    ∴∠CEH=∠FBH=90°,
    又∵∠EHC=∠BHF,
    ∴△ECH∽△BFH(AA),
    ∴∠ECH=∠BFH,
    ∵EM⊥BC,EN⊥AB,四边形ABCD是正方形,
    ∴四边形ENBM是正方形,
    ∴EM=EN,∠EMC=∠ENF=90°,
    在△EMC和△ENF中
    ,
    ∴△EMC≌△ENF(AAS)
    ∴CM=FN,
    ∵EM∥DC,∴△BEM∽△BDC,
    ∴ .
    又∵DE=4BE,
    ∴ ,
    同理可得: ,
    设BN=a,则AB=5a,CM=AN=NF=4a,
    ∵AF=8,AF=AN+FN,
    ∴8a=8
    解得:a=1,
    ∴AB=5
    故答案为:5
    【分析】由∠EHC=∠BHF,∠CEH=∠FBH=90°可判定△ECH∽△BFH,从而得到∠ECH=∠BFH;作辅助线可证明四边形ENBM是正方形,根据正方形的性质得EM=EN,由角角边可证明△EMC≌△ENF,得CM=FN;因DE=4BE,△BEM∽△BDC,△BEN∽△BDA和线段的和差可求出正方形ABCD的边长.
    30. (1)证明:连结 EG,

    在正方形 ABCD 中,得∠C=90°
    ∴EG 为⊙O 的直径
    ∴∠EFG=90°

    (2)解:如图,过F点作FN⊥AD,交BC于点M,

    ∵四边形ABCD为正方形,
    ∴∠ADF=45°,MN=AD,
    ∴ND=NF,
    ∴AN=FM,
    ∵∠MFG=∠AFN,∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN,
    ∴∠MFE=∠FAN,
    ∴△AFN≌△FEM(AAS),
    ∴FN=AM,EM=FN,
    设AN=x, 则ND=EM=BM-BE=x-1,
    ∵AN+ND=4,
    ∴x+x-1=5,
    ∴x=,
    ∴FN=EM=BM-BE=-1=,
    ∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.

    (3)①1)如图,当EF=FG时,过F作FH⊥BC,FI⊥CD,

    ∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG,
    ∴∠EFH=∠IFG,
    ∴△EHF≌△GIF(AAS),
    ∴FH=FI,
    又∵FH=BH,
    ∴BH=FI=HC=2,
    ∴BF=BH=2.
    2)当CG=EF时,

    ∵EF=CG,
    ∴FG∥EC,
    ∵∠C=90°,
    ∴∠EFG=90°,∠FEC=90°,
    ∴四边形FECG为矩形,
    又∵EF=BE,
    ∴BF=BE=.
    3)当FG=CG,如图,过F点作FN⊥BC,

    ∵FG=CG,
    ∴∠FEG=CEG,
    ∵∠C=∠EFG=90°,
    ∴∠FGE=∠CGE,
    ∴EF=EC=BC-BE=4-1=3,
    设EN=x,
    则FN=BN=x+1,
    ∵EF2=FN2+EN2 ,
    ∴32=(x+1)2+x2,
    解得x=,
    则BN=,
    BF=EN=.

    ②如图,作FH⊥EC,FK⊥CD,

    △FKG∽△FHE,
    ∴,
    设FH=k, 则FK=2k,
    ∴BH=FH=k,
    ∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,
    ∴k=,
    ∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=,
    ∴∴EG=,
    ∴r=.

    【分析】(1) 连结 EG,由90°的圆周角所对的弦为直径,可知EG为圆O的直径,于是根据直径所对的圆周角是直角可得 ∠EFG=90° .
    (2)如图,过F点作FN⊥AD,交BC于点M,利用正方形的性质,结合等角的余角相等,用角角边定理证明△AFN≌△FEN,∴FN=AM,EM=FN,设AN=x, 把ND用含x的代数式表示,根据AN+ND=4,求出x, 则FN可求,于是可求△ADF的面积.
    (3) ① 分三种情况讨论,1)当EF=FG时,过F作FH⊥BC,FI⊥CD,利用角角边定理证明△EHF≌△GIF,则对应边FH=FI,BH=FI=HC=2, 于是BF的长度可求;当CG=EF时,易证四边形FECG为矩形,则BF=2BE;当FG=CG,过F点作FN⊥BC,根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC,从而求出EF的长,于是利用勾股定理求出FN的长,则BF的长可求.
    ② 设FH=k, 根据相似的性质,把相关线段用含x的代数式表示,得出BC=k+2k=4, 求出k值,则CG的长度可求,从而利用勾股定理求出直径,则半径可知.
    三、解答题
    31. 证明:∵DE∥AC , CE∥BD ,
    ∴四边形OCED是平行四边形.
    ∵菱形ABCD的对角线交于O点,
    ∴AC⊥BD , 即∠COD=90°.
    ∴四边形OCED是矩形
    【解答】证明:∵DE∥AC, CE∥BD,
    ∴四边形OCED是平行四边形.
    ∵菱形ABCD的对角线交于O点,
    ∴AC⊥BD , 即∠COD=90°.
    ∴四边形OCED是矩形
    【分析】根据已知首先证明四边形OCED是平行四边形,再根据菱形的性质即可得到AC⊥BD , 进而不难证明结论 .
    32. 解:①证明:过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点,如图所示: 

    ∵正方形ABCD  ∴∠BCD=90°,∠ECN=45°∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
    且NE=NC,∴四边形EMCN为正方形
    ∵四边形DEFG是矩形,∴EM=EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
    ∴∠DEN=∠MEF,又∠DNE=∠FME=90°,
    在△DEN和△FEM中,  ,
    ∴△DEN≌△FEM(ASA),∴ED=EF,∴矩形DEFG为正方形,
    ②解:CE+CG的值为定值,理由如下:
    ∵矩形DEFG为正方形,∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°
    ∵四边形ABCD是正方形,∵AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°
    ∴∠ADE=∠CDG,
    在△ADE和△CDG中,  ,
    ∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG
    ∴AC=AE+CE=  AB= ×2 =4,  ∴CE+CG=4 是定值.
    【分析】①证明:过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点,利用正方形的性质,可证明∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,由NE=NC,可证得四边形EMCN为正方形,可得到EM=EN,再利用ASA证明△DEN≌△FEM,利用全等三角形的对应边相等,易证ED=EF,然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形,可证得结论。
    ②根据正方形的性质去证明DE=DG,AD=DC,∠ADE=∠CDG,再利用SAS证明△ADE≌△CDG,利用全等三角形的对应边相等,可知AE=CG,利用解直角三角形,就可证得CE+CG=4,因此可知CE+CG的值是一个定值。
    33. 解:如图,

    就是所求的 的平分线.
    的顶点 , ,
    , ,
    在 中, .
    由题意可知 平分 ,

    又 ,


    .
    的顶点 ,

    .
    【分析】根据角平分线的作图步骤画出图形即可, 先根据勾股定理求得AO的长度,再利用角平分线得 ,再根据AC=OB=7即可得出线段 的长.
    34. 证明:四边形ABCD是菱形
    ∴AB=BC,AD∥BC
    ∴∠A=∠CBF……2分
    在△ABE和△BCF中

    ∴△ABE≌△BGF(SAS)
    ∴BE=CF
    【分析】由菱形的邻边相等可得AB=BC, 其对边平行,结合两直线平行同位角相等可得∠A=∠CBF,于是利用边角边定理即可证明 △ABE≌△BGF,则对应边BE和CF相等.
    35. 解:连接EC.

    ∵四边形ABCD是正方形,EF⊥BC,EG⊥CD,
    ∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°,
    ∴四边形EFCG为矩形.
    ∴FG=CE.
    又BD为正方形ABCD的对角线,
    ∴∠ABE=∠CBE.
    在△ABE和△CBE中,

    ∴△ABE≌△CBE(SAS).
    ∴AE=EC.
    ∴AE=FG.
    【分析】根据题意我们不难得出四边形GEFC是个矩形,因此它的对角线相等.如果连接EC,那么EC=FG,要证明AE=FG,只要证明EC=AE即可.证明AE=EC就要通过全等三角形来实现.三角形ABE和BEC中,有∠ABD=∠CBD,有AB=BC,有一组公共边BE,因此构成了全等三角形判定中的SAS,因此两三角形全等,得AE=EC,即AE=GF.
    36. ①证明:∵CN∥AB,
    ∴∠DAC=∠NCA,
    在△AMD和△CMN中,

    ∴△AMD≌△CMN(ASA),
    ∴AD=CN,
    又∵AD∥CN,
    ∴四边形ADCN是平行四边形,
    ∴CD=AN;
    ②25°
    【解答】②若∠AMD=50°,当∠MCD=   25° 时,四边形ADCN是矩形.
    理由是:
    ∵∠MCD=   25°,∠AMD=50°
    ∴∠AMD=2∠MCD,∠AMD=∠MCD+∠MDC,
    ∴∠MCD=∠MDC,
    ∴MD=MC,
    由①知四边形ADCN是平行四边形,
    ∴MD=MN=MA=MC,
    ∴AC=DN,
    ∴四边形ADCN是矩形.
    【分析】①根据两直线平行,内错角相等求出∠DAC=∠NCA,然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等,根据全等三角形对应边相等可得AD=CN,然后判定四边形ADCN是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证;②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC,再根据等角对等边可得MD=MC,然后证明AC=DN,再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证.
    37. 证明:如图所示,连接OD,

    ∵OD=OB
    ∴∠ODB=∠OBD
    ∵BD平分∠OBC
    ∴∠OBD=∠DBE
    ∴∠ODB=∠DBE
    ∴OD∥AC
    ∵DE⊥AC
    ∴OD⊥DE
    ∵OD是⊙O的半径
    ∴直线DE是⊙O的切线
    【分析】连接OD,证得∠ODB=∠DBE,即可得到OD∥AC,由DE⊥AC得到OD⊥DE,即可得到直线DE是⊙O的切线.
    38. 解:连接BE、DF,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,
    又∵AE=CF,∴DE∥BF,DE=BF, ∴四边形BEDF是平行四边形,∴OE=OF.
    【分析】连接BE和DF,根据平行四边形的性质得出四边形BEDF为平行四边形,从而得出答案.
    39. 证明:∵DP∥AC,CP∥BD
    ∴四边形CODP是平行四边形,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴BD=AC,OD= BD,OC= AC,
    ∴OD=OC,
    ∴四边形CODP是菱形.
    【分析】根据DP∥AC,CP∥BD,即可证出四边形CODP是平行四边形,由矩形的性质得出OC=OD,即可得出结论.
    40. 解:如图所示:

    当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 .
    ∵点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1 ,
    ∴P1的坐标为(2,3),
    ∵将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 .
    ∴P2的坐标为(7,2),
    设P1P2的解析式为:y=kx+b,把P1(2,3),P2(7,2)代入得,2k+b=3①,7k+b=2②,
    解由①②组成的方程组得,k=﹣ ,b= .
    所以直线P1P2的解析式为y=﹣ x + ;
    当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 . 如图,

    ∴P2的坐标为(1,﹣2),
    设P1P2的解析式为:y=kx+b,把P1(2,3),P2(1,﹣2)代入得,2k+b=3①,k+b=﹣2②,
    解由①②组成的方程组得,k=5,b=﹣7.
    所以直线P1P2的解析式为y=5x﹣7;
    故答案为矩形P2M2O2N2见解析;当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 , 直线P1P2的解析式为:y=﹣ x + ;当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 , 直线P1P2的解析式为:y=5x﹣7.
    【分析】由点P的坐标为(﹣2,3).将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位,得到矩形P1M1O1N1 , 得到P1的坐标为(2,3).将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 , 得P2的坐标为(7,2);当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2 , 得P2的坐标为(1,﹣2),然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式.
    四、综合题
    41. (1)证明:在矩形 中, , , , 
    ∵ ,
    ∴ ,
    ∵ ,
    ∴ ,
    ∴ ,
    ∵ , , 
    ∴ ,
    ∴ ≌  
    ∴ ;

    (2)解:由(1)可知: , ,
    在 中, , 
    ∴ ,
    ∴ , 
    在 中, , 
    ∴ .
    【分析】(1)根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE,∠DAF=∠EAB.再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA;然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF;(2)根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理,可以求得DF,EF的长;再根据勾股定理求得DE的长,运用三角函数定义求解.
    42. (1)证明:如图:连接 , , 交 于点

    四边形 是矩形,
    , ,
    , ,
    点 与点 关于 所在的直线对称

    , ,

    ,且
    四边形 是平行四边形,且
    四边形 是菱形;

    (2)解:如图,作点 关于 的对称点 ,连接 ,交 于点 ,此时 的周长最小,

    四边形 是菱形






    点 ,点 关于 对称




    (3)解:如图,延长 ,延长 交于点 ,过点 作 于 ,交 于点 ,过点 作 于点 ,

    由(2)可知, ,

    四边形 是矩形





























    【分析】(1)由“ ”可证 ,可得 ,可得四边形 是平行四边形,且 ,可证四边形 是菱形;(2)作点 关于 的对称点 ,连接 ,交 于点 ,此时 的周长最小,由勾股定理可求 的长,由平行线分线段成比例可求解;(3)延长 ,延长 交于点 ,过点 作 于 ,交 于点 ,过点 作 于点 ,可证四边形 是矩形,可得 , ,由相似三角形的性质依次求出 , , , , 的长,通过证明 ,由相似三角形的性质可求 的长.
    43. (1)证明: 四边形 是矩形,


    在 和 中,




    (2)解: ,

    设 ,







    .
    【分析】(1)矩形的性质得到 ,得到 ,根据 定理证明 ;(2)根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.
    44. (1)证明:在 Rt△ABC 中,AB=1,BC= ,
    ∴AC=2.
    ∵AM= AC,
    ∴AM= ,
    ∴ = = .
    又∵∠BAM=∠CAB,
    ∴△ABC∽△AMB.

    (2)解:∵△ABC∽△AMB,
    ∴∠BMA=∠CBA=90°=∠BAN,
    ∴BM= = .
    又∵∠ABM=∠NBA,
    ∴△ABM∽△NBA,
    ∴ = ,即   =     , 解得:MN= .
    【分析】(1)在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC的长度,进而可得出AM的长度,由AB、AM、AC的长度可得出  = ,结合∠BAM=∠CAB即可证出△ABC∽△AMB;(2)由△ABC∽△AMB可得出∠BMA=90°=∠BAN,利用勾股定理可求出BM的长度,结合∠ABM=∠NBA可证出△ABM∽△NBA,根据相似三角形的性质即可求出MN的长度.
    45. (1)证明:如图:

    AC的垂直平分线EF交AC于点D
    CD=AD,∠ADF=90 ,EC=AE,CF=AF,
    又∠ACB=90°, EF∥BC,
    △ADF∽△ACB,
    AF:AB=AD:AC,  CD=AD,D为AC的中点,
     AF:AB=AD:AC=1:2,
    F为AB中点,
    BF=AF,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, CF=AF,
    又 CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF
     CE= CF= AF= AE
    四边形BECF是菱形.

    (2)解:当∠BAC=45 时, 四边形AECF是正方形.
    证明: ∠BAC=45 ,四边形AECF是菱形,
    ∠EAC=∠BAC=45 ,
    ∠EAF =∠EAC+∠BAC =90 ,
    菱形AECF是正方形.
    【分析】(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断;(2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45 时,∠EAF=90 ,则菱形AECF为正方形.
    46. (1)y=n,x=m,y=-x+m+n,y=x-m+n
    (2)解:∵点D有一条特征线是


    ∵抛物线的解析式为

    ∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,



    将 代入 中

    解得
    ∴抛物线的解析式为

    (3)解:①如图,当点 在平行于y轴的D点的特征线时

    根据题意可得




    ∴抛物线需要向下平移的距离
    ②如图,当点 在平行于x轴的D点的特征线时,设




    在 中,
    解得

    ∴直线OP解析式为

    ∴抛物线需要向下平移的距离
    即抛物线向下平移 或 距离,其顶点落在OP上.
    【解答】(1)∵点D
    ∴D 的特征线是
    【分析】(1)根据特征线的定义以及性质直接求出点D的特征线;(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;(3)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.
    47. (1);证明:如图1,连接AC,BD, ∵AB=BC,AC⊥BD, ∴∠ABD=∠CBD, 又∵BD=BD, ∴△ABD≌△CBD, ∴AD=CD.
    (2)5或6.5
    【解答】解:(1)①∵AB=CD,AB∥CD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,
    又AB=BC,∠ABC=90°,
    ∴四边形ABCD是正方形,
    ∴BD=AC= =
    故答案为: .
    ( 2 )

    因为四边形ABFE是等腰直角四边形,
    所以可以是AB=AE或AB=BF.
    当AB=AE时,AE=AB=5,
    当AB=BF时,BF=5
    ∵DE∥BF,
    ∴△DPE∽△BPF,
    ∴ ,
    ∴DE=2.5
    ∴AE=9-2.5=6.5
    综上,AE结果为5或6.5.
    【分析】(1)①根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形ABCD是平行四边形;根据邻边相等的平行四边形是菱形可证得四边形ABCD是菱形;根据有一个角是直角的菱形是正方形可证得四边形ABCD是正方形,从而求出对角边即可.②根据全等三角形的判定定理可得出三角形全等,然后得出对应边相等即可.(2)紧抓等腰直角四边形的概念,分类讨论,先根据图形定义可直接得出AE的长度,再结合相似三角形的性质和判定定理可求出AE的长度.
    48. (1)解:设y=kx+b,
    由图象得:当x=1时,y=2,当x=0时,y=4,
    代入得: ,
    ∴ ,
    ∴y=-2x+4(0<x<2);

    (2)证明:∵BE=x,BC=2
    ∴CE=2-x,AF=-2x+4,
    ∴ , ,
    ∴ ,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠C=∠DAF=90°,
    ∴△CDE∽△ADF;

    (3)解:根据题意,假设存在x的值,使得 是等腰三角形,可分三种情况:
    ①若DE=DG,则∠DGE=∠DEG,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD∥BC,∠B=90°,
    ∴∠DGE=∠GEB,
    ∴∠DEG=∠BEG,
    在△DEF和△BEF中,

    ∴△DEF≌△BEF(AAS),
    ∴DE=BE=x,CE=2-x,
    ∴在Rt△CDE中,由勾股定理得:1+(2-x)2=x2 ,
    ∴ ;
    ②若DE=EG,如图,作EH∥CD,交AD于H,

    ∵AD∥BC,EH∥CD,
    ∴四边形CDHE是平行四边形,
    ∴∠C=90°,
    ∴四边形CDHE是矩形,
    ∴EH=CD=1,DH=CE=2-x,EH⊥DG,
    ∴HG=DH=2-x,
    ∴AG=2x-2,
    ∵EH∥CD,DC∥AB,
    ∴EH∥AF,
    ∴△EHG∽△FAG,
    ∴ ,
    ∴ ,
    解得: , (舍去);
    ③若DG=EG,则∠GDE=∠GED,
    ∵∠EDF=90°,
    ∴∠FDG+∠GDE=∠DFG+∠DEG=90°,
    ∴∠FDG=∠DFG,
    ∴FG=DG,
    ∴FG=EG,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠FGA=∠FEB,∠FAG=∠B,
    ∴△FAG∽△FBE,
    ∴ ,
    ∴ ,
    ∴ ;
    综合上述,x的值为 、 或 .
    【分析】(1)利用待定系数法可得y与x的函数表达式;(2)先证明 ,又∠C=∠DAF=90°,利用两组对应边成比例,及夹角相等,即可证明△CDE∽△ADF;(3)根据题意,使得 是等腰三角形,可分三种情况:①若DE=DG,则∠DGE=∠DEG;②若DE=EG,如图,作EH∥CD,交AD于H;③若DG=EG,则∠GDE=∠GED;分别列方程计算可得结论.
    49. (1)解:t=0时,点P与点B重合,
    ∵∠PAE=60°,∠APE=60°,
    ∴∠E=30°,
    ∴AE=2PA=2AB=4 .

    (2)0.6;t=1s或4s时,∠PAF=30°
    (3)解:如图3中,作BM⊥AB交AC的延长线于M,作EH⊥AM于H,连接EM.

    在Rt△ABM中,∵∠ABM=90°,∠BAM=60°,
    ∴∠AMB=30°,
    ∴AM=2AB,
    在Rt△APE中,∵∠APE=90°,∠PAE=60°,
    ∴∠AEP=30°,
    ∴AE=2PA,
    ∴ = =2,
    ∵∠EAP=∠MAB,
    ∴∠EAM=∠PAB,
    ∴△EAM∽△PAB,
    ∴ = =2,∠AME=∠ABP=30°,
    ∴EM=2t,EH= EM=t,
    ∴S△ACE= •AC•EH= t(0<t≤6).
    【解答】(2)①如图2中,

    ∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=120°,
    ∴∠DAC=∠CAB=60°,AD=CD=AB=BC=2 ,
    ∴△ADC,△ABC都是等边三角形,
    ∴AC=AB=2 ,OA=OC= ,
    ∵∠APF=90°,
    ∴sin∠PAF= = ,
    ∴∠PAF=30°,
    ∴∠OAQ=60°﹣11°﹣30°=19°,
    ∴OQ=OA•tan19°≈0.6.
    故答案为0.6.
    ②如图2﹣2中,当∠PAF=30°时,延长FP到H,使得PH=PF,连接AH,BH.

    ∵PA⊥FH,FP=FH,
    ∴AF=AH,
    ∵∠PAF=30°,
    ∴∠AFH=60°,
    ∴△AFH是等边三角形,
    ∴∠PAH=∠PAF=30°,
    ∴PA= PH,
    ∵∠AHF=∠ABC=60°,
    ∴A,H,B,F四点共圆,
    ∴∠ABH=∠AFH=60°,
    ∴∠ABH=∠BAC=60°,
    ∴BH∥AC,
    ∵BD⊥AC,
    ∴BD⊥BH,
    由△HBP∽△POA,可知: = ,
    ∴OA= t,
    ∴ = t,
    ∴t=1.
    如图2﹣1中,当∠PAF=30°,易知∠BAP=90°,

    ∴PB= = =4,
    综上所述,t=1s或4s时,∠PAF=30°.
    故答案为1s或4s.
    【分析】(1)利用直角三角形30度角的性质解决问题即可.(2)①根据OQ=OA•tan19°,求出OA即可解决问题.②分两种情形:如图2-2中,当∠PAF=30°时,延长FP到H,使得PH=PF,连接AH,BH.如图2-1中,当∠PAF=30°,分别求解即可.(3)如图3中,作BM⊥AB交AC的延长线于M,作EH⊥AM于H,连接EM.证明△EAM∽△PAB,推出 =2,求出EM即可解决问题.
    50. (1)解:∵ = ,令y=0,得到 , ,
    ∴A(-1,0),B(3,0),
    ∵直线l经过点A,
    ∴ , ,
    ∴ ,
    令 ,即 ,
    ∵CD=4AC,
    ∴点D的横坐标为4,
    ∴ ,
    ∴ ,
    ∴直线l的函数表达式为

    (2)解:过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E( , ),则F( , ),

    EF= = ,
    S△ACE=S△AFE-S△CFE=
    = = ,
    ∴△ACE的面积的最大值为 ,
    ∵△ACE的面积的最大值为 ,
    ∴ , 解得

    (3)解:令 ,即 ,解得 , ,
    ∴D(4,5a),
    ∵ ,
    ∴抛物线的对称轴为 ,设P(1,m),
    ①若AD是矩形的一条边,则Q(-4,21a),m=21a+5a=26a,则P(1,26a),
    ∵四边形ADPQ为矩形,
    ∴∠ADP=90°,
    ∴ ,
    ∴ ,即 ,
    ∵ ,
    ∴ ,
    ∴P1(1, );

    ②若AD是矩形的一条对角线,则线段AD的中点坐标为( , ),Q(2, ),m= ,则P(1,8a),
    ∵四边形APDQ为矩形,∴∠APD=90°,
    ∴ ,
    ∴ ,即 ,
    ∵ ,∴ ,∴P2(1,-4).
    综上所述,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,点P的坐标为(1, )或(1,-4).

    【分析】(1)在 中,令y=0,得到 , ,得到A(-1,0),B(3,0),由直线l经过点A,得到 ,故 ,令 ,即 ,由于CD=4AC,故点D的横坐标为4,即有 ,得到 ,从而得出直线l的函数表达式;(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E( , ),则F( , ),EF= = ,S△ACE=S△AFE-S△CFE= = ,故△ACE的面积的最大值为 ,而△ACE的面积的最大值为 ,所以 , 解得 ;(3)令 ,即 ,解得 , ,得到D(4,5a),因为抛物线的对称轴为 ,设P(1,m),然后分两种情况讨论:①若AD是矩形的一条边,②若AD是矩形的一条对角线.




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