2020年中考数学真题分类汇编10：相似三角形

2020年中考数学试题分类汇编之十
相似三角形
一、 选择题
9．（2020成都）（3分）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为　　

A．2 B．3 C．4 D．
解：直线，，
，，，，
，
选：．
10．（2020哈尔滨）（3分）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是　　

A． B． C． D．
解：，，
，，
，
故选：．

8.（2020河北）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）

A. 四边形 B. 四边形
C. 四边形 D. 四边形
解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．
故选：A

12.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB=,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得,当恰好过点D时，为等腰三角形，若=2,则=（ ）
A. B. C. D.
【解析】A.
解：过点D作DE⊥BC于点E.则BE=AD=2,DE=AB=,
设BC=C=，CE=-2.
∵为等腰三角形，
∴C=BD=,∠DC=90°
∴DC=
在RT△DCE中，由勾股定理得：,
即：，解得：，（舍去）。
∴在RT△ABC中，AC===
由旋转得：BC=C,AC=,
∴∽
∴,即：
∴.故选A.
10.（2020无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：

①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ）
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③
解：①∵线段在边上运动，，
∴,
∴与不可能相等，则①错误；
②设，
∵，，
∴，即，
假设与相似，
∵∠A=∠B=60°，
∴，即，
从而得到，解得或（经检验是原方程的根），
又，
∴解得的或符合题意，
即与可能相似，则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，

设，
由，，得，即，
∴，
∵∠B=60°，∴，
∵，∠A =60°，∴,
则，
，
∴四边形面积为：,
又∵，
∴当时，四边形面积最大，最大值为：，
即四边形面积最大值为，
则③正确；
④如图，作点D关于直线的对称点D1，连接D D1，与相交于点Q，再将D1Q沿着向B端平移个单位长度，即平移个单位长度，得到D2P，与相交于点P，连接PC，
∴D1Q=DQ=D2P，，且∠AD1D2=120°，
此时四边形的周长为：，其值最小，

∴∠D1AD2=30°，∠D2A D=90°，，
∴根据股股定理可得，，
∴四边形的周长为：,
则④错误，所以可得②③正确，故选：D．
8.（2020重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）

A. B. 2 C. 4 D.
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
6.（2020重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA∶OD=1∶2，
则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D.1∶5
.答案C.
6.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中为2米，则约为（ ）

A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米
答案：A
7．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（　　）

A．12 B．13 C．23 D．34
解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，
∴BEEG=ABCG=2k3k=23，
故选：C．
9．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，
∴＝，解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B．
11．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则x75=y120=60100，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则x75=y100=60120，
解得：x＝37.5，y＝50．
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．
故选：B．
11．（2020贵州遵义）（4分）如图，△ABO的顶点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S△ANQS△AMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，∴S△ANQ3+S△ANQ=14，
∴S△ANQ＝1，
∵1S△AOB=（ANAO）2=19， ∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18， 故选：D．
6．（3分）（2020•荆门）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，D为BC的中点，AE=14AB，则△EBD的面积为（　　）

A．334 B．338 C．34 D．38
解：连接AD，作EF⊥BC于F，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°
在Rt△ABD中，BD=12BC=3，∠B＝30°，
∴AB=BDcos30°=332=2，∴AD=12AB=1，
∵AE=14AB，∴BEAB=34，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，∴EFAD=BEAB，
∴EF1=34∴EF=34，
∴S△BDE=12×BD×EF=12×3×34=338，
选：B．
5．（2020山西）（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（　　）

A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
选：D．
10．（2020浙江温州）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）

A．14 B．15 C．83 D．65
解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．

∵四边形ACDE，四边形BCJHD都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝90°
∴B，C，H共线，A，C，I共线，
∵DE∥AI∥BH，∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，
∴PCCQ=CECH=EPHQ=12，
∵PQ＝15，∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC：CH＝1：2，
∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，
∵PQ⊥CRCR⊥AB，∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，∴AB＝CQ＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，∴5a2＝100，
∴a＝22（负根已经舍弃），
∴AC＝25，BC＝45，
∵12•AC•BC=12•AB•CJ，
∴CJ=25×4510=4，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ+JR＝14，
故选：A．
12．（2020海南）（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．25 B．30 C．35 D．40
解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EF＝AD，∴EF＝BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，
又∵MN＝BC＝6，
∴GN＝2，GM＝4，
∴S△BCG＝×10×4＝20，
∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．
故选：C．



二、 填空题
15．（2020广州）如图7，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△，，分别交对角线BD于点E，F，若，则的值为 * ．

【答案】16. 提示：由△EAF∽△EDA,得到：,所以：,∴=16
14.（2020河南）如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________．

【答案】1
【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，R，R，与相交于I，如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∴四边形AEPD是矩形，∴，
∵点E，F分别是AB，BC边的中点，
∴，
，，
∵点G是EC的中点，是的中位线，
，
同理可求：，
由作图可知四边形HIQP是矩形，
又HP=FC，HI=HR=PC，
而FC=PC，
∴ ，
∴四边形HIQP是正方形，
∴，
∴
是等腰直角三角形，

故答案为：1．
16.(2020苏州）如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则_________．

【详解】
为的中点，，
∴，，



故答案为：1．
17(2020苏州）.如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________．

【答案】
解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，

∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：，故答案：．
15.（2020乐山）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．

解:连接CE，设CD=2x，
在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，
∴∠D=60º，AD=4x，AC=，
BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，
∴CE=AE=DE==2x，
∴ΔCED为等边三角形，
∴∠CED=60º，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，
∴∠CED=∠BAD，
∴AB∥CE，∴，
在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30º
∴AF平分∠BAE，∴，
∴， ∴， 故答案为：.


18.（2020无锡）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．

解：如图1，作DG∥AC，交BE于点G，
∴，

∵ , ∴
∵ ∴
∴
∵AB=4 ∴
∴若面积最大，则面积最大，
如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，
∴ 面积最大值为

+
故答案为：

14．（2020上海）（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为　7　米．

解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，∴△ACE∽△DBE，
∴ACBD=AEBE，∴AC1=1.40.2，
∴AC＝7（米），
答：井深AC为7米．
12．（2020吉林）（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　10　．

解：∵AB∥CD∥EF， ∴＝＝，
∴DF＝2BD＝2×5＝10． 故答案为10．
13．（2020吉林）（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为　　．

解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC， ∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为， ∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝， 故答案为：．
7．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在中，，点在边上．将沿直线翻折，点落在点处，连接，交于点．若，，则　　．

【解答】解：，，
，设，，则，
，，，
由于折叠，
，且△，
，即为等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
8．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在中，，是的中点，点在上，，，垂足分别为，，连接．则下列结论中：
①；
②；
③；
④；
⑤若平分，则；
⑥，
正确的有　①②③④⑤⑥　．（只填序号）

解：，，
，，
又，，，
，故①正确；
由全等可得：，，，
连接，，
点是中点，，，
在和中，，，
，
又，，，
，，
，，即为等腰直角三角形，
，故③正确，，
，，故②正确，
设与交于点，连接，
，，，
，
，，为等腰直角三角形，
，而，，故④正确；
，，，
平分，，，
，，即，
，，，，
，
为等腰直角三角形，
，
，故⑤正确；
，，
，，
，，，
，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥．
15．（2020山西）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　　．

解：如图，过点F作FH⊥AC于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
故答案为．
17．（2020四川眉山）（4分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为26，则DE的长为　　．

解：∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，
∴∠AED＝90°，AE＝CE＝AC＝＝5，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵△ABD的周长为26，∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，
∵AB＝AC＝10，∴BC＝16，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ABC∽△DAC，∴＝，
作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，∴BM＝BC＝8，
∴AM＝＝＝6， ∴＝，
∴DE＝，
16．（2020浙江温州）（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为　152　米，BC为　202　米．

【解答】解：∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE＝EN，BF＝FN，
∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），
∴AN＝252，BN＝102，
∴AB＝AN﹣BN＝152（米）；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴CHHM=AEEF=2515=53，
∴设MH＝3x，CH＝5x，
∴CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，∴APBQ=PBCQ，
∴153x+2=155x-10，∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20，
∴BC＝202，
故答案为：152，202．
三、 解答题
19．(2020杭州)（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设AFFC=12，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴BEEC=AFFC=12，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴BE12-BE=12，解得：BE＝4；
②∵AFFC=12，∴FCAC=23，
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，
∴S△EFCS△ABC=（FCAC）2＝（23）2=49，
∴S△ABC=94S△EFC=94×20＝45．
23．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，．与相交于点，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，连接，求证：．

（1）证明：四边形是矩形，点在的延长线上，
，
又，，
，
，
，
即，
故，
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
即，
设，则有，化简得，
解得或（舍去），
．
（3）如图，在线段上取点，使得，

在与中，，，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
25．（2020成都）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为　　，线段长度的最小值为　　．

解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，，
当点与重合时，的值最大，此时，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为，．

23.（2020福建）如图，为线段外一点．

（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上．
解：（1）

则四边形就是所求作的四边形．
（2）∵，∴，，
∴，∴．
∵分别为，的中点，
∴，，∴．
连接，，又∵，
∴，∴，
∵点在上∴，∴，
∴三点在同一条直线上．

26.（2020河北）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．

（1）当点在上时，求点与点的最短距离；
（2）若点在上，且将面积分成上下4：5两部分时，求的长；
（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；
（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．
（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小，
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴PAmin=tanC·=×4=3；
（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，

S上=S△APQ，
S下=S四边形BPQC，
∵，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
当=时，，
∴，
AE=·，
根据勾股定理可得AB=5，
∴，
解得MP=；
（3）当0≤x≤3时，P在BM上运动，
P到AC的距离：d=PQ·sinC，
由（2）可知sinC=，
∴d=PQ，
∵AP=x+2，
∴，
∴PQ=，
∴d==，
当3≤x≤9时，P在BN上运动，
BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，
d=CP·sinC=（11-x）=-x+，
综上；
（4）AM=2 移动的速度==，
①从Q平移到K，耗时：=1秒，
②P在BC上时，K与Q重合时
CQ=CK=5-=，
∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP，
∴∠QPC=∠BAP，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ，
设BP=y，CP=8-y，
，即，
整理得y2-8y=，
（y-4）2=，
解得y1=，y2=，
÷=10秒，
÷=22秒，
∴点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．
23.（2020江西） 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究
（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ；
推广验证
（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积.


【解析】（1）
（2）成立；∵∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，∴△ABD∽△CAE∽△BCF.
∴∴∵△ABC为直角三角形
∴.∴，∴，∴成立.
（3）过点A作⊥BP于点H.
∵∠ABH=30°，AB=.∴.
∵∠BAP=105°，∴∠HAP=45°.∴PH=AH=.∴，BP=BH+PH=
∴.连接PD.
∵，∴.
∴又∵∠E=∠BAP=105°，△ABP∽△EDP.∴∠EPD=∠APB=45°，
.∴∠BPD=90°，∴
连接BD.
∴.
∵tan∠PBD=，∴∠PBD=30°.∵∠ABC=90°，∠ABC=30°，∴∠DBC=30°
∵∠C=105°，∴△ABP∽△EDP∽△CBD.
∴S△BCD=S△ABP+S△EDP=.
∴S五边形ABCDE=S△ABP+S△EDP+S△BCD+S△BPD
=

23(2020苏州）.如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
解：（2）∵，
∴．
∵，是的中点，
∴．
∴在中，．
又∵，
∴，
∴．
26．（2020南京）（9分）如图，在和△中，、分别是、上一点，．

（1）当时，求证△．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．
（1）证明：，
，
，，
△，，
，
△．
故答案为：，．

（2）如图，过点，分别作，，交于，交于．

，
，，
同理，，
，，
，
同理，，
，即，
，
，
，
△，
，
，
，
同理，，
，
，
△．
23（2020湖北武汉）.问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．

问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，

∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，∴，
∵，，
∴，又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，

∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
17．（2020宁夏）（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．

解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），
则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到△A1B1C1．
如图所示△A1B1C1为所求；
（2）由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧
则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
连接各点，得△A2B2C2．
第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧
A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），
连接各点，得△A2B2C2．
综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；

23．（2020江苏泰州）（10分）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．

【解答】解：（1），
，
，，，
，
，
，
即；

（2）根据题意得，，
当时，随的增大而减小，
，
当随增大而减小时的取值范围为．
24．(2020山东枣庄)（10分）在中，，是中线，，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点．

（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求的长．
【解答】（1）证明：，，是中线，
，，
，
在和中，
，

；
（2）证明：，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：过点作于，
，
，
由（2）可知，，
，
，，
，
，即，
解得，，
由勾股定理得，．

25．（2020四川眉山）（10分）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E三点在同一直线上，连接BD，AD，BD交AC于点F．
（1）若AD2＝DF•DB，求证：AD＝BF；
（2）若∠BAD＝90°，BE＝6．
①求tan∠DBE的值；②求DF的长．

（1）证明：∵AD2＝DF•DB，∴＝，
∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，
∴∠ABD＝∠FAD，
∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAF，
∴△ADC≌△BAF（ASA），
∴AD＝BF．
（2）①解：过点D作DG⊥BE于G．
∵∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝AC，
∴CE＝BC，
∵BE＝6，
∴CE＝2，BC＝4，
∴CG＝EG＝1，BG＝5，DG＝，
∴tan∠DBE＝＝．

②在Rt△BDG中，∵∠BGD＝90°，DG＝，BG＝5，
∴BD＝＝＝2，
∵∠ABC＝∠DCE＝60°，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，∴＝＝，
∴＝，∴DF＝
24．（2020山东泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？　是　．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．

【解答】解：（1）如图（2）中，

∵∠EDC＝90°，EF＝CF，
∴DF＝CF，
∴∠FCD＝∠FDC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵BA＝BD，
∴∠A＝∠ADB，
∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，
∴∠ADB+∠FDC＝90°，
∴∠FDB＝90°，
∴BD⊥DF．
故答案为是．

（2）结论成立：
理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠A＝∠EDF，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴∠A＝∠E，
∴∠E＝∠EDF，
∴EF＝FD，
∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC，
∴EF＝FC，
∴点F是EC的中点．

（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．

∴DG=12EC=92，
∵BD＝AB＝6，
在Rt△BDG中，BG=DG2+BD2=(92)2+62=152，
∴CB=152-92=3，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=62+32=35，
∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
∴ACEC=BCCD，
∴359=3CD，
∴CD=955，
∴AD＝AC+CD＝35+955=2455．

23．（2020浙江宁波）（12分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF=12∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．

【解答】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2＝AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴BFBC=BEBF，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC=BF2BE=423=163，
∴AD=163．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC=12∠BAD，
∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF=12∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，∴EDEG=EFDE，
∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，∴DE=2EF，
又∵DGDF=DEEF，
∴DG=2DF=52，
∴DC＝DG﹣CG＝52-2．
．（2020浙江温州）（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=-65x+12，当Q为BF中点时，y=245．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．
（2）求DE，BF的长．
（3）若AD＝6．
①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．
②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．

【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：
如图1所示：
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF=12×180°＝90°，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠ABF，
∴DE∥BF；
（2）令x＝0，得y＝12，
∴DE＝12，
令y＝0，得x＝10，
∴MN＝10，
把y=245代入y=-65x+12，
解得：x＝6，即NQ＝6，
∴QM＝10﹣6＝4，
∵Q是BF中点，
∴FQ＝QB，
∵BM＝2FN，
∴FN+6＝4+2FN，
解得：FN＝2，
∴BM＝4，
∴BF＝FN+MN+MB＝16；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF＝EM，
∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，
∴∠DEA＝30°，
∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，
∴∠DFM＝∠DEM＝120°，
∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠MEB＝∠FBE＝30°，
∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4，
∴MH=12BM＝2，
∴EH＝4+2＝6，
由勾股定理得：HB=BM2-MH2=42-22=23，
∴BE=EH2-HB2=62+(23)2=43，
当DP＝DF时，-65x+12＝4，
解得：x=203，
∴BQ＝14﹣x＝14-203=223，
∵223＞43，
∴BQ＞BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
y＝0，
则x＝10；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF＝16，∠FCB＝90°，∠CBF＝30°，
∴CF=12BF＝8，
∴CD＝8+4＝12，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，
∴FQDP=CFCD，
∴2+x-65x+12=812，
解得：x=103；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
∵PE∥BQ，
∴△APE∽△AQB，
∴PEBQ=AEAB，
由勾股定理得：AE=DE2-AD2=122-62=63，
∴AB＝63+43=103，
∴12-(-65x+12)14-x=63103，
解得：x=143，
由图可知，PQ不可能过点B；
综上所述，当x＝10或x=103或x=143时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．