2020年中考数学真题分类汇编13：二次函数

2020年中考数学试题分类汇编之十三
二次函数
一、 选择题
10．（2020安徽）（4分）如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边，在同一条直线上，点，重合．现将在直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图象大致为　　

A． B．
C． D．
【解答】解：如图1所示：当时，过点作于．

和均为等边三角形，
为等边三角形．
，
．
当时，，且抛物线的开口向上．
如图2所示：时，过点作于．

，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：．
10.（2020福建）已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
10．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣）2+m﹣，
∴该抛物线顶点坐标是（，m﹣），
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m﹣﹣3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵m﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，
∴点（，m﹣﹣3）在第四象限；
故选：D．
6．（2020哈尔滨）（3分）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：；
故选：．
8．(2020杭州)（3分）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1-h)2+k8=a(8-h)2+k，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
当h＝4，则a＝1，故A错误；
当h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
当h＝6，则a=-13，故C正确；
当h＝7，则a=-15，故D错误；
选：C．
10．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
解：选项B正确．
理由：∵M1＝1，M2＝0，
∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，
∴a＝2，∵b2＝ac，
∴c=12b2，
在二次函数y3＝x2+cx+4中，
则有△＝c2﹣16=14b2﹣16=14（b2﹣64）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B正确，
故选：B．
12．(2020天津)已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①
②关于的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
答案:C
15.（2020河北）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（ ）

A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错
C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对
【答案】C
【详解】当b=5时，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b=4时，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b=3时，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
6.（2020江西）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
将抛物线配方可得，∴对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点坐标分别为，∴B（3,0）与轴交点，∴OA=3，OB=4
根据平移的规律可得且，∴，代入抛物线可得，直线AB的解析式为，根据∥可得直线的解析式为，再将代入可得，∴直线的解析式为，故选B
11（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米。若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）.
A. 米 B.米 C.米 D.7米
【解析】答案：B.
解：以大孔的对称轴为轴，以刚好淹没时水面高度为轴建立平面直角坐标系。如图：则A(5,0),G(0,1.5),所以大孔所在抛物线的解析式可求得为：，设小孔所在抛物线为。当大孔大孔水面宽度为14米时，如图C点的横坐标是7，所以C点坐标为（7，），此时F、H点的纵坐标为：。代入中，得到：，由此时水面宽度为4米，得：，解得,(舍去）.∴。当大孔水面宽度为20米时，即H点坐标为：（10，）。所以有：。此时有：
。此时小孔水面宽度为：。故选B.
10.（2020贵阳）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A. 或0 B. 或2 C. 或3 D. 或4
【答案】B
【详解】二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
10．（2020贵州黔西南）（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x=52，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　）

A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a=-16 D．OC•OD＝16
解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，
∴A（0，4），
∵对称轴为直线x=52，AB∥x轴，
∴B（5，4）．
故A无误；
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，

则BE＝4，AB＝5，
∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，
∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝5，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），
∵对称轴为直线x=52，∴D（﹣3，0）
∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，
∴AD＝5，∴AB＝AD，
故B无误；
设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），
将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），
∴a=-16，故C无误；
∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．
综上，错误的只有D．
故选：D．

8.（2020山东青岛）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
解：由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·

12.（2020长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )

A. 3.50分钟 B. 4.05分钟 C. 3.75分钟 D. 4.25分钟
解：将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:

②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣02．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
10．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
8．（2020新疆生产建设兵团）（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．B．C．D．
解：因为二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的正半轴，得出c＞0，利用对称轴x=-b2a＞0，得出b＜0，
所以一次函数y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y=cx经过一、三象限，
故选：D．
9．（2020四川南充）（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　）

A．19≤a≤3 B．19≤a≤1 C．13≤a≤3 D．13≤a≤1
【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a=19，
观察图象可知19≤a≤3，
故选：A．
10．（2020四川南充）（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则-43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜-54或a≥1．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=-4a2a=2，
∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，
∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；
故①正确；
当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴1≤a＜43，
若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴-43＜a≤﹣1，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，
∴16a2+20a＞05a-5≥0，
∴a≥1，
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，
∴16a2+20a＞05a-5≤0，
∴a＜-54，
综上所述：当a＜-54或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故选：D．
10．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CD⊥AB于点D， ∴AD＝BD＝2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝2﹣x，
∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
y＝PE•CE＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，
∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，
∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，
y＝（4﹣x）2＝（x﹣4）2．
∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．

6．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
解：∵二次函数，y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，解得：a＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
∴两根之积为，
故选：D．
7．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（　　）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：，
若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵，开口向上，∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
20．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，抛物线与轴正半轴交于，两点，与轴负半轴交于点．若点，则下列结论中，正确的个数是　　
①； ②； ③，与，是抛物线上两点，若，则；
④若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则；⑤若，则．

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如图，抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，
，，，，
，故①正确；
如图，抛物线过点，点在轴正半轴，
对称轴在直线右侧，即，
，又，，故②正确；
，与，是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，随的增大而增大，
在上，随的增大而减小，
不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线，则，即，
则，
，故④正确；，则点的横坐标大于0或小于等于1，
当时，代入，，
当时，，，
则，整理得：，则，又，，
，故⑤正确，
故正确的有4个．
故选：．
8．（2020四川遂宁）（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）

A．b2＞4ac B．abc＞0 C．a﹣c＜0 D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，-b2a=-1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，
∴abc＞0，故B选项不合题意，
当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，
故选：C．
12．(2020山东枣庄)（3分）如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：
①； ②； ③； ④．
其中，正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：抛物线开口向下，，对称轴为，因此，与轴交于正半轴，因此，
于是有：，因此①正确；
由，得，因此③不正确，
抛物线与轴有两个不同交点，因此，②正确，
由对称轴，抛物线与 轴的一个交点为，对称性可知另一个交点为，因此，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：．
8．（2020湖南岳阳）（3分）（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（　　）
A．0＜x1x3＜1 B．x1x3＞1 C．0＜x2x4＜1 D．x2x4＞1
【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

∵抛物线的对称轴为直线x=--102×(-1)=-5，
∴x3＜x1＜﹣5，
由图象可知：0＜x1x3＜1一定成立，
故选：A．
12．（3分）（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（　　）
A．﹣4 B．0 C．2 D．6
【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），
∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，
∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，
∴m的最大值为6，
故选：D．
7．（3分）（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．
其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴-b2a=2，∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，
由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，故选：B．
12．（2020贵州遵义）（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），
∴抛物线与直线y＝2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴4ac-b24a=3，∴b2+12a＝4ac，
∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，
∴b2+3b＝4ac，
∵a＜0，∴b＝4a＜0，
∴b2+2b＞4ac，所以④正确；
故选：C．
9．（2020山西）（3分）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5， 选：C．
10．（2020四川自贡）（4分）函数y=kx与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）

A．B． C．D．
解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，
∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，
故选：D．
11．（2020山东滨州）（3分）对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为　　

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：①由图象可知：，，
，
，
，故①错误；
②抛物线与轴有两个交点，
，，故②正确；
③当时，，故③错误；
④当时，，，故④正确；
⑤当时，的值最小，此时，，
而当时，，所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，随的增大而减小，故⑥错误，
故选：．
11．（2020四川眉山）（4分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3
解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0
解得：a≥﹣2；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而减小，
∴a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．
故选：D．
9．（2020山东泰安）（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C．D．
选：C．
9．（2020浙江宁波）（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（　　）

A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．c﹣a＞0
D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x＝﹣1，所以-b2a＜0，所以b＞0，
∴abc＞0，故A错误∵；
∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故B错误；
∵-b2a=-1，
∴b＝2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣2a+c＜0，
∴c﹣a＜0，故C错误；
当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，
故选：D．
9．（2020浙江温州）（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
解：抛物线的对称轴为直线x=--122×(-3)=-2，
∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
10．（4分）（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（　　）
A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2
C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定
【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．
又∵ab＜0，∴b＜0，
∵x1＜x2，x1+x2＝0，
∴x2＝﹣x1，x1＜0．
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，
∴y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c=ax12-bx1+c．
∴y1﹣y2＝2bx1＞0．
∴y1＞y2．
故选：B．


二、 填空题
16．（2020哈尔滨）（3分）抛物线的顶点坐标为　　．
【解答】解：抛物线是顶点式，
顶点坐标是．
故答案为：．
16．（2020南京）（2分）下列关于二次函数为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是　①②④　．
【解答】解：①二次函数为常数）与函数的二次项系数相同，
该函数的图象与函数的图象形状相同，故结论①正确；
②在函数中，令，则，
该函数的图象一定经过点，故结论②正确；
③，
抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故结论③错误；
④抛物线开口向下，当时，函数有最大值，
该函数的图象的顶点在函数的图象上．故结论④正确，
故答案为①②④．
17.（2020无锡）二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为__________．
解：对，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），
抛物线的对称轴是直线：，
当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∠MFB=∠BOA=90°，
∴△BFM∽△AOB，
∴，即，解得：BF=3，
∴OF=6，
∴点M的坐标是（，6）；

当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则，
同上面的方法可得△BAE∽△AMH，
∴，即，解得：AH=9，
∴点M的坐标是（，﹣9）；

综上，点M的坐标是或．
15.（2020无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________．
解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，
∴对称轴为x==0，
∴b=0，
∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一）
故答案是：y=x2（答案不唯一）
12.（2020山东青岛）抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________．
解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
15.（2020湖北武汉）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：
①一元二次方程的根为，；
②若点，在该抛物线上，则；
③对于任意实数，总有；
④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．
其中正确的结论是________（填写序号）．
解：抛物线经过，两点
一元二次方程的根为，，则结论①正确
抛物线的对称轴为
时的函数值与时的函数值相等，即为

当时，y随x的增大而减小
又
，则结论②错误
当时，
则抛物线的顶点的纵坐标为，且
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上
即恒成立
则对于任意实数，总有，即，结论③正确
将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为
函数对应的一元二次方程为，即
因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或
对应的的值只有三个，则结论④错误
综上，结论正确的是①③
故答案为：①③．
12．（2020上海）（4分）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　y＝x2+3　．
【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．
故答案为：y＝x2+3．
10．（2020宁夏）（3分）若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是　k＞﹣1　．
6．（2020黑龙江牡丹江）（3分）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是　　．
【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，
表达式为：，
经过点，代入得：，
则，
故答案为：．
22．（2020黑龙江牡丹江）（6分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．已知，．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）抛物线的对称轴与轴交于点，连接，的垂直平分线交直线于点，则线段的长为　　．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，．

【解答】解：（1）抛物线经过，代入得：，解得：，
抛物线表达式为：，
顶点的坐标为；
（2）直线为抛物线对称轴，
，
，，
，
垂直平分，，，
，，
，即，
解得：，
，

故答案为：．
13．（2020江苏连云港）（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：满足函数表达式，则最佳加工时间为　3.75　．
【解答】解：根据题意：，
当时，取得最大值，
则最佳加工时间为．
故答案为：3.75．
17．（3分）（2020•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为　①④　．

【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②△ABC的面积=12AB•yC=12×AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则12（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故②错误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
18．（3分）（2020•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为-1a．
其中正确结论的序号是　②③④　．

解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，
∴ab＜0，故①错误；
②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，∴a+b﹣1＝0，故②正确；
③∵a+b﹣1＝0，∴a﹣1＝﹣b，
∵b＜0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故③正确；
④∵抛物线与与y轴的交点为（0，﹣1），
∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为-1a，故④正确；
故答案为②③④．
17．（2020山东泰安）（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　①③④　．（把所有正确结论的序号都填上）
解：将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，
16a-4b+c=0c=-44a+2b+c=6，解得，a=1b=3c=-4，
∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4，
a＝1＞0，因此①正确；
对称轴为x=-32，即当x=-32时，函数的值最小，因此②不正确；
把（﹣8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；
方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；
正确的结论有：①③④，




三、 解答题
24.（2020北京）小云在学习过程中遇到一个函数.
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，
对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；
对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 .
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：

0

1

2

3


0



1



综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大.在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象.

（3）过点（0，m）（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是
.
【解析】（1）减小，减小，减小
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线即可

（3）当时，，∴的最大值为

26.（2020北京）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中.
（1）若抛物线的对称轴为，当为何值时，
（2）设抛物线的对称轴为.若对于，都有，求的取值范围.
【解析】（1）抛物线必过（0，c），∵，∴点M，N关于对称，
又∵，∴
（2）情况1：当恒成立
情况2：当恒不成立
情况3：当要，必有
∴∴
22．（2020安徽）（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
（1）判断点是否在直线上，并说明理由；
（2）求，的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【解答】解：（1）点是在直线上，理由如下：
直线经过点，
，解得，
直线为，
把代入得，
点在直线上；
（2）直线与抛物线都经过点，且、两点的横坐标相同，
抛物线只能经过、两点，
把，代入得，
解得，；
（3）由（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．

28．（2020成都）（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，

，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
（3）符合条件的点的坐标为或．
，
直线的解析式为，
设，
①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，

，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
．
②当点在直线左侧时，
由①的方法同理可得点的坐标为，．
此时点的坐标为．
25．（2020广州）（本小题满分14分）
平面直角坐标系xOy中，抛物线G: 过点A（1，），B（x1，3），C（x2，3），顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为，．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标；
（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为，求在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．
【详解过程】（1）∵ 过点A（1，），
∴
∴。
（2） ∵
∴抛物线的对称轴为＝＝3.
∵B（x1，3），C（x2，3）
∴点B、C关于对称轴对称，BC=6
∴设BC交y轴于点M,则OM=3。
∴==
==
∵
∴=+
∴BE=CE+1
∵BE+CE=6，即
∴BE=,CE=
当B在C左侧时，如图，有：,即
则有E点坐标是（，3）.
当B在C右侧时，同理可求得点E的坐标是是（，3）
综上所述，点E的坐标为（，3）或（，3）.
（3） ∵
∴F的横坐标为
∴E点在抛物线对称轴的右侧，
点E的坐标为（，3）.
∴设二次函数解析式为：。
D（3，），E（，3），F，）
∵设直线DE为，又因F在直线DE上
∴解得：
∴二次函数的解析式为：。
当1＜x＜6时，0＝
即：。
综上所述：当1＜x＜6时，的取值范围是：。
E点在抛物线对称轴的右侧，
点E的坐标为（，3）.
∴设二次函数解析式为：。
D（3，），E（，3），F，）
∵设直线DE为，又因F在直线DE上
∴解得：
∴二次函数的解析式为：。
当1＜x＜6时，0＝
即：。
综上所述：当1＜x＜6时，的取值范围是：。
E点在抛物线对称轴的右侧，
点E的坐标为（，3）.
∴设二次函数解析式为：。
D（3，），E（，3），F，）
∵设直线DE为，又因F在直线DE上
∴解得：
∴二次函数的解析式为：。
当1＜x＜6时，0＝
即：。
综上所述：当1＜x＜6时，的取值范围是：。

25.（2020福建）已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线，求证：当时，；
（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为．
解：（1）对于，
当时，，所以；
当时，，，所以，
又因为，所以或，
若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．
若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为，
依题意，二次函数的图象过，两点，
所以，解得
所求二次函数的表达式为．
（2）当时，直线与直线不重合，
假设和不平行，则和必相交，设交点为，
由得，
解得，与已知矛盾，所以与不相交，
所以．
（3）如图，

因为直线过，所以，
又因为直线，所以，即，
所以，，
所以，所以，
设，则，
，
所以，
所以


所以当时，的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．
24．（2020陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．

22．(2020杭州)（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（1r，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【解答】解：（1）由题意，得到-b2=3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2或3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴1+br+ar2=0，
即a（1r）2+b•1r+1＝0，
∴1r是方程ax2+bx+1的根，
即函数y2的图象经过点（1r，0）．
（3）由题意a＞0，∴m=4a-b24，n=4a-b24a，
∵m+n＝0，
∴4a-b24+4a-b24a=0，
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
25．(2020天津)已知点是抛物线（，，为常数，，）与轴的一个交点．
（I）当，时，求该抛物线的顶点坐标；
（II）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴的交点为，过点作直线平行于轴，是直线上的动点，是轴上的动点，．
①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求点的坐标；
②取的中点，当为何值时，的最小值是？
解：（1）当，时，抛物线的解析式为．
抛物线经过点，
．
解得．
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点坐标为．
（II）①抛物线经过点和，，
，
，．
抛物线的解析式为．
根据题意，得点，点．
过点作于点
由点，得点．
在中，，，
．
，
．
解得．
此时，点，点，有．
点在轴上，
在中，
点的坐标为或．
②由是的中点，得
根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上．
由点，点，得，
在中，．
当，即时，满足条件的点落在线段上，
的最小值为，
解得；
当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，
的最小值为，
解得
当的值为或时，的最小值是

21（2020河南）.如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点G的坐标；
点为抛物线上两点(点在点的左侧) ，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．

【答案】（1），G（1,4）；（2）﹣21≤≤4.
【解析】
【分析】
（1）根据用c表示出点A的坐标，把A的坐标代入函数解析式，得到一个关于c的一元二次方程，解出c的值，从而求出函数解析式，求出顶点G的坐标．
（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N到对称轴的距离，判断出M,N的横坐标，进一步得出M,N的纵坐标，求出M,N点的坐标后可确定的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线与轴正半轴分别交于点B，
∴B点坐标为（c，0），
∵抛物线经过点A，
∴﹣c2+2c+c=0，
解得c1=0（舍去），c2=3，
∴抛物线的解析式为
∵=﹣（x－1）2+4，
∴抛物线顶点G坐标为（1,4）．
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度 ，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6，
点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21，
又∵点M在点N的左侧，
∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤4
当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤﹣5，
∴的取值范围为﹣21≤≤4．



22.（2020江西） 已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…
-2
-1
0
1
2
…

…

0
-3

-3
…
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
（2）求抛物线的表达式及的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，，，之间的数量关系 .



【解析】（1）上；直线
（2）由表格可知抛物线过点（0，-3）.∴
将点（-1,0），（2，-3）代入，得解得，∴
当时，
当时，
（3）如图所示，点所在曲线是抛物线.
（4）


24(2020苏州）.如图，二次函数的图像与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点．

（1）求的值；
（2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点、．若，求、的值．
【答案】（1）；（2）或
【详解】解：（1）∵直线与抛物线的对称轴交于点，
∴抛物线的对称轴为直线，
即，
∴．
（2）由（1）得：抛物线的解析式为，
把代入抛物线的解析式，
得，
解得或3，
∴、两点的坐标为，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴或，
由，解得
由解得
∴、的值为或．

26.（2020乐山）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．

【答案】（1）；（2）①；②．
解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，
∴，
又∵，
∴，
即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，
∴ 解得
即直线的解析式为 ，
设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积
∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，

∴，
过点作于，则在中，
，
∴，
再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，即，
∴的最小值为．
25．（2020南京）（8分）小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第时，小丽、小明离地的距离分别为、．与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是．
（1）小丽出发时，小明离地的距离为　250　．
（2）小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【解答】解：（1），，
当时，，，
小丽出发时，小明离地的距离为，
故答案为：250；
（2）设小丽出发第时，两人相距，则
，
当时，取得最小值，此时，
答：小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是．
24.（2020四川绵阳）（本题满分12分）

如图，抛物线过点A(0,1)和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点B(,0).平行于轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形。
（1） 求点F的坐标及抛物线的解析式。
（2） 若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积最大值。
（3） 在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A、C、Q、R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标。
备用图


【解析】解：（1）设直线AC为，
∵A(0,1),B(,0)在直线AC上，
∴,解得：。
∴直线AC的解析式为：。
∵点F在直线AC上，且点F的横坐标是。
∴点F的纵坐标为：＝。
∴点F的坐标为（，）。
设D点坐标为（，），
∵四边形BDEF为平行四边形，所以DB=EF
∴E点坐标为（，）
设抛物线为，将A（0，1），（，）代入解析式中，得：，即
(2)题解答图
∴抛物线的解析式为：即：。
（2）设P点坐标为（，）。因为△PAB面积最大，则过点P作AB的平行线，则与二次函数的交点是唯一的公共点。
∵直线AC的解析式为：，设的解析式为：。
∴联立二次函数与直线的解析式为：
∴。
当时，方程有唯一解。即，解得：b=.
∴直线的解析式为：。
点P的坐标为：（，）。
设与轴交于点H，则H的坐标为（0，）。过H作HM⊥AC于M
∴AH=-1=。∵∠HAM=∠OAC=60°。
∴在RT△HAM中，HM=AHsin60°=×=.
∵AB=2.
∴==.
24题（3）解答图1
综上所述：点P的坐标为：（，），△PAB面积最大值是。
（3）∵直线AC的解析式为：。
∴联立AC的解析式和二次函数的解析式得：，解得：，。
∴C点坐标为（，），AC=.
过C作CM⊥对称轴，过R作RN⊥对称轴,所以有：∠BCM=∠QRN=30°。CM=,BM=.
24题（3）解答图2
设R点坐标为：（，），所以RN=,
在RT△RQN中，cos30°=,即：，解得：，
∴R点的坐标是：( , ),( , )
此时对应Q点坐标是：（，）,(,)
24.（2020贵阳）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9-15表示）
时间（分钟）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人数（人）
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810


（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】（1）；（2）队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（3）至少增加2个检测点
【解析】
【分析】
（1）先根据表中数据的变化趋势猜想：①当时，是的二次函数．根据提示设出抛物线的解析式，再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求函数解析式，再检验其它数据是否满足解析式，从而可得答案；
（2）设第分钟时的排队人数是，列出与第分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多人数，利用检测点的检测人数列方程求解检测时间；
（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可得答案．
【详解】解：（1）根据表中数据的变化趋势可知：
①当时，是的二次函数．
∵当时，，
∴二次函数的关系式可设为．
当时，；当时，．
将它们分别代入关系式得
解得．
∴二次函数的关系式为．
将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足．
②当时，．
∴与的关系式为．
（2）设第分钟时的排队人数是，根据题意，得

①当时，．
∴当时，．
②当时，，随的增大而减小，
∴．
∴排队人数最多时是490人．
要全部考生都完成体温检测，根据题意，
得，
解得．
∴排队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
（3）设从一开始就应该增加个检测点，
根据题意，得，
解得．
∵是整数，
∴的最小整数是2．
∴一开始就应该至少增加2个检测点．
26．（2020贵州黔西南）（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出OA＝OC＝6，进而得出∠OAC＝45°，进而判断出PD＝PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，即可得出结论；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），
∴a-b+6=036a+6b+6=0，
∴a=-1b=5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x-52）2+494，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（52，494）；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD+PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，
∵A（6，0），C（0，6），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），
∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，
∴P（3，12）；

（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴，
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
当x=52时，y=72，
∴F（52，72），
∴点N的纵坐标为72，
设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），
∴﹣m2+5m+6=72，解得，m=5+352或m=5-352，
∴点N的坐标为（5+352，72）或（5-352，72）．

24（2020湖北黄冈）.网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，解：（1）当，即，
．
∴当时，

当时，
．

（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．

∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：

．
又，
．

．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．

，
．
又，
．
22.（2020湖北武汉）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系，当时，；当时，．城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求，的值；
（2）当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？
（3）从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，直接写出，两城总运费的和的最小值（用含有的式子表示）．
【答案】（1），；（2）A城生产20件，B城生产80件；（3）当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．
（1）由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即时，
则，解得
故，；
（2）由（1）得：
设，两城生产这批产品的总成本的和为
则
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为6600万元
此时
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）设从A城运往C地的产品数量为件，，两城总运费的和为，则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件
由题意得：，解得

整理得：
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当时，在内，随的增大而减小
则时，取得最小值，最小值为
②当时，在内，随的增大而增大
则时，取得最小值，最小值为
答：当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元．

25（2020湖北黄冈）.已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为；（4）存在，点K的坐标为
解：（1）方法1：设抛物线的解析式为
将点代入解析式中，则有．
∴抛物线的解析式为．
方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，
将代入解析式中，则有
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2），
．
．
．
．
的坐标为．
又点坐标为．
直线的解析式为．
（3）．
∴顶点D的坐标为．
①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：
，即．
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：
，即
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
∴综合得：点P的坐标为
（4）∵点A或点B关于对称轴对称
∴连接与直线交点即为F点．
∵点H的坐标为，点的坐标为，
∴直线BH的解析式为：．
令，则．
当点F的坐标为时，的值最小．11分
设抛物线上存在一点，使得的值最小．
则由勾股定理可得：．
又∵点K在抛物线上，

代入上式中，

．
如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为．
∴点S的坐标为．
则．

（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
．

当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小．
又∵点G的坐标为，
，将其代入抛物线解析式中可得：．
∴当点K的坐标为时，最小．

26.（2020无锡）有一块矩形地块，米，米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米、60 元/米、40元/米，设三种花卉的种植总成本为元．

（1）当时，求种植总成本；
（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，求三种花卉的最低种植总成本．
解：（1）当时，，，
故
；
（2），，参考（1），由题意得：；
（3），
同理，
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，
，
解得：，
故，
而随的增大而减小，故当时，的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
28.（2020无锡）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图像于点，，点在该二次函数的图像上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．

（1）若点的横坐标为8．
①用含的代数式表示的坐标；
②点能否落在该二次函数的图像上？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．
解：（1）①点在的图象上，横坐标为8，
，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
，；
②假设能在抛物线上，
，
直线的解析式为，
点在直线上，纵坐标为，
，
的中点的坐标为，，
，，把点坐标代入抛物线的解析式得到．
（2）①当点在轴右侧时，设，所以直线解析式为，
∴，
，
直线的解析式为，可得，，
，，代入抛物线的解析式得到，，
解得，
直线的解析式为．
②当点在轴左侧时，即为①中点位置，
∴直线解析式为；
综上所述，直线的解析式为或．

24.（2020长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”
①（ ） ②（ ） ③（ ）
（2）若点与点关于x“H函数” 的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求的值域或取值范围；
（3）若关于x的“H函数” （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．
【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）2＜＜2．
解：（1）①是 “H函数”②是 “H函数”③不是 “H函数”；
故答案为：√；√；×；
（2）∵A,B是“H点”
∴A,B关于原点对称，
∴m=4,n=1
∴A(1,4），B（-1，-4）
代入
得
解得
又∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴-＞2
∴-＞2
∴-1＜a＜0
∵a+c=0
∴0＜c＜0，
综上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；
（3）∵是“H函数”
∴设H点为（p,q）和（-p,-q）,
代入得
解得ap2+3c=0,2bp=q
∵p2＞0
∴a,c异号，
∴ac＜0
∵a+b+c=0
∴b=-a-c，
∵
∴
∴
∴c2＜4a2
∴＜4
∴-2＜＜2
∴-2＜＜0
设t=，则-2＜t＜0
设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0）
∴x1, x2是方程=0的两根
∴
=
=
=
=2
=
又∵-2＜t＜0
∴2＜＜2．
22.（2020山东青岛）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．

（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？
解：（1）由题可知D（2,0），E（0,1）
代入到
得
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y=
∴N（1，）
∴MN=m，
∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=，
则一扇窗户的价格为×50=75元
因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；
（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000,
∵一个月最多生产160个，
∴100+20×≤160
解得n≥620
∵-2＜0
∴n≥620时，w随n的增大而减小
∴当n=620时，w最大=19200元．
24．（2020齐齐哈尔）（（14分）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　y＝x+4　，点M的坐标为　（﹣2，﹣2）　，cos∠ABO＝　22　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　（﹣2，2）或（0，4）　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：12×16-4b+c=012×4+2b+c=6，解得b=2c=0，
故直线AB的表达式为：y=12x2+2x；

（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；
则∠ABO＝45°，故cos∠ABO=22；
对于y=12x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，
则yPyC=13或23，即yP6=13或23，解得：yP＝2或4，
故点P（﹣2，2）或（0，4）；
故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；22；（﹣2，2）或（0，4）；

（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则4k+b=0-2k+b=-2，解得k=13b=-43，
故直线A′M的表达式为：y=13x-43，
令x＝0，则y=-43，故点Q（0，-43）；

（4）存在，理由：
设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；
综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
24.（2020湖北武汉）将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．

（1）直接写出抛物线，的解析式；
（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．
【答案】（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；
（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；
（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．
【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，
抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．
（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，

∵是等腰直角三角形，
∴∠BOA =45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A、B、O、D四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴DC=AC．
∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，
∴抛物线的对称轴为x=2，
设点A的坐标为（x，x2-4x-2），
∴DC=x-2，AC= x2-4x-2，
∴x-2= x2-4x-2，
解得：x=5或x=0（舍去），
∴点A的坐标为（5，3）；
同理，当点B、点A在x轴的下方时，
x-2= -(x2-4x-2)，
x=4或x=-1（舍去），
∴点的坐标为（4，-2），
综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．
（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，
∴，
∴x2-kx-6=0，
设点E横坐标为xE，点F的横坐标为xF，
∴xE+xF=k，
∴中点M的横坐标xM==，
中点M的纵坐标yM=kx=，
∴点M的坐标为（，）；
同理可得：点N的坐标为（，），
设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），
将M（，）、N（，）代入得：
，
解得：，
∴直线MN的解析式为y= ·x+2（），
不论k取何值时（），当x=0时，y=2，
∴直线经过定点（0，2）．
25.（2020重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，
解：（1）∵抛物线过，
∴
∴
∴
（2）设，将点代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F

设点，则
由铅垂定理可得




∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；

设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，
24．（2020上海）（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【解答】解：（1）针对于直线y=-12x+5，
令x＝0，y＝5， ∴B（0，5），
令y＝0，则-12x+5＝0，∴x＝10， ∴A（10，0），
∴AB=52+102=55；

（2）设点C（m，-12m+5），
∵B（0，5）， ∴BC=m2+(-12m+5-5)2=52|m|，
∵BC=5， ∴52|m|=5，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上， ∴m＝2， ∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得100a+10b=04a+2b=4，
∴a=-14b=52，
∴抛物线y=-14x2+52x；

（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入y=-12x+5中，得y=-12×5+5=52，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜52，
∴-110＜a＜0；
25. （2020重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A点坐标为(-2,0)，直线BC的解析式为y=-23x+2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.









提示：（1）易得B(32,0)，C(0,2)，又A(-2,0)，
所以易求抛物线的解析式为y=-13x2+223x+2；
（2）易求AD的解析式为y=-23x-23，进而D(42,-103).CD的解析式为：y=-223x+2.则CD与x轴的交点F为(322,0).所以易求△BCD的面积为42，设E(x, -13x2+223x+2)，则SBECD的面积=12×32×-13x2+223x+2--23x+2+42=-22x2+3x+42，
当x=322时，四边形BECD面积最大，其最大值为2524，此时E(322,52).
（3）存在.N的坐标为(-322，76)，或(-22，52)，或(722，-112).
注：抛物线y=-13x2+223x+2的顶点是(2，0)，设M(2，m)，N(xn，yn)，又A(-2,0)，E(322,52)，易求平移后抛物线解析式为y=-13x2+83.
根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类：
①当AM为对角线时，则xn+322=2+(-2)，
解得xn=-322，代入解析式得yn=76.
所以N(-322，76)，如图
对角线交点坐标为(0,116)，M坐标为(2,113)


②当AE为对角线时，则xn+2=322+(-2)，
解得xn=-22，代入解析式得yn=52.
所以N(-22，52)，如图
对角线交点坐标为(24,54)，M坐标为(2,0)


③当AN为对角线时，则xn+(-2)=2+322，
解得xn=722，代入解析式得yn=-112.
所以N(722，-112).如图
对角线交点坐标为(524,-114)，M坐标为(2,-8)

23．（2020新疆生产建设兵团）（13分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．
①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使S△A′MN=56S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
∴OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，
∴B（3，﹣1），
把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，

（2）①如图1中，

∵B（3，﹣1），
∴直线OB的解析式为y=-13x，
∵A（1，3），
∴C（1，-13），
∵P（1，m），AP＝PA′，
∴A′（1，2m﹣3），
由题意3＞2m﹣3＞-13，
∴3＞m＞43．

②∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，
∵P（1，m），
∴M（m3，m），N（5-m2，m），
∴MN=5-m2-m3=15-5m6，
∵S△A′MN=56S△OA′B，
∴12•（m﹣2m+3）•15-5m6=56×12×|2m﹣3+13|×3，
整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|
解得m＝6+19（舍弃）或6-19，
∴满足条件的m的值为6-19．
23．（2020四川南充）（10分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）

【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=-14，b=19，
∴z=-14x+19，
∴z关于x的函数解析式为z=16，(0＜x≤12)z=-14x+19，(12＜x≤20)．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（-14x+19﹣10）（5x+40）
=-54x2+35x+360
=-54（x﹣14）2+605，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
25．（2020四川南充）（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
∵二次函数图象过点C（0，4），
∴4＝a（0+2）（0﹣4），
∴a=-12，
∴二次函数的解析式为y=-12（x+2）（x﹣4）=-12x2+x+4；
（2）存在，
理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，

∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，
∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC=(4-0)2+(0-4)2=42，
设直线BP解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：2=-k+b0=4k+b，
解得：k=-25b=85
∴直线BP的解析式为：y=-25x+85，
∵∠BMC＝90° ∴点M在以BC为直径的圆上，
∴设点M（c，-25c+85），
∵点Q是Rt△BCM的中点， ∴MQ=12BC＝22，
∴MQ2＝8，
∴（c﹣2）2+（-25c+85-2）2＝8， ∴c＝4或-2429，
当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，
∴c=-2429，则点M坐标（-2429，5629），
故线段PB上存在点M（-2429，5629），使得∠BMC＝90°；
（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，

∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，
∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，
∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴DE＝BE=BD2=322，
∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4=32，∴n=52，∴点E（52，32），
在Rt△DNE中，NE=DEtanθ=32253=9210，
①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），
∵NE＝BN﹣BE，∴9210=2（4﹣m）-322，
∴m=85，∴点N（85，125），
∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，
联立方程组可得：y=4x-4y=-12x2+x+4，
解得：x1=2y1=4或x2=-8y2=-36，
∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；
②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），
∵NE＝BE﹣BN，
∴9210=322-2（4﹣m），
∴m=175，
∴点N（175，35），
∴直线DK解析式为：y=14x-14，
联立方程组可得：y=14x-14y=-12x2+x+4，
解得：x3=3+1454y3=-1+14516或x4=3-1454y4=-1-14516，
∴点K坐标为（3+1454，-1+14516）或（3-1454，-1-14516），
综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（3+1454，-1+14516）或（3-1454，-1-14516）．
25.(2020甘肃定西）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验.下表是一个函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：

…
0
1
2
3
4
5
…

…
6
3
2
1.5
1.2
1
…

（1）当_________时，；
（2）根据表中数值描点，并画出函数图象；

（2） 观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：____________________________________.
解：（1）3；
（2）

（3）性质写出一条即可.如：函数值随的增大而减小.
28.(2020甘肃定西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且.点是第三象限内抛物线上的一动点.

（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标.
解：（1）由可得点，即.
∵，∴，.
把，两点坐标代入，解得，，
∴抛物线的表达式为.
（2）∵，，∴点的纵坐标为－2，
∴.
解得，（舍）.
∴
（3）设直线的表达式为（），
把代入可得，
∴直线的表达式为.
过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点；
过点作，为垂足.
设点（），则点，
∴.
∴

∴当时，.

故点.

23．（2020辽宁抚顺）（12分）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤15，且x为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系为y＝﹣5x+150；

（2）根据题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5（x﹣20）2+500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∴当x＜20时，w随着x的增大而增大，
∵10≤x≤15且x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
即：w＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．
26．（2020辽宁抚顺）（14分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，
得到， 解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．

（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，
∴顶点B（3，﹣3），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝3，
∴tan∠MOB＝＝，∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM•tam30°＝，
∴N（3，﹣），
∴直线ON的解析式为y＝﹣x，
由，解得或，
∴D（5，﹣）．

（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（，﹣），E（3，﹣），利用平移的性质可得H（，）．

如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意EF＝BF，可得F（2，﹣2），利用平移的性质可得H（，﹣）．

如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，﹣），G（，﹣），利用平移的性质，可得H（，﹣）．

综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣）．
25．（2020吉林）（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）AP的长为　2x　cm（用含x的代数式表示）．
（2）当点D落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，
∴AP的长为2xcm； 故答案为：2x；
（2）当点D落在BC上时，如图1，
BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，

∵PQ⊥AB， ∴∠QPA＝90°，
∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，
∴∠BPD＝30°， ∴∠PDB＝90°，
∴PD⊥BC， ∴△APQ≌△BDP（AAS），
∴BD＝AP＝2x，
∵BP＝2BD ∴4﹣2x＝4x， 解得x＝；
（3）①如图2，当0＜x≤时，

∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，
∴PQ＝AP•tan60°＝2x，
∵△PQD等边三角形，
∴S△PQD＝2x•3x＝3x2cm2，
所以y＝3x2；
②如图3，当点Q运动到与点C重合时，

此时CP⊥AB，
所以AP＝AB，即2x═2，
解得x＝1，
所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，

∵AP＝2x，∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，
∴BG＝BP＝2﹣x ∴PG＝BG＝（2﹣x），
∴S△PBG＝BG•PG＝（2﹣x）2，
∵AQ＝2AP＝4x， ∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，
∴QH＝CQ＝（4﹣4x），
∴S△QCH＝CQ•QH＝（4﹣4x）2，
∵S△ABC＝4×2＝4，
∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ
＝4﹣（2﹣x）2﹣（4﹣4x）2﹣×2x×2x
＝﹣x2+18x﹣6，
所以y＝﹣x2+18x﹣6；
③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，
设PD与BC相交于点G，

此时PG＝BP•sin60°＝（4﹣2x）×＝（2﹣x），
∵PB＝4﹣2x，
∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），
∴BG＝BP＝2﹣x， ∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），
∴重叠部分的面积为：
S△PQG＝PG•QG＝（2﹣x）•3（2﹣x）＝（2﹣x）2．
所以y＝（2﹣x）2．
综上所述：y关于x的函数解析式为：
当0＜x≤时，y＝3x2；
当＜x≤1时，y＝﹣x2+18x﹣6；
当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2．
26．（2020吉林）（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，
解得b＝1．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，
∴P（m，﹣m2+m+），
∵M，Q重合， ∴﹣m+＝﹣m2+m+，
解得m＝0或4．
（3）由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），
∴m＝1﹣．
（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
则有﹣m+＜﹣m2+m+，
∴m2﹣4m＜0，
解得0＜m＜4，
观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，

当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，
当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，

综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．
24．（2020内蒙古呼和浩特）（12分）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；
（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y＝60（﹣3t++1），当t＝1时，y＝180，
∵当0.1＜t≤1时，随t的增大而减小，﹣3t也随t的增大而减小，
∴﹣3t+的值随t的增大而减小，
∴y＝60（﹣3t++1）随t的增大而减小，
∴当t＝1时，y取最小，
∴他的结论正确．
（2）由题意得：60（﹣3t++1）×2＝1800，
整理得：﹣3t2﹣14t+5＝0，
解得：t1＝，t2＝﹣5（舍），
即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷＝24千克．
∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y＝680t×60（﹣3t++1），
整理得：y＝40800（﹣3t2+t+5），
∴当t＝时，y最大，且最大值为207400元．
∴该厂应该选取小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．
23．（2020黑龙江龙东）（6分）如图，已知二次函数的图象经过点， ，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）根据题意得，解得．
故抛物线的解析式为；
（2）二次函数的对称轴是，
当时，，即，
点关于对称轴的对应点，
设直线的解析式为，所以，解得．
则直线的解析式为，
设与平行的直线的解析式为，则，解得．
则与平行的直线的解析式为，
联立抛物线解析式得，
解得，（舍去）．
．
综上所述，，．

26．（2020江苏连云港）（12分）在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．
（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点的坐标；
（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线” 的顶点的坐标．

【解答】解：（1）当时，，解得或4，
，，，
由题意设抛物线的解析式为，
把代入，
，
解得，
抛物线的解析式为．

（2）抛物线与是“共根抛物线”， ，，
抛物线，的对称轴是直线，
点在直线上，
，如图1中，当，，共线时，的值最大，
此时点为直线与直线的交点，
直线的解析式为，
，


（3）由题意，，，，
，
，，
，
顶点，，
由题意，不可能是直角，
第一种情形：当时，
①如图中，当时，，

设，则，，
，，
，
，解得或（舍弃），
，．

②如图中，当时，同法可得，

，
解得或（舍弃），
，．
第二种情形：当．
①如图中，当时，，

过点作于．则，
，由图可知，，，，，
，，
，
由，可得，
，
，．

②当时，过点作于．

同法可得，，，，
，，，
由，可得，
，．
26．（2020江苏泰州）（14分）如图，二次函数，，，的图象分别为、，交轴于点，点在上，且位于轴右侧，直线与在轴左侧的交点为．

（1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值；
（2）设直线与轴所夹的角为．
①当，且为的顶点时，求的值；
②若，试说明：当、、各自取不同的值时，的值不变；
（3）若，试判断点是否为的顶点？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，，
，
把代入得到．

（2）①如图1中，过点作轴于，过点作于．

，
，
，
，，
，
，
，
，
．

②如图2中，由题意中，

，
当时，，
解得，
，，
，
，
．

（3）如图3中，过点作轴于，过点作于，过点作交的延长线于．

设，
，
，，
，，，
，
整理得：，
，
，，，，
点是抛物线的顶点．
20．（2020四川遂宁）（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则3x+5y=2104x+10y=380，解得x=20y=30，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；

（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，
21．（2020四川遂宁）（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴m-1=-nn-3=0，
解得：m=-2n=3，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
25．（2020四川遂宁）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：0=k+b2=2k+b，
解得：k=2b=-2，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：y=2x-2y=2x2-8x+6，
解得：x1=1y1=0，x2=4y2=6，
∴点D（4，6），
∴S△ABD=12×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE=13S△ABD＝2或S△ABE=23S△ABD＝4，
∴12×2×（2m﹣2）＝2或12×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴xA+xD2=xP+xQ2，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
25．(2020山东枣庄)（10分）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为点．设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：；

（2）由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
设点，则点，点，
，
，故，
，
，
，故当时，有最大值为；

（3）存在，理由：
点、的坐标分别为、，则，
①当时，过点作轴于点，

则，即，
解得：（舍去负值），
故点，；
②当时，则，
在中，由勾股定理得：，解得：或0（舍去，
故点；
③当时，则，解得：（舍去）；
综上，点的坐标为或，．
24．（2020湖南岳阳）（10分）（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x-25）2+6415与x轴交于点A（-65，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线F1的表达式；
（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把点A（-65，0）代入抛物线F1：y＝a（x-25）2+6415中得：
0＝a（-65-25）2+6415，
解得：a=-53，
∴抛物线F1：y=-53（x-25）2+6415；
（2）①由平移得：抛物线F2：y=-53（x-25+1）2+6415-3，
∴y=-53（x+35）2+1915，
∴53（x+35）2+1915=-53（x-25）2+6415，
-103x=103，
解得：x＝﹣1，
∴D（﹣1，1）；
②当x＝0时，y=-53×425+6415=4，
∴C（0，4），
当y＝0时，-53（x-25）2+6415=0，
解得：x=-65或2，
∴B（2，0），
∵D（﹣1，1），
∴BD2＝（2+1）2+（1﹣0）2＝10，
CD2＝（0+1）2+（4﹣1）2＝10，
BC2＝22+42＝20，
∴BD2+CD2＝BC2且BD＝CD，
∴△BDC是等腰直角三角形；
（3）存在，
设P[m，-53(m+35)2+1915]，
∵B（2，0），D（﹣1，1），
∴BD2＝（2+1）2+12＝10，PB2=(m-2)2+[-53(m+35)2+1915]2，PD2=(m+1)2+[-53(m+35)2+1915-1]2，
分三种情况：
①当∠DBP＝90°时，BD2+PB2＝PD2，
即10+（m﹣2）2+[-53(m+35)2+1915]2＝（m+1）2+[-53（m+35）2+1915-1]2，
解得：m＝﹣4或1，
当m＝﹣4时，BD=10，PB=36+324=610，即△BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，
当m＝1时，BD=10，PB=1+9=10，
∴BD＝PB，即△BDP是等腰直角三角形，符合题意，
∴P（1，﹣3）；
②当∠BDP＝90°时，BD2+PD2＝PB2，
即10+[-53（m+35）2+1915-1]2＝（m﹣2）2+[-53(m+35)2+1915]2，
解得：m＝﹣1（舍）或﹣2，
当m＝﹣2时，BD=10，PD=1+9=10，
∴BD＝PD，即此时△BDP为等腰直角三角形，
∴P（﹣2，﹣2）；
③当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2+PB2，如图3，

当△BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；
综上，点P的坐标（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）．
26．（2020广西南宁）（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；
（2）s关于t的函数解析式为s＝，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先根据t＝2可得点A（﹣2，2），因为B在直线l1上，所以设B（x，x+1），利用y＝0代入y＝x+1可得G点的坐标，在Rt△ABG中，利用勾股定理列方程可得点B的坐标；
（2）先把（7，4）代入s＝中计算得b的值，计算在﹣1＜t＜5范围内图象上一个点的坐标值：当t＝2时，根据（1）中的数据可计算此时s＝，可得坐标（2，），代入s＝a（t+1）（t﹣5）中可得a的值；
（3）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，②当∠ACB＝90°时，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．
【解答】解：（1）如图1，连接AG，

当t＝2时，A（﹣2，2），
设B（x，x+1），
在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴G（0，1），
∵AB⊥l1，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，
解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，
∴B（﹣，）；
（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，

把（7，4）代入s＝中得：+7b﹣＝4，
解得：b＝﹣1，
如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，

由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣，），
∵C（0，3），
设AC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得，
∴AC的解析式为：y＝x+3，
∴H（﹣，），
∴BH＝﹣＝，
∴s＝＝＝，
把（2，）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝，
解得：a＝﹣；
（3）存在，设B（x，x+1），
分两种情况：
①当∠CAB＝90°时，如图4，

∵AB⊥l1，
∴AC∥l1，
∵l1：y＝x+1，C（0，3），
∴AC：y＝x+3，
∴A（﹣2，1），
∵D（﹣2，﹣1），
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），
∴B（﹣1，0），即B在x轴上，
∴AB＝＝，AC＝＝2，
∴S△ABC＝＝＝2；
②当∠ACB＝90°时，如图5，

∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），
∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，
（x+1﹣t）2＝（x+2）2，
x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，
解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，
Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，
把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0或3，
当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，
∴A（﹣2，9），B（3，4），
∴AC＝＝2，BC＝＝，
∴S△ABC＝＝＝10；
当t＝0时，如图6，

此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，
∴S△ABC＝＝＝2．
26．（12分）（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，得到y＝3，
∴C（0，3）．

（2）设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+b，
如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．

∵D′是抛物线的顶点，
∴D′B＝D′B′，D′（a，b），
∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，
∴BH＝HB′，
∴D′H＝BH＝HB′＝b，
∴a＝1+b，
又∵y＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），
∴b＝（1﹣a）2，
解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，
∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．

（3）如图2中，

观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．
对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3），
令y＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1±7，可得P2（﹣1-7，﹣3），P3（﹣1+7，﹣3），
对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y＝3，方程无解，
令y＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1-7，﹣3）或（﹣1+7，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．
25．（10分）（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．

【解答】解：（1）把点A（﹣3，94）代入y＝ax2，
得到94=9a，∴a=14，
∴抛物线的解析式为y=14x2．

（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有94=-3k+b0=32k+b，解得k=-12b=34，
∴直线l的解析式为y=-12x+34，
令x＝0，得到y=34， ∴C（0，34），
由y=14x2y=-12x+34，解得x=1y=14或x=-3y=94，∴B（1，14），
如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，

∴BMMC=MB1MO=32-132=13，MCMA=MOMA1=3232-(-3)=13，
∴BMMC=MCMA，
即MC2＝MA•MB．
（3）如图2中，设P（t，14t2）

∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，
∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，-12t+34），
∴|14t2﹣（-12t+34）|=34，
整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，
解得t＝﹣1-7或﹣1+7或﹣2或0（舍弃），
∴P（﹣1-7，2+72）或（﹣1+7，2-72）或（﹣2，1）．
28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为：　（1，0）　；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．

【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=-2a-2a=1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．

（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，∴AE=12DH，∵AE＝2，∴DH＝4，∵HE⊥DFEF＝ED，∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，
解得a=33或-33（不符合题意舍弃），
∴a=33．
当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，∴3a＝1，
∴a=13，
综上所述，满足条件的a的值为33或13．
（3）结论：EH∥GK．
理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），
∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，
由y=-3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=-1y=0或x=6y=-21a，
∴K（6，﹣21a），
由y=3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=2y=3a或x=-3y=-12a，
∴G（﹣3，﹣12a），
∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，
∵k相同，∴HE∥GK．

24．（2020贵州遵义）（14分）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+94x+c得：0=a-94+c3=c，
解得：a=-34c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-34x2+94x+3；
（2）不存在，理由如下：
①当点Q在y轴右边时，如图1所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QH⊥OC于H，
∵点C （0，3），
∴OC＝3，
则OH=12OC=32，tan60°=QHOH，
∴QH＝OH•tan60°=32×3=332，
∴Q（332，32），
把x=332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=2738-3316≠32，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；
②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QT⊥OC于T，
∵点C （0，3），
∴OC＝3，
则OT=12OC=32，tan60°=QTOT，
∴QT＝OT•tan60°=32×3=332，
∴Q（-332，32），
把x=-332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=-2738-3316≠32，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；
（3）令-34x2+94x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设BC直线的解析式为：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入则0=4k+b3=b，
解得：k=-34b=3，
∴BC直线的解析式为：y=-34x+3，
当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，如图3所示：
延长PM交AB于点D，
则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴（-34x2+94x+3）﹣（-34x+3）=-34x+3，
解得：x1＝1，x2＝4（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：MD=-34+3=94；
当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，如图4所示：
延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴（-34x2+94x+3）﹣（-34x+3）＝x，
解得：x1=83，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM=83；
当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，如图5所示：

点P与A重合，
∴M的横坐标为﹣1，
∴⊙M的半径为：M的纵坐标的值，
即：-34×（﹣1）+3=154；
当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，如图6所示：

延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=34x2-94x﹣3，MD=34x﹣3，
∴（34x2-94x﹣3）﹣（34x﹣3）＝x，
解得：x1=163，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM=163；
综上所述，⊙M的半径为94或83或154或163．

23．（10分）（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为p=25x+4(0＜x≤20)-15x+12(20＜x≤30)，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）

【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
b=8020a+b=40，
解得，a=-2b=80，
即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，
当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
20m+n=4030m+n=80，
解得，m=4n=-40，
即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，
由上可得，y与x的函数关系式为y=-2x+80(0＜x≤20)4x-40(20＜x≤30)；
（2）设当月第x天的销售额为w元，
当0＜x≤20时，w＝（25x+4）×（﹣2x+80）=-45（x﹣15）2+500，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
当20＜x≤30时，w＝（-15x+12）×（4x﹣40）=-45（x﹣35）2+500，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，
由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
24．（12分）（2020•荆门）如图，抛物线L：y=12x2-54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y=12x2-54x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．

【解答】解：（1）∵抛物线L：y=12x2-54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣3），
设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝4k﹣3，
∴k=34，
∴直线AB解析式为：y=34x﹣3，
∵y=12x2-54x﹣3=12（x-54）2-12132，
∴抛物线顶点坐标为（54，-12132）；
（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB=OA2+OB2=16+9=5，
设点P（x，12x2-54x﹣3）（54＜x＜4），则点D（x，34x﹣3），
∴BD=(x-0)2+(34x-3+3)2=54x，
PD＝（34x﹣3）﹣（12x2-54x﹣3）=-12x2+2x，
∴PD+BD=-12x2+2x+54x=-12（x-134）2+16932，
∵54＜x＜4，-12＜0，
∴当x=134时，PD+BD有最大值为16932，
此时，点P（134，-5732）；
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y=12（x﹣m）2-12132，
联立方程组可得：y=34x-3y=12(x-m)2-12132，
∴x2﹣2（m+34）x+m2-2516=0，
设点M（x1，y1），点N（x2，y2），
∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点，
∴x1，x2是方程x2﹣2（m+34）x+m2-2516=0的两根，
∴x1+x2＝2（m+34），
∵点A是MN的中点，
∴x1+x2＝8，
∴2（m+34）＝8，
∴m=134，
∴平移后的抛物线L'解析式为y=12（x-134）2-12132=12x2-134x+32．
25．（13分）（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x=12=12（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；

（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则DEOE=OBOC或OCOB，即DEOE=2或12，即-m2+m+2m=2或12，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或1+334或1-334（舍去），
故m＝1或1+334．
23．（2020山西）（13分）综合与探究
如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；
（2）设P（m，m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m的方程进行解答便可；
（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x2﹣x﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，，
∴直线l的解析式为；
（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P（m，m2﹣m﹣3），N（m，m﹣1），

∴PM＝﹣m2+m+3，MN＝m+1，NP＝﹣m2+m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得﹣m2+m+3＝3（m+1），
解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），
∴P（0，﹣3）；
②当PM＝3NP时，得﹣m2+m+3＝3（﹣m2+m+2），
解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），
∴P（3，﹣）；
∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，﹣）或（0，﹣3）；
（3）∵直线l：与y轴于点E，
∴点E的坐标为（0，﹣1），
分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，

过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，
∴，即
∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接CD，
∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），
∴CD⊥y轴，
∴ED＝，
∴，，
∴，
∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，
∴Q1（0，9）；
②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，

∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，
∴，即，
∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝2，
∴3EG＝2，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
综上，点Q的坐标为（0，9）或（0，﹣）．
25.（2020东莞）已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，图象的对称轴为直线.连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点.设点的横坐标为.

（1）求的长度；
（2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）当为何值时，与相似.
解：（1）∵对称轴，
∴，
∴
当时，，解得，，
即，，
∴.
（2）经过点和的直线关系式为，
∴点的坐标为.
在抛物线上的点的坐标为，
∴，
∴
，
当时，的最大值是，
∴点的坐标为，即
（3）连，
情况一：如图，当时，，
当时，，解得，，
∴点的横坐标为－2，即点的横坐标为－2，
∴

情况二：∵点和，
∴，即.
如图，当时，
，，
即为等腰直角三角形，
过点作，即点为等腰的中线，
∴，
，
∴，即，
解得，（舍去）
综述所述，当或－2时，与相似.
26．（2020四川自贡）（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．

【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC=MCAC=2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF=55，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×55=55（﹣x2﹣4x﹣3），
∵-55＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，

PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD=(1+2)2+(0-2)2=13；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK=14，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，

DQ+14OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y=15x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y=-115x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2-215，
则直线DK的表达式为：y=-115x+2-215，
故点Q（0，2-215），
由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为115，则cosα=154，
则DQ=xQ-xDcosα=2154=815，而14OQ=14（2-215），
则DQ+14OQ为最小值=815+14（2-215）=15+12．

28．（2020青海）（12分）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y＝﹣+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

解：（1）把B（3，0）和D（﹣2，﹣）代入抛物线的解析式得，
， 解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令x＝0，得＝，
∴，
令y＝0，得＝0， 解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵＝，
∴M（1，2），
∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOB
＝
＝；

（3）设Q（0，n），
①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，
a）．Q点在P点左边时，则Q（﹣4，n），
把Q（﹣4，n）代入，得n＝，
∴P（﹣4，﹣）；
②Q点在P点右边时，则Q（4，n），
把Q（4，n）代入，得 n＝，
∴P（4，﹣）；
③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，
则E（1，0），
∵PE＝QE，
∴P（2，﹣n），
把P（2，﹣n）代入，得
﹣n＝，∴n＝﹣，∴P（2，）．
综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，﹣）或（4，﹣）或（2，）．
24．（2020山东滨州）（13分）某水果商店销售一种进价为40元千克的优质水果，若售价为50元千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【解答】解：（1）当售价为55元千克时，每月销售水果千克；
（2）设每千克水果售价为元，
由题意可得：，
解得：，，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为元，获得的月利润为元，
由题意可得：，
当时，有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
26．（2020山东滨州）（14分）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线的距离为，求证：；
（3）已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点的坐标．

【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点，可以假设抛物线的解析式为，
抛物线经过，
，
，
抛物线的解析式为．

（2）证明：，
，
，
，
，
，
，，
，
．

（3）如图，过点作直线于，过点作直线于．
的周长，是定值，
的值最小时，的周长最小，
，
，
根据垂线段最短可知，当，，共线时，的值最小，此时点与重合，点在线段上，
的最小值为6，
的周长的最小值为，此时．

26．（2020四川眉山）（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，
∴， 解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点B（3，0），点C（0，3），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，
∴点P（，）；
（3）存在N满足条件，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M为（1，4），
∵点M为（1，4），点C（0，3），
∴直线MC的解析式为：y＝﹣x+3，
如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，
∴点E（﹣3，0），∴DE＝4＝MD，
∴∠NMQ＝45°，
∵NQ⊥MC， ∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，
∴MQ＝NQ， ∴MQ＝NQ＝MN，
设点N（1，n），
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，
∴（MN）2＝AN2，
∴（|4﹣n|）2＝4+n2，
∴n2+8n﹣8＝0， ∴n＝﹣4±2，
∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
23．（2020云南）（12分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，
，解得，；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1，
此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，
∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为x＝1，
令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0），
令x＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2）；

（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，
则PH＝5DG，E（m，m﹣3），
∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，
∴△PEH∽△DEG，
∴，
∴，
∵m＝3（舍），或m＝5，
∴点P的坐标为P（5，12）．
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
24．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，
故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，
代入C（0，﹣3），B（3，0）得：-3=b0=3a+b，
解得a=1b=-3，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，
则S△BCN=S△NQC+S△NQB=12⋅QN⋅(xQ-xC)+12⋅QN⋅(xB-xQ)=12⋅QN⋅(xQ-xC+xB-xQ)=12⋅QN⋅(xB-xC)，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，
故S△BCN=12⋅(-n2+3n)⋅3=-32n2+92n=-32(n-32)2+278，其中0＜n＜3，
当n=32时，S△BCN有最大值为278，
此时点N的坐标为（32，-154），
（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为(xD+xG2，yD+yG2)，即(1+m2，t+m2-2m-32)，
线段BC的中点坐标为(xB+xC2，yB+yC2)，即(3+02，0-32)，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
∴1+m2=32t+m2-2m-32=-32，解得m=2t=0，
经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；
②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为(xD+xB2，yD+yB2)，即(1+32，t+02)，
线段GC的中点坐标为(xG+xC2，yG+yC2)，即(m+02，m2-2m-3-32)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+32=m+02t+02=m2-2m-3-32，解得m=4t=2，
经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；
③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为(xD+xC2，yD+yC2)，即(1+02，t-32)，
线段GB的中点坐标为(xG+xB2，yG+yB2)，即(m+32，m2-2m-3+02)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+02=m+32t-32=m2-2m-3+02，解得m=-2t=8，
经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；
综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；
（4）连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y＝kx+m，
代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得-3=m-4=k+m，
解得k=-1m=-3
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，
∴E点坐标为（﹣3，0），
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，
∴CE＝CB，
∴∠B＝∠E，
设P（x，﹣x﹣3），
又∵P点在线段EC上，
∴﹣3＜x＜0，
则EP=(x+3)2+(-x-3)2=2(x+3)，BC=32+32=32，
由题意知：△PEO相似△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，∴EOBA=EPBC，∴34=2(x+3)32，
解得x=-34，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为(-34，-94)；
②△PEO∽△ABC，∴EOBC=EPBA，∴332=2(x+3)4，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．
综上所述，P点的坐标为(-34，-94)或（﹣1，﹣2）．


25．（2020山东泰安）（13分）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m=12时，求点P的坐标；
②求m的最大值．

解：（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得0=a-b+c0=9a+3b+cc=-3，解得a=1b=-2c=-3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设直线BE交y轴于点M，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，
∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，
∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，
而BC＝BC，
故△BCD≌△BCM（AAS），
∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），
设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则b=-13k+b=0，解得k=13b=-1，
故直线BE的表达式为：y=13x﹣1；

（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，

则△PFN∽△AFB，则AFPF=ABPN，
而S△BFP＝mS△BAF，则AFPF=1m=4PN，解得：m=14PN，
①当m=12时，则PN＝2，
设点P（t，t2﹣2t﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N（t﹣2，t﹣5），
故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，
解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；
②m=14PN=14[t﹣（t2﹣2t）]=-14（t-32）2+916，
∵-14＜0，故m的最大值为916．
20．（2020浙江宁波）（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【解答】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵对称轴x＝1，B，C关于x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3．
（2）∵D（0，﹣3），
∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
21．（2020浙江温州）（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，-2=a+b+113=4a-2b+1，
解得：a=1b=-4；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，∴对称轴为x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
22．（（2020海南）15分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；
（2）①设点P（a，a2+a﹣6），
∵点P位于y轴的左侧，
∴a＜0，PE＝﹣a，
∵PD＝2PE，
∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，
∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，
解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）
∴PE＝2或；
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，
理由如下，
∵抛物线y＝x2+x﹣6与x轴交于点C，
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（﹣3，0），
∴OB＝2，OA＝3，
∴BC＝＝＝2，
AC＝＝＝3，
如图，过点A作AH⊥CP于H，

∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，
∴△ACH∽△BCO，
∴，
∴＝，
∴AH＝，HC＝，
设点H（m，n），
∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，
∴或，
∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），
当H（﹣，﹣）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标是（﹣2，﹣4）；
当H（﹣，）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，
解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标是（﹣8，50）；
综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．
26．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．
（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜-52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．
（3）若AB2=c2-2c+6c，点P的坐标为（-x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．

【解答】解：（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，
∵函数过点（1，﹣1），
∴a﹣3+a＝﹣1，
∴a＝c＝1，
∴y＝x2﹣3x+1；

（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．
∴△＝b2﹣4ac＝4，
∴4ac＝b2﹣4，
在函数y1=ax2+(b+1)x+c中，△1=(b+1)2-4ac=(b+1)2-(b2-4)=2b+5，
∵b＜-52，
∴2b+5＜0，
即函数图象与x轴没有交点；

（3）因为函数顶点在直线l上，则有4ac-b24a=-1，
即b2﹣4ac＝4a①，
∵AB2=c2-2c+6c，
∴(x2-x1)2=c2-2c+6c，
即(x1+x2)2-4x1x2=c2-2c+6c，
∴b2-4aca2=c2-2c+6c，
由①得：4a=c2-2c+6c②，
∵∠OAP＝∠DAB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，
∴∠OBP＝∠OPA，
则△OAP∽△OPB．
∴OAOP=OPOB，
∴OA•OB＝OP2，
∴x1x2=(-x0)2+(-1)2．
∴ca=x0+1，∴x0=ca-1．由②得：x0=c2-2c+64-1，
∴x0=14(c-1)2+14，∴当c＝1时，(x0)min=14．