2019北京东城区初二（上）期末试卷

2019北京东城区初二（上）期末

                      数    学                               2019.1

一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为mm，数据用科学记数法表示正确的是（     ）

A．         B．       C．       D．

2．若分式有意义，则的取值范围是

A． B． C．且 D．一切实数

3．下列运算中，正确的是（   ）

A． B． C． D．

4.  2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是(   )

     A                      B                    C                   D

5. 3月14日是国际数学日，当天淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的

   对话内容如图所示，下列选项错误的是（　　）

A．　　　　　　B．

C． 　　　　　 D．

6.下列二次根式中，是最简二次根式的是                       （      ）

A.             B.               C.             D.

7．已知，则的值是（      ）

A．6               B．24              C．36              D．72

8.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一  个条件，那么在①AB=AE， ②BC=ED， ③∠C=∠D， ④∠B=∠E，这四个关系中可以选择的是

A．①②③           B．①②④      

C．①③④           D．②③④

9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为(　　)

A．2      B．4          C．6          D．8

10. 定义运算“※”： ．若，则的值为（     ）

A．      B．或10          C．10          D．或

二、 填空题（本题共6小题，11-15小题每小题2分，16小题4分，共14分）

11. 分解因式：=                            ．

12. 多项式（mx+8）（2-3x)展开后不含x项，则m=       ．

13．当x的值为               时，分式的值为0.

14. 课本上有这样一道例题：

请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是____________.

15． 如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为__________.

16． 已知在△ABC中，AB=AC．

（1）若∠A=36º，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是           ___________；

（2）若∠A≠36º， 当∠A=___________时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC）.（写出两个答案即可）

三、解答题（本题共12小题，共56分）

17．(本小题4分)

计算：．

18. （本小题6分）

 计算：

(1) ；                   (2) ．

19. (本小题3分)

在三个整式，，中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．

20. （本小题4分）

解分式方程：

21． （本小题4分）

先化简，然后a在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．

22. （本小题4分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3）， B（1，0）， C（1，2）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△；

（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标.

23. （本小题5分）

如图，点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量)，点A,D在l异侧，测得

AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．

24.（本小题5分）列方程解应用题：

港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作. 开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的1/6，求港珠澳大桥的设计时速是多少.

25. （本小题5分）

如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明.

26. （本小题4分）阅读下列材料,然后回答问题:

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

.

.（一）

还可以用以下方法化简：

＝.(二)　　

（1)请用不同的方法化简.

　参照（一）式得＝______________________________________________；

　 参照（二）式得＝_________________________________________；

（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：

1.求的值；

2.化简：.

27．（本小题6分）

（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.

小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.

请根据小明同学的思路直接写出DE的长.

（2）【类比探究】

老师引导同学继续研究：

1.等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D.请你在图（2）中补全图形并求DE的长.

2. 已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E， Q为                （BC边上；BC的延长线上；CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.(将答案的编号填在横线上)

图（1）                    图（2）             （备用图）

28. （本小题6分）

在平面直角坐标系xOy中，△为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P.

（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出的度数；

（2）如图2，将△绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为，60<<90，依题意补全图形，并求出的度数；（用含的式子表示）

（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系.（直接写出结果）

                图1                              图2

数学试题答案

一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

二、 填空题（本题共6小题，11-15题每小题2分，16小题4分，共14分）

11．；

12．12；

13．-2；

14．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义；

15．13； 

16.（1）36°，108°；（2），90°，108°.

三、 解答题（本题共12小题，共56分）

17．解：原式=                          …………………………3分

            =0  .                            …………………………4分

18．解：（1）原式=            …………………………2分

=  .             …………………………3分

（2）原式=          …………………………2分

=.             …………………………3分

19. 解：---------------------------------------------1分

        -------------------------------------------------2分

．----------------------------------------------3分

或

或

或

其他情况参照给分．

20. 解：去分母，得：

       4x+2(x+3)=7  .       ……………………………………………………1分

        化简，得：6x+6=7 .   …………………………………………………2分

        解得：.          …………………………………………3分

        检验：把代入最简公分母，2（x+3）≠0.

        所以是原分式方程的解.…………………………………………4分

21.  解：原式=           ……………………2分

=

=.                           ……………………3分

当时，=. ………………………4分

注意：如a取﹣2， 2，3没分.

22．解：（1）图略；………………………1分

（2）(0,3) ， ( 0,-1) ， (2,-1)  .             ………………………4分

23. 解：(1)证明：∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠DEF，---------------------------------------------------1分

又∵AB＝DE，∠A＝∠D，------------------------------------------2分

∴△ABC≌△DEF．---------------------------------------------------3分

  （2）解：∵△ABC≌△DEF，

∴BC＝EF. -------------------------------------------------------------4分

∴BF＋FC＝EC＋FC.

∴BF= EC.

∵BE=10m，BF=3m，

∴m．-------------------------------------------------------5分

24．解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x-40）千米/时.                                             ………………………1分

依题意，得.                        ………………………3分

解方程，得.                               ………………………4分

经检验：是原方程的解，且符合题意.

答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米.     ………………………5分

25. 解：AE与AF的位置关系是垂直.            ………………………1分

证明：∵ AE是△ACD的角平分线，

∴ . ………………………2分

∵ AE∥BC，

∴ .

∴.

∴ AB=AC.                          ………………………3分

又∵ F为BC中点，

∴ .        ………………………4分

∵

∴ .

∴ AE⊥AF.                      ………………………5分

26. 解：（1）. ………………………1分

. …………2分

（2）1.  2018；

         2. .                                 ………………………4分

27. 解：（1）DE=1.      ………………………1分

(2) 1. 正确补全图形.            ……………2分

过点P作PF∥BC交CA的延长线与点F.

∴ ∠PFA=∠C.

∵ △ABC是等边三角形，

∴ 可证 △APF为等边三角形.

∴ AP=PF.

又∵ PE⊥CA的延长线于点E ，

∴ AE=FE=.              ……………3分

∵ AP=CQ，

∴ PF=QC.

∵ ∠FDP=∠CDQ，

∴ △FDP≌△CDQ.           

∴ FD=CD=.             ……………4分

∵ DE=DF-EF=.     ……………5分

2. .                 ……………6分

28． 解：（1）120°；                ……………1分

（2）正确画出图形.              ……………2分

∵ ,

∴ . …………3分

∵ BO=BD,

∴ ∠OBD=∠ODB.

∴ .   ……………4分

（3）.                 ……………6分

说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.