2019北京石景山区初二（上）期末试卷

2019北京石景山区初二（上）期末
数 学 2019.1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．的算术平方根是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）



A
B
C
D
3．一个不透明的盒子中装有个红球，个白球和个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，
从中随机摸出一个小球，恰好是白球的可能性为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．且 C． D．且
6．实数在数轴上的位置如图所示， 则化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，中，，，点是的中点，过点
作交于点，连接．则的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线上的某点
处修建一个水泵站向，两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的
方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（ ）


A
B
C
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．写出一个比大的无理数： ．
10．如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长是 ．
11．一元二次方程的解为： ．
12．如图，点，，在同一条直线上，，请你只添加一个条件，
使得≌．
（1）你添加的条件是 ．
（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
（2）依据所添条件，判定与全等的理由是
．
13．已知关于的一元二次方程 有两
个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．如图，△中，，，，
点是的中点，则的长为 ．
15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学
的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直
角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐。问
水深、葭长各几何？”
译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长
出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好
与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”
（备注：1丈=10尺）
如果设水深为尺，那么芦苇长用含的代数式可表示为
尺，根据题意，可列方程为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，△可以看作是由△
经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由
△得到△的过程： ．
三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）
17．计算：


18．如图，点，，，在同一条直线上，，，∥． 求证：．




19．用适当的方法解方程：．


20．小石和小丁利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有，，，这些卡片除了字母 外完全相同．从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机 摸出一 张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则小石获胜，否则小丁获胜，这个游戏公平吗？ 请用画树状图或列表的方法说明理由．



21．如图，△中，，是边上的中线，于点．
求证：．

22．如图，在正方形网格中，若点的坐标是， 点的坐标是．
（1）依题意，在图中建立平面直角坐标系；
（2）图中点的坐标是 ，点关于轴对称的点
的坐标是 ；
（3）若点的坐标为，在图中标出点的位置；
（4）将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得
的点的坐标是 ， △的面积为 ．
23．下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．已知：如图1，．
图1
求作：射线，使它平分．
作法：如图2，
①以点为圆心，任意长为半径作弧，
交于点，交于点；
图2
②分别以点，为圆心，以大于
的同样长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线．
所以射线就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
在和中，
①

∴≌（ ② ）（填推理的依据）．
∴ ③ （全等三角形的 ④ 相等）．
即射线平分（角平分线定义）．
24．某地区为进一步发展基础教育，自年以来加大了教育经费的投入，年该地区投
入教育经费万元，年投入教育经费万元．
（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算年该地区
投入教育经费为 万元．
25．小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：
．
（3）证明你的猜想．
（4）应用运算规律．
①化简： ；
②若（，均为正整数），则的值为 ．
26．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点在上. 将△沿直线翻折，点恰好
落在轴上的点处.
（1）依题意在图中画出△；
（2）求点的坐标．




27．已知关于的一元二次方程 （为实数且）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．

28．是等边三角形，，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点，连接，作交射线于点．
（1）若点在线段上（不与点，点重合）．
①如图1，若点是线段的中点，则的长为 ；
②如图2，点是线段上任意一点，求证：；
（2）若点在线段的延长线上．
①依题意补全图3；
②直接写出线段，，之间的数量关系为： ．







数学试题答案
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
D
B
C
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．答案不唯一，如：．
10．或．
11．．
12．答案不唯一，如：（1）；
（2）有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；
或：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．
13．且．
14．．
15．；．
16．答案不唯一，如：将沿轴翻折，再将得到的三角形向下平移个单位长度．
三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）
17．解：原式 ………………………… 4分

． ………………………… 5分
18．证明：∵（已知），
∴（等量加等量，和相等）． ………………………… 2分
∵∥（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）． ………………………… 3分
在和中，

∴≌（）． ………………………… 4分
∴（ 全等三角形的对应边相等）． ………………………… 5分
19．解法一：． ………………………… 1分
． ………………………… 3分
． ………………………… 4分
∴ 方程的解为 ． ………………………… 5分
解法二：， ………………………… 1分
． ………………………… 3分
． ………………………… 4分
∴ 方程的解为 ． ………………………… 5分
20．解法一：
这个游戏不公平，理由如下： ………………………… 1分
⋯⋯⋯⋯⋯3分
两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：
第二次
第一次















两次摸卡片的所有可能出现的结果有个，且每个结果发生的可能性都相等，
其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有个，“两次摸到的卡片字母不相同” 的结果有个．
∴，． ………………………… 4分
∴．
∴这个游戏不公平． ………………………… 5分
解法二：
这个游戏不公平，理由如下： ………………………… 1分
两次摸出卡片所有可能出现的结果如下图所示：
第1次 第2次 出现的结果
A
A
A
B
A
A
A
B
B
A
A
B
（A，A）
（A，A）
（A，B）
（A，A）
（A，A）
（A，B）
（B，A）
（B，A）
（B，B）





………………………… 3分


两次摸卡片的所有可能出现的结果有个，且每个结果发生的可能性都相等，
其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有个，“两次摸到的卡片字母不相同”
的结果有个．
∴，． ………………………… 4分
∴．
∴这个游戏不公平． ………………………… 5分
21．证明：∵，（已知），
∴（等边对等角）， ……… 2分
（等腰三角形底边上的中线
与底边上的高互相重合）．……… 3分
又∵（已知），
∴，
（直角三角形的两个锐角互余）． ………………… 4分
∴（等角的余角相等）． ………………………… 5分
22．（1）如图． ………………… 1分
（2）；． ………………… 3分
（3）如图． ………………… 4分
（4）； ………………… 5分
． ………………… 6分
23．（1）补全的图形如图所示． …… 3分
（2）①； …… 4分
②； …… 5分
③，④对应角． …… 6分
24．（1）解：设该地区这两年投入教育经费的年
平均增长率为．根据题意，得 ………………………… 1分
． ………………………… 3分
解得，（不合题意，舍去） ………………………… 4分
∴．
答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为. …………… 5分
（2）． ………………………… 6分
25．（1）答案不唯一，如：． ………………………… 1分
（2）（为正整数）． ………………………… 2分
或：（为正整数且）．
或： （为正整数且）．
（3）证明：∵左边． …………… 3分
∵为正整数，
∴．
∴左边．
又∵右边，
∴左边=右边．
即． ………………………… 4分
另两种表达形式的证明：略．
（4）①． ………………………… 5分
②． ………………………… 6分
26．（1）如图． ………………………… 1分
（2）解：设． ………………………… 2分
由题意可得，．
∵与关于直线对称，
∴，．
在中，，
∴． ………………………… 3分
∴．
在中，，
∴．
即：．…………… 4分
解得． …………… 5分
∵点在上且在第一象限，
∴点的坐标是． ………………………… 6分
27．（1）证明：依题意，得 ………………………… 1分


． ………………………… 2分
∵，
∴方程总有两个实数根． ………………………… 3分
（2）解法一：∵， ………………………… 4分
∴，． ………………………… 5分
∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
∴或．
∴或． ………………………… 6分
解法二：由求根公式，得 ， …………… 4分
∴，． ………………………… 5分
∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数，
∴或．
∴或． ………………………… 6分
28．（1）①． ………………………… 2分
②证法一：
图1
作交于点，如图1． …… 3分
∵是等边三角形，
∴（等边三角形的三个角都是）．
∵点与点关于对称，
∴，
∴．
∴是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．
∴（等边三角形的三边都相等），
．
∵，，
∴（等量减等量，差相等）． ………………………… 4分
在和中，

∴≌（）．
∴（ 全等三角形的对应边相等）． ……………………… 5分
证法二：延长到点，使，连接，如图2． ……………… 3分
∵是等边三角形（已知），
图2
∴（等边三角形的三个角都是）．
∵点与点关于对称（已知），
∴．
∴．
在和中，

∴≌（）．
∴（全等三角形的对应边相等）， ……………………… 4分
（全等三角形的对应角相等）．
∵，
（对顶角相等），
∴（三角形内角和定理）．
∴（等量代换）．
∴（等角对等边）．
又∵（已证），
∴（等量代换）． ……………………… 5分
图3
证法三：
延长到点，使，
连接，如图3．
可证≌（）．
再证是等腰三角形．
证法四：
连接，在上截取，
连接，如图4．
可证≌（）．



图4 图5

证法五：
过点作交的延长线于点，于点，如图5．
图6
可证≌（）．
（2）①补全图形，如图6所示；……… 6分
②． ……… 7分