2020年中考数学真题分类汇编09：三角形及全等三角形试卷

2020年中考数学试题分类汇编之九
三角形
一、 选择题
3.（2020北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1＞∠4+∠5 D.∠2＜∠5

【解析】由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B选项的∠2＞∠3，C选项∠1=∠4+∠5，D选项的∠2＞∠5.故选A.
4．（2020广州）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，若∠C=68°，则
∠AED =（ * ）．
（A）22° （B）68° （C）96° （D）112°
【答案】B
3.（2020福建）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）

A. 1 B. C. D.
【答案】D
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
5.（2020福建）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）

A. 10 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【详解】∵是等腰三角形的顶角平分线
∴CD=BD=5．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
6．（2020陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
11．(2020天津)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
答案:D
16.（2020河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）

A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4
【答案】B
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；
∵，
故选：B．
7（2020乐山）.观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形

而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形
故选：A．
7（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，，DF//BC,∠ABC的平分线BE交DF于点G,GH⊥DF,点E恰好为DH的中点，若AE=3,CD=2,则GH=( )
A.1 B. 2 C. 3 D.4

【解析】本题考查角平分线性质和三角形中位线定理。过E作EM⊥BC交DF于N.∵BE平分∠ABC，∠A=∠C=90°，∴EM=AE=3, 四边形DCMN是矩形，MN=DC=2.∴EN=1. ∵E是HD的中点，∴HG=2EN=2. 故选B.
9（2020四川绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE,△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE=72°，则∠ACD=（）.
A.16° B.28° C.44° D.45°

【解析】延长CD交AB于点F。则∠CFG=∠CDE=72°。∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°∴∠A=（180°-124°）÷2=28°。∴∠ACD=∠CFG-∠A=72°-28°=44°。故选C.
9.（2020无锡）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（ ）

A. B. C. D.
解：如图

∵ ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，延长交于，
∴ ，则， ，
过点作，设，则，，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴．
故选B．
11.如图，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）






A.6 B.3 C.23 D.4
解析：依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，△ABC≌△EBC，BE=BA.延长BC交AE于F，则∠AFC=90°，易得AF=6.答案C.






9．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（　　）

A．25 B．5 C．45 D．10
解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，∴AD＝BD，
∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE=12BC，
∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，∴DF=12AH，
∵△DFE的面积为1，∴12DE•DF＝1，
∴DE•DF＝2，∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，
∴AB•AC＝8，
∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE=12AC，
∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），
∴AC＝4，∴BC=AB2+AC2=25．
故选：A．

6．（2020四川南充）（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）

A．a+b2 B．a-b2 C．a﹣b D．b﹣a
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b， ∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
7．（2020江苏连云港）（3分）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心　　

A． B． C． D．
解：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
从点出发，确定点分别到，，，，的距离，只有，
点是的外心， 故选：．
11．（2020广西南宁）（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
解：过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r，
则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．
9．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（　　）

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，

∵AE∥BF，∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣55°，＝35°，
∵CD∥AE，∴∠EAC＝∠ACD＝35°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB﹣∠CAD＝45°，∴CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：A．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9， 故选：C．
9．（3分）（2020•烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积=18×12×42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则
A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；
B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；
C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；
D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．
故选：D．
10．（3分）（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（　　）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF=12AC=1.7，故选：A．
9．（2020四川自贡）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC=12（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
14．（2020青海）（3分）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．
7．（3分）（2020•怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）

A．3 B．32 C．2 D．6
选：A．
7．（2020浙江宁波）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10．
又∵CD为中线，∴CD=12AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF=12CD＝2.5．
故选：B．
10．（2020浙江宁波）（4分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．






二、 填空题
14.（2020北京）在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）

【解析】答案不唯一，根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD≌△ACD，则可以填∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC均可.
15.（2020北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）

【解析】由网格图可得，∴面积相等，答案为“=”
14．（2020广州）如图6，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 * ．

【答案】（4,3）
19．（2020哈尔滨）（3分）在中，，为边上的高，，，则的长为　5或7　．
解：在中，，，
，
如图1、图2所示：
，
，
故答案为：7或5．

11（2020江西）.如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ．

【解析】CD=CB，∠ACD=∠ACB，CA=CA，∴△CAD≌△CAB，∴∠B=∠D，设∠ACB=，∠B=，则∠ACD=，∠D=，∠EAC为△ACD的一个外角，∴，在△ABC中有内角和为180°，∴，∴∠BAC=131°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=82°，故答案为82°
17.（2020四川绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 。
答案：
【解析】解：∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，
∴∠DAC=∠ABC=60°
∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠ACB=90°。
当M在AC上时，M到AC的距离最小。如图
：AC=,
在RT△AMD中，AM=AD=4×=2.
∴CM=AC-AM=-2=.
故填：。
15.（2020贵阳）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．

【答案】
解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，

设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
14．（2020贵州黔西南）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，则BD的长度为　23　．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，∴CD=12AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD， ∴BD＝2CD，
∵BC＝33， ∴CD+2CD＝33，
∴CD=3， ∴DB＝23，
故答案为：23．
12.（2020湖北黄冈）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．

解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
15.（2020湖北黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．

解：设这个水池深x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
13．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是　　．（只填一个即可）

AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）
故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．
15．（2020齐齐哈尔）（（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　10或11　．
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，
∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
17．（2020上海）（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为　332　．

【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．

∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHD＝90°，
∵DE＝DC＝3，
∴EH＝DE•sin60°=332，
∴E到直线BD的距离为332，
故答案为332．
15．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　2　．

解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．故答案为：2．
13．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　或或等）　，使和全等．

【解答】解：添加的条件是：，
理由是：在和中
，
，
故答案为：．

12．（2020湖南岳阳）（4分）（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝　70　°．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝20°，则∠B＝70°，
∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠BCD＝∠B＝70°，
故答案为70．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝　5　．

【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，
∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE=12AC＝5．
故答案是：5．
12. （2020东莞）若等边的边长为2，则该三角形的高为_________.
答案：
7．（2020青海）（2分）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　等腰　三角形．
解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
14．（2020山东滨州）（5分）在等腰中，，，则的大小为　　．
14．（3分）（2020•怀化）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝　130　°．

证明：∵在△ADC和△ABC中AD=ABAC=ACCD=CB，
∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B，
∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，
16．（4分）（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为　32　．

【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，
∴DE=12BC=32．
故答案为：32．


三、 解答题
27.（2020北京）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点.E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明.

【解析】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC，∵∠C=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°
∴四边形DECF为矩形，∴DE=CF=，∴BF=CF，
∴BF=CF，∴DF=CE=AC，∴.
（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG.
∵BG∥AC，∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB
∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴△EAD≌△GBD（AAS）
∴ED=GD，AE=BG.
∵DF⊥DE，∴DF是线段EG的垂直平分线
∴EF=FG
∵∠C=90°，BG∥AC，∴∠GBF=90°，
在Rt△BGF中，，∴

18、（2020广州）（本小题满分9分）如图8，AB = AD，∠BAC =∠DAC = 25°，∠D = 80°．求∠BCA的度数．
【详解过程】
在△ACD中，∵∠DAC=25°，∠D=80°，
∴∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-80°=75°。
在△ACB和△ACD中

∴△ACB≌△ACD(SAS)
∴∠BCA=∠DCA=75°。
24．（2020哈尔滨）（8分）已知：在中，，点、点在边上，，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于．

【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，
，
，，
，，，
满足条件的等腰三角形有：，，，．
25.(2020苏州）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．

求证：．
问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值．
【答案】问题1：见解析；问题2：
【详解】问题1：证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，
∴．
问题2：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、．
由（1）可知，
在和中，，
∴，，
，．
∴，．
∴．

19．（2020南京）（8分）如图，点在上，点在上，，，求证：．

证明：在与中
，
．
．
．
18.已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．

证明：∵点是的中点，
．
在中，，
．
在和中，
，

．

21.（2020无锡）如图，已知，，．

求证：（1）；
（2）．
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
26.（2020重庆A卷）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
解：（1）证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，
∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则，
在中，
∵，
∴F为CG中点，即，
∴，
即；
（3）设点P存在，由费马定理可得，

∴，
设PD，
∴，
又，
∴，


又
∴．

26. （2020重庆B卷）△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=23 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点.
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°