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2020年中考数学真题分类汇编11：四边形试卷
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2020年中考数学试题分类汇编之十一
四边形
一、 选择题
10．（2020广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则的值为（ * ）．
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
8．（2020陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
A． B． C．3 D．2
【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴F是AG的中点，
∴EF是梯形ABCG的中位线，
∴CG＝2EF﹣AB＝3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故选：D．
5.（2020乐山）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作 于点，连结．则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点，
∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC
∵∠BAD=120º，
∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º，
∵OE⊥DC，
∴在RtΔAOD中，AD=4 ， AO==2 ，DO=，
在RtΔDEO中，OE=，DE=，
∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+，
故选：B.
7.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A. 5 B. 20 C. 24 D. 32
【答案】B
【详解】解：如图所示，根据题意得AO＝，BO＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
故选：B．
7.（2020湖北黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. B. C. D.
解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
7.（2020山东青岛）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：由对折可得：
矩形，
BC=8
由对折得：
故选C．
5．（2020上海）（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、正确；
D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；
故选：C．
7．（2020四川南充）（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A．14S B．18S C．112S D．116S
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S=12AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF=12OC=14AC，EG=12OB=14BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG=14AC×14BD=18S；
故选：B．
3.(2020甘肃定西）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A. B.3 C. D.4
答案：A
8.(2020甘肃定西）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离.若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ）
A.90° B.100° C.120° D.150°
答案：C
9．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝BD＝×6＝3，OA＝OC＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC＝＝5，∴AD＝5，
∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，
∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝AD＝2.5，
故选：B．
10．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（ ）
A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，
由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵∠A′PF＝∠D′PG＝90°，
∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，
∴∠A′PE＝∠D′HP， ∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2＝8：2， ∴A′P：D′H＝2：1，
∵A′P＝x， ∴D′H＝x，
∵S△D′PH＝D′P•D′H＝A′P•D′H，即，
∴x＝（负根舍弃），
∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，
∴PE＝，PH＝，
∴AD＝＝，
即矩形ABCD的长为，
故选：D．
5．（2020宁夏）（3分）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，
∵DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；
故选：B．
8．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为
A．4 B．8 C． D．6
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
，菱形的面积，
， ；
故选：．
10．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②的周长为；
③；
④的面积的最大值是；
⑤当时，是线段的中点．
其中正确的结论是
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
解：如图1中，在上截取，连接．
，，，
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，
，故①正确，
如图2中，延长到，使得，则，
，，
，
，，，，
，，，故③错误，
的周长，故②错误，
设，则，，
，
，
时，的面积的最大值为．故④正确，
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故⑤正确，
故选：．
19．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
，
，，
，，
．
故选：．
6．（2020江苏连云港）（3分）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
；
故选：．
10．（2020四川遂宁）（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE=102AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AE=5a，OA＝OC＝OB＝OD=2a，
∴AEAO=5a2a=102，即AE=102AO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ=12S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE⊥CD，
∴EQDQ=OECD=12，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，∴EFED=PEEC，
∴EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，
故选：B．
8．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．
求证：DE∥BC，且DE=12BC．
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DF∥=BC；
②∴CF∥=AD．即CF∥=BD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE=12BC．
则正确的证明顺序应是：（ ）
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④ C．①→③→④→② D．①→③→②→④
【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥=AD．即CF∥=BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥=BC，
∴DE∥BC，且DE=12BC．
∴正确的证明顺序是②→③→①→④，
故选：A．
9．（2020贵州遵义）（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．125 B．185 C．4 D．245
【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA=12AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，∴OB=AB2-OA2=4，∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE=12AC•BD，
∴DE=12AC⋅BDAB=12×6×85=245．
故选：D．
3．（3分）（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF=12AB＝5，∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；
故选：C．
11．（3分）（2020•烟台）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A．12 B．920 C．25 D．13
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF=AF2-AB2=25-9=4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x=43，
∴DE＝EF＝3﹣x=53，
∴tan∠DAE=DEAD=535=13，
故选：D．
6.（2020东莞）如图，是矩形的对角线，且，那么的度数是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案：C
12．（2020四川自贡）（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB=6，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（ ）
A．2 B．5 C．322 D．332
解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，
∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1， ∴AE=AB2-BE2=6-1=5，
故选：B．
7．（2020山东滨州）（3分）下列命题是假命题的是
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
选：．
12．（2020山东滨州）（3分）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕，与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为
A． B． C． D．
【解答】解：，
由中位线定理得，
由折叠的性质可得，
，，
，，
，，
过点作于，
，
，
由勾股定理得，
，
，
解得，
．
故选：．
5．（2020四川眉山）（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
选：B．
12．（2020四川眉山）（4分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；
③2AE2＝AH•AC；
④DG⊥AC．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAC＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴＝，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△DAG，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，
延长DG交AC于N，
∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故④正确，
∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，∴，
∴AF2＝AH•AC，∴2AE2＝AH•AC，故③正确，
故选：D．
11．（2020云南）（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O为线段BD的中点．
又∵点E是CD的中点，
∴线段OE为△DBC的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC，∴△DOE∽△DBC，
∴＝（）2＝．选：B．
9．（3分）（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
选：C．
10．（2020山东泰安）（4分）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（ ）
A．lcm B．63cm C．（23-3）cm D．（2-3）cm
【解答】解：过F作FH⊥BC于H，
∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，
∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH=3AG=23，
∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，
∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，
∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，
∴AF＝GH，
∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+23=6，
∴AF＝2-3（cm），
故选：D．
11．（2020山东泰安）（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，∠DAN=∠BCM∠DNA=∠BMCAD=BC，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，故②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
正确结论的个数是4个，
故选：D．
11．（2020海南）（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
二、 填空题
14．（2020安徽）（5分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．请完成下列探究：
（1）的大小为 30 ；
（2）当四边形是平行四边形时，的值为 ．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：，，，，，，
，，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，，
又，，
，，，，
，，
故答案为：．
16.（2020福建）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形可以是平行四边形；
②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；
④四边形不可能是正方形．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【详解】解：如图， 反比例函数图象关于原点成中心对称，
四边形是平行四边形，故①正确，
如图，若四边形是菱形，
则
显然：＜
所以四边形不可能是菱形，故②错误，
如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称，
当垂直于对称轴时，
四边形是矩形，故③错误，
四边形不可能是菱形，
四边形不可能是正方形，故④正确，
故答案：①④．
14．（2020陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 2 ．
【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝3＝EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF＝＝＝2．
故答案为：2．
20．（2020哈尔滨）（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为 ．
【解答】解：设，则，
四边形为菱形，
，，，
，，
，，
，
，解得，
即，，
在中，，
在中，．
故答案为．
16．(2020杭州)（4分）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ 2 ，BE＝ 5-1 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴CF＝AD，∠CFD＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（ASA），
∴DF＝AE＝2；∵∠AFE＝∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AEEF=DEAE，∴2EF=2+EF2，
∴EF=5-1（负值舍去），∴BE＝EF=5-1，
故答案为：2，5-1．
17．(2020天津)如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接．若，，则的长为_______．
答案:
16．（2020贵州黔西南）（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为 3 ．
解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，
则NG=12AM，故AN＝NG，
∴∠2＝∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4=13×90°＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，
∴AE=12AD=12BC＝1，
∴AG＝2，
∴EG=22-12=3，
故答案为：3．
14.（2020无锡）如图，在菱形中，，点在上，若，则__________．
解：四边形ABCD是菱形，，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，
∵ ，
∴∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．
13.（2020山东青岛）如图，在正方形中，对角线与交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点．若，，则点到的距离为__________．
解：如图，过点A作AH⊥DF的延长线于点H，
∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴O为AC中点
∵F点是AE中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=6
∴G点是AD的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴GF==1
∴CD=CE-DE=4,
∴AD=CD=4
在Rt△ADE中，AD=4,DE=2
∴AE=
∴DF=AE=
∴S△AFD=AD·GF=FD·AH
即×4×1=××AH
∴AH=
∴点A到DF的距离为，
故答案为：．
16.（2020湖北武汉）如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，，．设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是________．
解：设DE=EM=x，
∴，
∴x= ，
设CF=y，连接FM，
∴BF=2−y，
又∵FN= y，NM=1，
∴，
∴y=，
∴四边形的面积为：=∙1，
故答案为：.
14.（2020湖北武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________．
解：设∠BAC=x
∵平行四边形的对角线
∴DC//AB,AD=BC,AD//BC ∴∠DCA=∠BAC=x
∵AE=BE ∴∠EBA =∠BAC=x
∴∠BEC=2x
∵ ∴BE=BC
∴∠BCE=∠BEC =2x ∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x
∵AD//BC，
∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．
故答案为26°．
16.（2020重庆A卷）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留）
解：由图可知，
，，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴，
∵点O是AC的中点，∴OA=，
∴,∴，
故答案为：．
15．（2020上海）（4分）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设BC→=a→，CA→=b→，那么向量BD→用向量a→、b→表示为 2a→+b→ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴AD→=BC→=a→，
∵CD→=CA→+AD→=b→+a→，
∴BA→=CD→=b→+a→，
∵BD→=BA→+AD→，
∴BD→=b→+a→+a→=2a→+b→，
故答案为：2a→+b→．
18．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，
∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，
∵点F2是CF1的中点，
∴△EF1F2的面积等于，
同理可得△EFn﹣1Fn的面积为，
∵△BCFn的面积为2×÷2＝，
∴△EFnB的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．
故答案为：．
2．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件 ，使．（填一种情况即可）
【解答】解：添加的条件：，理由是：
，，
，四边形是平行四边形，．
故答案为：．
18．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为 ．
【解答】解：如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．
四边形是正方形，
，，，
，，
，关于对称，，，
，
，，，共线，
，
，，四边形是平行四边形，
，，
，，
的最小值为．
19．（2020黑龙江龙东）（3分）在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为 或 ．
解：分两种情况：
①当点落在边上时，如图1所示：
四边形是矩形，
，
将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，
，
是等腰直角三角形，
，；
②当点落在边上时，如图2所示：
四边形是矩形，
，，
将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，
，，，
，，
在和△中，，，
△，
，即，
解得：，或（舍去），
，
；
综上所述，折痕的长为或；
故答案为：或．
17．(2020山东枣庄)（4分）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是 ．
【解答】解：如图，连接交于点，
四边形为正方形，
，，
，
，即，
四边形为平行四边形，且，
四边形为菱形，
，
，，
由勾股定理得：，
四边形的周长，
故答案为：．
18．(2020山东枣庄)（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积可用公式是多边形内的格点数，是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 6 ．
【解答】解：表示多边形内部的格点数，表示多边形边界上的格点数，表示多边形的面积，
，，
该五边形的面积，
故答案为：6．
18．（2020广西南宁）（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为 π ．
【分析】如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．利用全等三角形的性质证明∠DPB＝120°，推出B，C，D，P四点共圆，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．
∵四边形ABCD是菱形，
∵∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，
∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE（SAS），∴∠DBF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠BDE＝60°，∴∠DBF+∠BDP＝60°，
∴∠BPD＝120°，
∵∠C＝60°，∴∠C+∠DPB＝180°，
∴B，C，D，P四点共圆，
由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，
∵∠BOD＝2∠C＝120°，∴点P的运动的路径的长＝＝π．
故答案为π．
15．（3分）（2020•玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD 是 菱形（填“是”或“不是”）．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝DC•AF，∴BC＝DC，
∴▱ABCD是菱形．
故答案为：是．
15．（3分）（2020•常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为 12 ．
解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：
DG＝DA＝DC＝x，
∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，
∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣4，EF＝6+4＝10，如图1所示：
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，
∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，
∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．
∴DG＝12．
故答案为：12．
15．（2020贵州遵义）（4分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是 1033 ．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．
∴A′B＝AB＝2BM．
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B=BMBA'=12，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE=ABcos30°532=1033．
故答案为：1033．
6．（2020青海）（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为 6 cm．
解：在矩形ABCD中，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BOC＝120°，∴∠OCB＝30°，
∵DC＝3，∴AB＝CD＝3，
在Rt△ACB中，AC＝2AB＝6，
故答案为：6
20．（2020山东滨州）（5分）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、4，则正方形的面积为 ．
【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．
，，，
，，，，
，，
，
，，共线，
，，
，，
，
正方形的面积为．
6．（2020云南）（3分）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 或 ．
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E在AB上时，
∵CE2＝BE2+BC2＝EA2，∴AE2＝（6﹣AE）2+4，
∴AE＝，
∴DE＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
三、 解答题
21.（2020北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.
【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD的中点，∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形.
（2）∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，.
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5
∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2
23．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，．与相交于点，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，连接，求证：．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，点在的延长线上，
，
又，，
，
，
，
即，
故，
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
即，
设，则有，化简得，
解得或（舍去），
．
（3）如图，在线段上取点，使得，
在与中，，，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
25．（2020成都）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．
【解答】解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
当点与重合时，的值最大，此时，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为，．
27．（2020成都）（10分）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【解答】解：（1）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，
设，则，
，
，
解得．
．
．
23．（2020广州）（本小题满分12分）
如图10，△ABD中，∠ABD =∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，
交BD于点O．
① 求证：四边形ABCD是菱形；
② 取BC的中点E，连接OE，若，，求点E到AD的距离．
【详解过程】解：(1)作图如下：∴点C为所求的点A关于BD的对称点。
（2）①证明：∵点A与点C关于BD对称
∴BC=BA, DC=DA
∵△ABD中，∠ABD =∠ADB
∴AB=AD
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形。
②过B作BF⊥AD于点F。根据平行线上的距离处处相等可知BF的长度就是点E到AD的距离。
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD于点O,即∠BOC＝90°。
∵在RT△BOC中，E为BC中点，,
∴BC=2OE=13.
∴AB=BC=CD=DA=13.
∵BD=10.
∴BO=DO=5
∴在RT△BCO中，CO=12.
∴AC＝2CO=24.
∴==120.
∵
∴13×BD=120,即BD=.
所以点E到AD的距离。
18.（2020福建）如图，点分别在菱形的边，上，且．
求证：．
解：证明：∵四边形是菱形，
∴，．
在和中，
∴，
∴．
24.（2020福建）如图，由绕点按逆时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，相交于点．
（1）求的度数；
（2）是延长线上的点，且．
①判断和的数量关系，并证明；
②求证：．
解：（1）由旋转的性质可知，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①．
证明：由旋转的性质可知，，，
在中，，
∵，，
∴，
即，
∴．
②过点作交于点，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
18．（2020陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
25．（2020陕西）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF ．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，＝2，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，
在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：4＝CF+CF，
解得：CF＝6﹣2；
（3）①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，
∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，
在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，
∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，
∴×50×PF＝×40×30，
解得：PF＝24，
∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），
∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．
27．（2020哈尔滨）（10分）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，，过点作轴的垂线与过点的直线相交于点，直线的解析式为，过点作轴，垂足为，．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上，连接，点在线段上，过点作轴，垂足为，交于点，若，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接，过点作的垂线交线段于点，连接，过点作轴的平行线交于点，连接交轴于点，连接，若，，求点的坐标．
【解答】解：（1）轴，，
时，，解得，
，
轴，
，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
（2）如图2中，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
直线的解析式为，设点的横坐标为，则，
，
把，代入中，得到，
，
，
把代入，中，得到，
，
，
，
．
（3）如图3中，设直线交的延长线于，交轴于，过点作于．
轴，
，，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，，
，
，
，
，
解得，
，，
，，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，．
21．(2020杭州)（10分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设CEEB=λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE=AB2+BE2=5，
∴EF=5，
∴CF＝EF﹣EC=5-1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
∠D=∠GCF∠AGD=∠FGCAG=FG，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴ECGC=GCFC，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴GCFC=12，
∴ECGC=12，
∴EC=12a，BE＝BC﹣EC＝2a-12a=32a，
∴λ=CEEB=12a32a=13．
23.（2020河南）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；
当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．
【详解】（1）由题知°，°，
∴°，且为等边三角形
∴°，
∴
∵
∴°
∴°
∴等腰直角三角形
连接BD，如图所示
∵°
∴即
∵
∴
∴
故答案为：等腰直角三角形，
（2）①两个结论仍然成立
连接BD，如图所示：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵四边形正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴结论不变，依然成立
②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论
第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，
如图所示：
此时点E与点A重合，
∴，得；
②当以CD为对角线时，如图所示：
此时点F为CD中点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上：的值为3或1．
19（2020乐山）.如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．
【答案】．
解∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴
∵，
，
∴
在和中，
∴
∴，即
解得
即的长度为．
25.（2020乐山）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
25.（2020四川绵阳）（本题满分14分）
如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，为△BCD的内切圆，切点分别为M、P、Q,DN=4,BN=6.
(1) 求BC、CD.
(2) 点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI∥BD交AC于点I，设运动时间为秒。
①将△AHI沿AC翻折得,是否存在时刻，使得点恰好落在BC上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
备用图
②若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求的值。备用图
【解析】解：（1）设的半径为r.则：由切线长定理得DC=r+4. BC=r+6.BD=10.
在RT△BCD中，由勾股定理得：,即：。解得：，（舍去）。
25题（2）解答图
∴DC=6, BC=8.
（2）存在时刻，使得点恰好落在BC上. 理由如下：
由题意知，AH==3,∠HAI==∠ACB
∴==3
在RT△AB中，B==＝。
所以，C=8-
∴3=8-,解得：＝。
当＝时，点恰好落在BC上。
②如图当△OFH为正三角形时，过O作OE⊥AD于E
25题（2）②题解答图
∴OE=3,AE=DE=4,AH=3,DH=8-3.EH=3-4.
延长OF交AB于点K，连接KH.
∵O是矩形对角线的交点，
∴△AOK≌△COF
∴KO=FO=HO
∵△FOH是等边三角形
∴∠HOF=∠OHF=OFH=60°。
∴∠HKF=∠KHO=30°
∴∠KHF=90°
在△KHF中，设OH=OF=HF=，则KH=，KF=2
在矩形ABCD中，∠KHF＝90°，则可证得：△AHK∽△DFH
∴,即：，∴AK=
∴在RT△AKH中，由勾股定理得：,
∴：，即：
在RT△OMH中，由勾股定理得：,
∴,.
∴=,
解得：，。
∵动点H的速度是3个单位长度每秒，而AD=8，且动点从A运动到D就停止。∴不合题意，舍去。
故。
所以当△OFH为正三角形时，的值是（）秒。
18.（2020贵阳）如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）40
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，即．
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）如图，连接，
∵四边形是矩形
∴
中，，，
∴由勾股定理得，，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴即，解得．
由（1）得四边形是平行四边形，
又∵，高，
∴．
25.（2020贵阳）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．
（1）问题解决：如图①，连接，分别取，中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；
（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．
【答案】（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得PQ为△BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；
（2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；
（3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的长度，即可计算出的面积．
【详解】解：（1）∵点P和点Q分别为，的中点，
∴PQ为△BOC的中位线，
∵四边形是正方形，
∴AC⊥BO，
∴，；
故答案为：，；
（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接并延长交于点，
由正方形的性质及旋转可得，∠，
是等腰直角三角形，，．
∴，．
又∵点是的中点，∴．
∴．
∴，．
∴，∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，．
∴也为等腰直角三角形．
又∵点为的中点，
∴，且．
∴的形状是等腰直角三角形．
（3）延长交边于点，连接，．
∵四边形正方形，是对角线，
∴．
由旋转得，四边形是矩形，
∴，．
∴为等腰直角三角形．
∵点是的中点，
∴，，．
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，，
∴．
∴．
27.（2020无锡）如图，在矩形中，，，点为边上的一点（与、不重合）四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交与点，记四边形的面积为．
（1）若，求的值；
（2）设，求关于的函数表达式．
解：（1）在Rt△ADE中，∵，，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∵四边形关于直线的对称图形为四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴S=S△APE+S△ADE=；
（2）过点作于点F，如图，则四边形ADEF矩形，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，解得：，
∴S=S△APE+S△ADE=．
23.（2020长沙）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴EC=．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF=，
∴tan+tan=，
设CE=1，DE=x，
∵，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF= AD==，
∴tan+tan==．
21.（2020山东青岛）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：≌；
（2）连接，，当平分时，四边形什么特殊四边形？请说明理由．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,∠ADB=∠CBD，
又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADE=∠CBF
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF；
（2）四边形是菱形
理由如下：
如图，连接，，
由（1）得△ADE≌△CBF
∴CF=AE, ∠E=∠F
∴AE∥CF
∴AECF
∴四边形AFCE是平行四边形
当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD
又∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ABD
∴AD=AB=BC
∴△ABC为等腰三角形
由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF
∴平行四边形AFCE是菱形
24.（2020山东青岛）已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；
（3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴即：，
解得：CM=，
要使点在线段的垂直平分线上，
只需QM=CM=，
∴t=；
（2）如图，∵，，，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cos∠PAH=，sin∠EFB=，
在Rt△APH中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH=，
在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，
在Rt△QNF中，QF=10-t-=，
∴QN=QF·sin∠EFB=()×=，
四边形为矩形，
∴PH=QN，
∴=，
解得：t=3；
（3）如图，过Q作QN⊥AF于N，
由（2）中知QN=，AH=AP·cos∠PAH=，
∴BH=GC=8-，
∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，
∴
=
=
=，
∴S与t的函数关系式为：；
（4）存在，t=．
证明：如图，延长AC交EF于T，
∵AB=BFBC=BF, ，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90º，
∴∠BAC+∠EFB=90º，
∴∠ATE=90º即PT⊥EF，
要使点在的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=，
CT=CE·sin∠BEF =，
PT=10+-2t=，又PH=，
=，
解得：t=．
23．（2020齐齐哈尔）（（12分）综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM 是 （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答： 等边三角形 ；进一步计算出∠MNE＝ 60 °；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝ 15 °；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．
请写出以上4个数值中你认为正确的数值 7，9 ．
【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
故答案为：7，9．
21.（2020重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
（1）解：，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
．
23．（2020上海）（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠BCE＝∠H，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）证明：∵BE2＝AB•AE，
∴BEAB=AEEB，
∵AG∥BC，
∴AEBE=AGBC，
∴BEAB=AGBC，
∵DF＝BE，BC＝AB，
∴BE＝AG＝DF，
即AG＝DF．
21．（2020上海）（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝35．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正切值．
【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，
∴∠D＝90°，
∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵BC＝35，
∴CE=BC2-BE2=6，
∴梯形ABCD的面积=12×（5+8）×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，
∴△CDH∽△DBA，
∴CHAD=CDBD，
∵BD=AB2+AD2=82+62=10，
∴CH6=510，
∴CH＝3，
∴BH=BC2-CH2=(35)2-32=6，
∴∠DBC的正切值=CHBH=36=12．
20.（2020重庆B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE=DF.
解与证：（1）∵CF平分∠DCB
∴∠BCD=2∠BCF=120°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠CDF=12∠DCB
∴∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF
18．（2020新疆生产建设兵团）（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFBAD=CB，
∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；
（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，
则DE＝BF，
又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．
24．（2020四川南充）（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为110，请直接写出AK长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，
∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM＝BN；
（2）△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（3）在Rt△ABK中，BK=AK2+AB2=x2+1，
∵S△ABK=12×AK×AB=12×BK×AM，
∴AM=AK⋅ABBK=xx2+1，
∴BN＝AM=xx2+1，
∵cos∠ABK=BMAB=ABBK，
∴BM=AB⋅ABBK=1x2+1，
∴MN＝BM﹣BN=1-xx2+1
∵S△OMN=14MN2=(1-x)24x2+4，
∴y=x2-2x+14x2+4（0＜x＜1）；
当点K在线段AD上时，则110=x2-2x+14x2+4，
解得：x1＝3（不合题意舍去），x2=13，
当点K在线段AD的延长线时，同理可求y=x2-2x+14x2+4（x＞1），
∴110=x2-2x+14x2+4，
解得：x1＝3，x2=13（不合题意舍去），
综上所述：AK的值为3或13时，△OMN的面积为110．
27.(2020甘肃定西）如图，点，分别在正方形的边，上，且.把绕点顺时针旋转90°得到.
（1）求证：.
（2）若，，求正方形的边长.
证明：（1）如图，由旋转知，∴，.
∵，，
∴，
∴.
∴.
在和中，，
∴.
解：（2）由（1）知，即，
∵，∴.
又∵，，∴.
设正方形的边长为，则，
在中，∵，
∴.
解得，（舍去）
故正方形的边长为6.
24．（2020吉林）（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．
【探究】求证：四边形AGHD是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 56 ．
【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为 120 ．
解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，
∴AE∥GF，DC∥AB， ∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AD＝AG， ∴四边形AGHD是菱形；
【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，
故答案为：56；
【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，
又AM＝AM，
∴△AMD≌△AMG（SAS），
∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，
∵∠AMD+∠AMG＝180°，
∴∠AMD＝∠AMG＝90°，
∵sin∠BAD＝，
∴， ∴DM＝AD＝4，
∴DG＝8，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，
∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，
∴四边形CDGF是平行四边形，
∵∠AMD＝90°，
∴∠CDG＝∠AMD＝90°，
∴四边形CDGF是矩形，
∴S矩形DCFG＝DG•DC＝8×9＝72，
故答案为：72．
18．（2020内蒙古呼和浩特）（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．
解：（1）证明：∵正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝90°＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE，AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形不能是平行四边形．
21．（2020宁夏）（6分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∴∠FEA＝∠DEC，∠F＝∠ECD．
又∵EA＝ED，
∴△AFE≌△DCE．
∴AF＝DC．
∴AF＝AB．
28．（2020黑龙江龙东）（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．
（1）线段 ；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）长是的根，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
故答案为：．
（2）如图，过点作于，
，
，
，
，，
，
当时，的面积；
当时，点与点重合，，
当时，的面积；
（3）如图，过点作于，
当时，
，
，
或，
或，
当时，
，，
，，
点，，
当时，
同理可求点，，
当时，
，
，
或24（不合题意舍去），
，
点，，
综上所述：点坐标为，或，．
23．（2020黑龙江牡丹江）（6分）在中，，，．以为边作周长为18的矩形，，分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．
【解答】解：，，
中边上的高为，而矩形 的周长为18，，
，
当矩形和在同侧时，
过作，垂足为，与交于，连接，
可知，，
，，
，分别为和中点，
；
当矩形和在异侧时，
过作，垂足为，与交于，连接，
可知，，，为中点，
，，，
，分别为和中点，
，
综上：的长为或．
22．（2020江苏连云港）（10分）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【解答】（1）证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
27．（2020江苏连云港）（12分）（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则 12 ；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
【解答】解：（1）如图1中，
过点作于，交于．
四边形是矩形，，
四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
故答案为12．
（2）如图2中，连接，，
在中，点是的中点，
可设，同理，，，，
，，
，
，
．
（3）如图3中，由题意四边形，四边形都是平行四边形，
，，
，
．
（4）如图中，结论：．
理由：设线段，线段，弧围成的封闭图形的面积为，线段，线段，弧的封闭图形的面积为．
由题意：，
，
，
．
同法可证：图中，有结论：．
图中和图中，有结论：．
25．（2020江苏泰州）（12分）如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．
（1）求证：．
（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．
【解答】证明：（1）正方形的边长为6，为的中点，
，，，
是等边三角形，
，，
，
又，
；
（2）的值不变，
理由如下：如图1，连接，过点作于，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，当点落在上时，
，
，
，
是等边三角形，
当点落在上时，点关于的对称点为，
△，
点与点重合，点与点重合，
，
如图3，当点落在上时，
同理可求：，
当时，点落在的内部．
18．（2020四川遂宁）（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，
∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
18．（2020湖南岳阳）（6分）（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE=13BC，FD=13AD，∴BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
23．（2020湖南岳阳）（10分）（2020•岳阳）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．
（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；
（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当t＞94s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求AFCE的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝10，
由运动知，CP＝t＝5，∴AP＝AC﹣CP＝5，
∴AP＝CP，∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，∴△APF≌△CPE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）结论：AQ2+CE2＝QE2，
理由：如图2，
连接FQ，由（1）知，△APF≌△CPE，
∴AF＝CE，PE＝PF，
∵EF⊥PQ，∴QE＝QF，
在Rt△QAF中，根据勾股定理得，AQ2+AF2＝QF2，
∴AQ2+CE2＝QE2；
（3）如图3，
由运动知，AQ＝t，CP＝t，
∴AP＝AC﹣CP＝10﹣t，
∵FQ平分∠AFE，∴∠AFC＝∠PFQ，
∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，∴△FAQ≌△FPQ（AAS），
∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣t，∠FAC＝∠FPA，
∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，∴∠ACB＝∠CPE，
∴PE＝CE，过点E作EN⊥AC于N，∴CN=12CP=12t，∠CNE＝90°＝∠ABC，
∵∠NCE＝∠BCA，∴△CNE∽△CBA，
∴CEAC=CNCB，∴CE10=12t8，∴CE=58t，
∴PE=58t，BE＝BC﹣CE＝8-58t，
在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，
∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，∴t2+（58t）2＝（6﹣t）2+（8-58t）2，
∴t=5011，∴CP＝t=5011，
∴AP＝10﹣CP=6011，
∵AD∥BC，∴△APF∽△CPE，
∴AFCE=APCP=60115011=65．
23．（2020湖南岳阳）（10分）（2020•岳阳）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．
（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；
（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当t＞94s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求AFCE的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝10，
由运动知，CP＝t＝5，
∴AP＝AC﹣CP＝5，
∴AP＝CP，
∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，
∴△APF≌△CPE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）结论：AQ2+CE2＝QE2，
理由：如图2，
连接FQ，由（1）知，△APF≌△CPE，
∴AF＝CE，PE＝PF，
∵EF⊥PQ，
∴QE＝QF，
在Rt△QAF中，根据勾股定理得，AQ2+AF2＝QF2，
∴AQ2+CE2＝QE2；
（3）如图3，
由运动知，AQ＝t，CP＝t，
∴AP＝AC﹣CP＝10﹣t，
∵FQ平分∠AFE，∴∠AFC＝∠PFQ，
∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，
∴△FAQ≌△FPQ（AAS）， ∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，
∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣t，∠FAC＝∠FPA，
∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，
∴∠ACB＝∠CPE，
∴PE＝CE，过点E作EN⊥AC于N，
∴CN=12CP=12t，∠CNE＝90°＝∠ABC，
∵∠NCE＝∠BCA，
∴△CNE∽△CBA，∴CEAC=CNCB，
∴CE10=12t8， ∴CE=58t，
∴PE=58t，BE＝BC﹣CE＝8-58t，
在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，
在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，
∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，
∴t2+（58t）2＝（6﹣t）2+（8-58t）2，
∴t=5011，∴CP＝t=5011， ∴AP＝10﹣CP=6011，
∵AD∥BC， ∴△APF∽△CPE，
∴AFCE=APCP=60115011=65．
21．（2020广西南宁）（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
25．（10分）（2020•玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD=22AB．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．
（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝OD=22AB，
∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，∴AB＝HG，∴AH＝BG，∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2．∴x2＝2（2﹣x），
解得：x=5-1（负值舍去），
∴AH=5-1．
25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
【解答】解：作PN⊥BC于N，如图：
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM=22PM=22×30＝152（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝302m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ=33PN＝106m，PQ＝2NQ＝206≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （105-10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB=5-12×20＝（105-10）cm．
故答案为：（105-10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC=DE2+DC2=102+202=105，
∴EM＝105，
∴DM＝105+10，
∴tan∠DMC=DCDH=20105+10=25+1=5-12．
∴tan∠BCG=5-12，
即BGBC=5-12，
∴BGAB=5-12，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BF＝AE，
∵AD∥CP， ∴△AEF∽△BPF，
∴AEBP=AFBF，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE， ∴AFBF=BFAB，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴AFBF=BFAB=AEBC， ∴AEBP=AEBC，
∴BP＝BC．
23．（2020贵州遵义）（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中
∠EDM=∠FENDM=EN∠DME=∠ENF，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE=2，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴CDAF=CGAG，
∴42=CGAG，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝42，
∵AC＝AG+GC，
∴AG=423，CG=823，
∴GE＝GC﹣CE=823-2=523；
如图2所示，
同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝42，
∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，
∴AFCD=GAGC， 即24=AGAG+42，
解得，AG＝42，
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE=2，
∴GE＝GA+AE＝52．
22．（2020山西）（12分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
解：（1）四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，DH⊥AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
24（2020东莞）.如图，中，，点为斜边的中点.将线段平移至交于点，连接、、.
（1）求证：；
（2）求证：四边形为菱形；
（3）连接，交于点，若，，求的长.
（1）证明：
∵为平移所得，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
在中，点为斜边的中点，
∴，
∴.
（2）证明：
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形.
（3）解：在菱形中，点为的中点，
又，
∴，
∵，
∴，，
∴在中，，
即，
∴，
在平行四边形中，点为的中点，
∴.
22．（2020云南）（9分）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，重足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，重足为F，
（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝120°，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵H为对角线AC的中点，∴EH＝FH＝AC，
∵∠CAE＝30°，
∵CE＝AC，∴CE＝EH＝CF＝FH，
∴四边形CEHF是菱形；
（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，
∴AE＝8，
∴AC＝＝4，
连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2，
∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC，
∴△ABH∽△ACE，
∴＝， ∴＝，
∴BH＝， ∴BD＝2BH＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝20．
21．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．
【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴12AC•BD＝24，
解得，AC＝BD＝43，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE=23，
∴r=DEsin60°=2332=4，
∴⊙O的半径为4．
24．（2020浙江温州）（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=-65x+12，当Q为BF中点时，y=245．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．
（2）求DE，BF的长．
（3）若AD＝6．
①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．
②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．
【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：
如图1所示：
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF=12×180°＝90°，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠ABF，
∴DE∥BF；
（2）令x＝0，得y＝12，
∴DE＝12，
令y＝0，得x＝10，
∴MN＝10，
把y=245代入y=-65x+12，
解得：x＝6，即NQ＝6，
∴QM＝10﹣6＝4，
∵Q是BF中点，
∴FQ＝QB，
∵BM＝2FN，
∴FN+6＝4+2FN，
解得：FN＝2，
∴BM＝4，
∴BF＝FN+MN+MB＝16；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF＝EM，
∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，
∴∠DEA＝30°，
∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，
∴∠DFM＝∠DEM＝120°，
∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠MEB＝∠FBE＝30°，
∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4，
∴MH=12BM＝2，
∴EH＝4+2＝6，
由勾股定理得：HB=BM2-MH2=42-22=23，
∴BE=EH2-HB2=62+(23)2=43，
当DP＝DF时，-65x+12＝4，
解得：x=203，
∴BQ＝14﹣x＝14-203=223，
∵223＞43，
∴BQ＞BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
y＝0，
则x＝10；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF＝16，∠FCB＝90°，∠CBF＝30°，
∴CF=12BF＝8，
∴CD＝8+4＝12，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，
∴FQDP=CFCD，
∴2+x-65x+12=812，
解得：x=103；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
∵PE∥BQ，
∴△APE∽△AQB，
∴PEBQ=AEAB，
由勾股定理得：AE=DE2-AD2=122-62=63，
∴AB＝63+43=103，
∴12-(-65x+12)14-x=63103，
解得：x=143，
由图可知，PQ不可能过点B；
综上所述，当x＝10或x=103或x=143时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．
21．（2020海南）（13分）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连结DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连结AF，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；
（2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAE＝90°，AB＝AD＝BC，
∵点E，F分别是AB、BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△CGD，
∴＝，即＝，
∴AG＝；
（3）当BF＝时，AG＝AE，理由如下：
如图所示，设AF交CD于点M，
若使AG＝AE＝1，则有∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴DM＝MG，
在Rt△ADM中，AM2﹣DM2＝AD2，即（DM+1）2﹣DM2＝22，
解得DM＝，
∴CM＝CD﹣DM＝2﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△MCF，
∴＝，即＝，
∴BF＝，
故当BF＝时，AG＝AE．
四边形
一、 选择题
10．（2020广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则的值为（ * ）．
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
8．（2020陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
A． B． C．3 D．2
【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴F是AG的中点，
∴EF是梯形ABCG的中位线，
∴CG＝2EF﹣AB＝3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故选：D．
5.（2020乐山）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作 于点，连结．则四边形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点，
∴AO⊥BD ， AD=AB=4，AB∥DC
∵∠BAD=120º，
∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º，
∵OE⊥DC，
∴在RtΔAOD中，AD=4 ， AO==2 ，DO=，
在RtΔDEO中，OE=，DE=，
∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2++3+4=9+，
故选：B.
7.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A. 5 B. 20 C. 24 D. 32
【答案】B
【详解】解：如图所示，根据题意得AO＝，BO＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
故选：B．
7.（2020湖北黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A. B. C. D.
解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
7.（2020山东青岛）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：由对折可得：
矩形，
BC=8
由对折得：
故选C．
5．（2020上海）（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、正确；
D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；
故选：C．
7．（2020四川南充）（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A．14S B．18S C．112S D．116S
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S=12AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF=12OC=14AC，EG=12OB=14BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG=14AC×14BD=18S；
故选：B．
3.(2020甘肃定西）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A. B.3 C. D.4
答案：A
8.(2020甘肃定西）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离.若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ）
A.90° B.100° C.120° D.150°
答案：C
9．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝BD＝×6＝3，OA＝OC＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC＝＝5，∴AD＝5，
∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，
∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝AD＝2.5，
故选：B．
10．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（ ）
A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，
由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵∠A′PF＝∠D′PG＝90°，
∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，
∴∠A′PE＝∠D′HP， ∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2＝8：2， ∴A′P：D′H＝2：1，
∵A′P＝x， ∴D′H＝x，
∵S△D′PH＝D′P•D′H＝A′P•D′H，即，
∴x＝（负根舍弃），
∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，
∴PE＝，PH＝，
∴AD＝＝，
即矩形ABCD的长为，
故选：D．
5．（2020宁夏）（3分）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，
∵DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；
故选：B．
8．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为
A．4 B．8 C． D．6
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
，菱形的面积，
， ；
故选：．
10．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且，与相交于点，连接、、．则下列结论：
①；
②的周长为；
③；
④的面积的最大值是；
⑤当时，是线段的中点．
其中正确的结论是
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
解：如图1中，在上截取，连接．
，，，
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，
，故①正确，
如图2中，延长到，使得，则，
，，
，
，，，，
，，，故③错误，
的周长，故②错误，
设，则，，
，
，
时，的面积的最大值为．故④正确，
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故⑤正确，
故选：．
19．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
，
，，
，，
．
故选：．
6．（2020江苏连云港）（3分）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
；
故选：．
10．（2020四川遂宁）（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，
②AP＝FP，
③AE=102AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AE=5a，OA＝OC＝OB＝OD=2a，
∴AEAO=5a2a=102，即AE=102AO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ=12S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE⊥CD，
∴EQDQ=OECD=12，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，∴EFED=PEEC，
∴EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，
故选：B．
8．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．
求证：DE∥BC，且DE=12BC．
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
①∴DF∥=BC；
②∴CF∥=AD．即CF∥=BD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE=12BC．
则正确的证明顺序应是：（ ）
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④ C．①→③→④→② D．①→③→②→④
【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥=AD．即CF∥=BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥=BC，
∴DE∥BC，且DE=12BC．
∴正确的证明顺序是②→③→①→④，
故选：A．
9．（2020贵州遵义）（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．125 B．185 C．4 D．245
【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA=12AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，∴OB=AB2-OA2=4，∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE=12AC•BD，
∴DE=12AC⋅BDAB=12×6×85=245．
故选：D．
3．（3分）（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF=12AB＝5，∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；
故选：C．
11．（3分）（2020•烟台）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）
A．12 B．920 C．25 D．13
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF=AF2-AB2=25-9=4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x=43，
∴DE＝EF＝3﹣x=53，
∴tan∠DAE=DEAD=535=13，
故选：D．
6.（2020东莞）如图，是矩形的对角线，且，那么的度数是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案：C
12．（2020四川自贡）（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB=6，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（ ）
A．2 B．5 C．322 D．332
解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，
∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1， ∴AE=AB2-BE2=6-1=5，
故选：B．
7．（2020山东滨州）（3分）下列命题是假命题的是
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
选：．
12．（2020山东滨州）（3分）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕，与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为
A． B． C． D．
【解答】解：，
由中位线定理得，
由折叠的性质可得，
，，
，，
，，
过点作于，
，
，
由勾股定理得，
，
，
解得，
．
故选：．
5．（2020四川眉山）（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
选：B．
12．（2020四川眉山）（4分）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；
③2AE2＝AH•AC；
④DG⊥AC．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAC＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴＝，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△DAG，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，
延长DG交AC于N，
∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故④正确，
∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，∴，
∴AF2＝AH•AC，∴2AE2＝AH•AC，故③正确，
故选：D．
11．（2020云南）（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）
A． B． C． D．
解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O为线段BD的中点．
又∵点E是CD的中点，
∴线段OE为△DBC的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC，∴△DOE∽△DBC，
∴＝（）2＝．选：B．
9．（3分）（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
选：C．
10．（2020山东泰安）（4分）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（ ）
A．lcm B．63cm C．（23-3）cm D．（2-3）cm
【解答】解：过F作FH⊥BC于H，
∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，
∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH=3AG=23，
∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，
∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，
∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，
∴AF＝GH，
∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+23=6，
∴AF＝2-3（cm），
故选：D．
11．（2020山东泰安）（4分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，∠DAN=∠BCM∠DNA=∠BMCAD=BC，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，故②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
正确结论的个数是4个，
故选：D．
11．（2020海南）（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，可得：AG＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
二、 填空题
14．（2020安徽）（5分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．请完成下列探究：
（1）的大小为 30 ；
（2）当四边形是平行四边形时，的值为 ．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：，，，，，，
，，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，，
又，，
，，，，
，，
故答案为：．
16.（2020福建）设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形可以是平行四边形；
②四边形可以是菱形；
③四边形不可能是矩形；
④四边形不可能是正方形．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【详解】解：如图， 反比例函数图象关于原点成中心对称，
四边形是平行四边形，故①正确，
如图，若四边形是菱形，
则
显然：＜
所以四边形不可能是菱形，故②错误，
如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称，
当垂直于对称轴时，
四边形是矩形，故③错误，
四边形不可能是菱形，
四边形不可能是正方形，故④正确，
故答案：①④．
14．（2020陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 2 ．
【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，
得矩形AGHE，
∴GH＝AE＝2，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴BG＝3，AG＝3＝EH，
∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，
∵EF平分菱形面积，
∴FC＝AE＝2，
∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，
在Rt△EFH中，根据勾股定理，得
EF＝＝＝2．
故答案为：2．
20．（2020哈尔滨）（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为 ．
【解答】解：设，则，
四边形为菱形，
，，，
，，
，，
，
，解得，
即，，
在中，，
在中，．
故答案为．
16．(2020杭州)（4分）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ 2 ，BE＝ 5-1 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴CF＝AD，∠CFD＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（ASA），
∴DF＝AE＝2；∵∠AFE＝∠CFD＝90°，
∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AEEF=DEAE，∴2EF=2+EF2，
∴EF=5-1（负值舍去），∴BE＝EF=5-1，
故答案为：2，5-1．
17．(2020天津)如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接．若，，则的长为_______．
答案:
16．（2020贵州黔西南）（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为 3 ．
解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，
则NG=12AM，故AN＝NG，
∴∠2＝∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4=13×90°＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，
∴AE=12AD=12BC＝1，
∴AG＝2，
∴EG=22-12=3，
故答案为：3．
14.（2020无锡）如图，在菱形中，，点在上，若，则__________．
解：四边形ABCD是菱形，，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=∠BCD=65°，
∵ ，
∴∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠BAE=180°-∠AEC=115°．
13.（2020山东青岛）如图，在正方形中，对角线与交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点．若，，则点到的距离为__________．
解：如图，过点A作AH⊥DF的延长线于点H，
∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴O为AC中点
∵F点是AE中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=6
∴G点是AD的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴GF==1
∴CD=CE-DE=4,
∴AD=CD=4
在Rt△ADE中，AD=4,DE=2
∴AE=
∴DF=AE=
∴S△AFD=AD·GF=FD·AH
即×4×1=××AH
∴AH=
∴点A到DF的距离为，
故答案为：．
16.（2020湖北武汉）如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，，．设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是________．
解：设DE=EM=x，
∴，
∴x= ，
设CF=y，连接FM，
∴BF=2−y，
又∵FN= y，NM=1，
∴，
∴y=，
∴四边形的面积为：=∙1，
故答案为：.
14.（2020湖北武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是________．
解：设∠BAC=x
∵平行四边形的对角线
∴DC//AB,AD=BC,AD//BC ∴∠DCA=∠BAC=x
∵AE=BE ∴∠EBA =∠BAC=x
∴∠BEC=2x
∵ ∴BE=BC
∴∠BCE=∠BEC =2x ∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x
∵AD//BC，
∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．
故答案为26°．
16.（2020重庆A卷）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留）
解：由图可知，
，，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴，
∵点O是AC的中点，∴OA=，
∴,∴，
故答案为：．
15．（2020上海）（4分）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设BC→=a→，CA→=b→，那么向量BD→用向量a→、b→表示为 2a→+b→ ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴AD→=BC→=a→，
∵CD→=CA→+AD→=b→+a→，
∴BA→=CD→=b→+a→，
∵BD→=BA→+AD→，
∴BD→=b→+a→+a→=2a→+b→，
故答案为：2a→+b→．
18．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，
∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，
∵点F2是CF1的中点，
∴△EF1F2的面积等于，
同理可得△EFn﹣1Fn的面积为，
∵△BCFn的面积为2×÷2＝，
∴△EFnB的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．
故答案为：．
2．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件 ，使．（填一种情况即可）
【解答】解：添加的条件：，理由是：
，，
，四边形是平行四边形，．
故答案为：．
18．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为 ．
【解答】解：如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，，．
四边形是正方形，
，，，
，，
，关于对称，，，
，
，，，共线，
，
，，四边形是平行四边形，
，，
，，
的最小值为．
19．（2020黑龙江龙东）（3分）在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为 或 ．
解：分两种情况：
①当点落在边上时，如图1所示：
四边形是矩形，
，
将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，
，
是等腰直角三角形，
，；
②当点落在边上时，如图2所示：
四边形是矩形，
，，
将沿折叠．点的对应点落在矩形的边上，
，，，
，，
在和△中，，，
△，
，即，
解得：，或（舍去），
，
；
综上所述，折痕的长为或；
故答案为：或．
17．(2020山东枣庄)（4分）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是 ．
【解答】解：如图，连接交于点，
四边形为正方形，
，，
，
，即，
四边形为平行四边形，且，
四边形为菱形，
，
，，
由勾股定理得：，
四边形的周长，
故答案为：．
18．(2020山东枣庄)（4分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积可用公式是多边形内的格点数，是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积 6 ．
【解答】解：表示多边形内部的格点数，表示多边形边界上的格点数，表示多边形的面积，
，，
该五边形的面积，
故答案为：6．
18．（2020广西南宁）（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为 π ．
【分析】如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．利用全等三角形的性质证明∠DPB＝120°，推出B，C，D，P四点共圆，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD．
∵四边形ABCD是菱形，
∵∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，
∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE（SAS），∴∠DBF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠BDE＝60°，∴∠DBF+∠BDP＝60°，
∴∠BPD＝120°，
∵∠C＝60°，∴∠C+∠DPB＝180°，
∴B，C，D，P四点共圆，
由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，
∵∠BOD＝2∠C＝120°，∴点P的运动的路径的长＝＝π．
故答案为π．
15．（3分）（2020•玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD 是 菱形（填“是”或“不是”）．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AE＝DC•AF，∴BC＝DC，
∴▱ABCD是菱形．
故答案为：是．
15．（3分）（2020•常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为 12 ．
解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：
DG＝DA＝DC＝x，
∵GF＝4，EG＝6，∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，
∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣4，EF＝6+4＝10，如图1所示：
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
BE2+BF2＝EF2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，
∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，∴x2﹣10x﹣24＝0，
∴（x+2）（x﹣12）＝0，∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．
∴DG＝12．
故答案为：12．
15．（2020贵州遵义）（4分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是 1033 ．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．
∴A′B＝AB＝2BM．
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B=BMBA'=12，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE=ABcos30°532=1033．
故答案为：1033．
6．（2020青海）（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为 6 cm．
解：在矩形ABCD中，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BOC＝120°，∴∠OCB＝30°，
∵DC＝3，∴AB＝CD＝3，
在Rt△ACB中，AC＝2AB＝6，
故答案为：6
20．（2020山东滨州）（5分）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、4，则正方形的面积为 ．
【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．
，，，
，，，，
，，
，
，，共线，
，，
，，
，
正方形的面积为．
6．（2020云南）（3分）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 或 ．
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E在AB上时，
∵CE2＝BE2+BC2＝EA2，∴AE2＝（6﹣AE）2+4，
∴AE＝，
∴DE＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
三、 解答题
21.（2020北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.
【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD的中点，∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形.
（2）∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，.
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=AB=5
∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2
23．（2020安徽）（14分）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，．与相交于点，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）如图2，连接，求证：．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，点在的延长线上，
，
又，，
，
，
，
即，
故，
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
即，
设，则有，化简得，
解得或（舍去），
．
（3）如图，在线段上取点，使得，
在与中，，，，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
．
25．（2020成都）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．
【解答】解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
当点与重合时，的值最大，此时，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为，．
27．（2020成都）（10分）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【解答】解：（1）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，
设，则，
，
，
解得．
．
．
23．（2020广州）（本小题满分12分）
如图10，△ABD中，∠ABD =∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，
交BD于点O．
① 求证：四边形ABCD是菱形；
② 取BC的中点E，连接OE，若，，求点E到AD的距离．
【详解过程】解：(1)作图如下：∴点C为所求的点A关于BD的对称点。
（2）①证明：∵点A与点C关于BD对称
∴BC=BA, DC=DA
∵△ABD中，∠ABD =∠ADB
∴AB=AD
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形。
②过B作BF⊥AD于点F。根据平行线上的距离处处相等可知BF的长度就是点E到AD的距离。
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD于点O,即∠BOC＝90°。
∵在RT△BOC中，E为BC中点，,
∴BC=2OE=13.
∴AB=BC=CD=DA=13.
∵BD=10.
∴BO=DO=5
∴在RT△BCO中，CO=12.
∴AC＝2CO=24.
∴==120.
∵
∴13×BD=120,即BD=.
所以点E到AD的距离。
18.（2020福建）如图，点分别在菱形的边，上，且．
求证：．
解：证明：∵四边形是菱形，
∴，．
在和中，
∴，
∴．
24.（2020福建）如图，由绕点按逆时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，相交于点．
（1）求的度数；
（2）是延长线上的点，且．
①判断和的数量关系，并证明；
②求证：．
解：（1）由旋转的性质可知，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①．
证明：由旋转的性质可知，，，
在中，，
∵，，
∴，
即，
∴．
②过点作交于点，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
18．（2020陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
25．（2020陕西）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF ．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．
解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，＝2，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，
在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：4＝CF+CF，
解得：CF＝6﹣2；
（3）①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，
∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225；
②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，
在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B＝＝＝50，
∵S△A′PB＝A′B•PF＝PB•A′P，
∴×50×PF＝×40×30，
解得：PF＝24，
∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），
∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．
27．（2020哈尔滨）（10分）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，，过点作轴的垂线与过点的直线相交于点，直线的解析式为，过点作轴，垂足为，．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点在线段上，连接，点在线段上，过点作轴，垂足为，交于点，若，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接，过点作的垂线交线段于点，连接，过点作轴的平行线交于点，连接交轴于点，连接，若，，求点的坐标．
【解答】解：（1）轴，，
时，，解得，
，
轴，
，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
（2）如图2中，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
直线的解析式为，设点的横坐标为，则，
，
把，代入中，得到，
，
，
把代入，中，得到，
，
，
，
．
（3）如图3中，设直线交的延长线于，交轴于，过点作于．
轴，
，，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，，
，
，
，
，
解得，
，，
，，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，．
21．(2020杭州)（10分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设CEEB=λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE=AB2+BE2=5，
∴EF=5，
∴CF＝EF﹣EC=5-1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
∠D=∠GCF∠AGD=∠FGCAG=FG，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴ECGC=GCFC，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴GCFC=12，
∴ECGC=12，
∴EC=12a，BE＝BC﹣EC＝2a-12a=32a，
∴λ=CEEB=12a32a=13．
23.（2020河南）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；
当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．
【详解】（1）由题知°，°，
∴°，且为等边三角形
∴°，
∴
∵
∴°
∴°
∴等腰直角三角形
连接BD，如图所示
∵°
∴即
∵
∴
∴
故答案为：等腰直角三角形，
（2）①两个结论仍然成立
连接BD，如图所示：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵四边形正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴结论不变，依然成立
②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论
第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，
如图所示：
此时点E与点A重合，
∴，得；
②当以CD为对角线时，如图所示：
此时点F为CD中点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上：的值为3或1．
19（2020乐山）.如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．求的长度．
【答案】．
解∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴
∵，
，
∴
在和中，
∴
∴，即
解得
即的长度为．
25.（2020乐山）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
25.（2020四川绵阳）（本题满分14分）
如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，为△BCD的内切圆，切点分别为M、P、Q,DN=4,BN=6.
(1) 求BC、CD.
(2) 点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI∥BD交AC于点I，设运动时间为秒。
①将△AHI沿AC翻折得,是否存在时刻，使得点恰好落在BC上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
备用图
②若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求的值。备用图
【解析】解：（1）设的半径为r.则：由切线长定理得DC=r+4. BC=r+6.BD=10.
在RT△BCD中，由勾股定理得：,即：。解得：，（舍去）。
25题（2）解答图
∴DC=6, BC=8.
（2）存在时刻，使得点恰好落在BC上. 理由如下：
由题意知，AH==3,∠HAI==∠ACB
∴==3
在RT△AB中，B==＝。
所以，C=8-
∴3=8-,解得：＝。
当＝时，点恰好落在BC上。
②如图当△OFH为正三角形时，过O作OE⊥AD于E
25题（2）②题解答图
∴OE=3,AE=DE=4,AH=3,DH=8-3.EH=3-4.
延长OF交AB于点K，连接KH.
∵O是矩形对角线的交点，
∴△AOK≌△COF
∴KO=FO=HO
∵△FOH是等边三角形
∴∠HOF=∠OHF=OFH=60°。
∴∠HKF=∠KHO=30°
∴∠KHF=90°
在△KHF中，设OH=OF=HF=，则KH=，KF=2
在矩形ABCD中，∠KHF＝90°，则可证得：△AHK∽△DFH
∴,即：，∴AK=
∴在RT△AKH中，由勾股定理得：,
∴：，即：
在RT△OMH中，由勾股定理得：,
∴,.
∴=,
解得：，。
∵动点H的速度是3个单位长度每秒，而AD=8，且动点从A运动到D就停止。∴不合题意，舍去。
故。
所以当△OFH为正三角形时，的值是（）秒。
18.（2020贵阳）如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）40
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，即．
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）如图，连接，
∵四边形是矩形
∴
中，，，
∴由勾股定理得，，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴即，解得．
由（1）得四边形是平行四边形，
又∵，高，
∴．
25.（2020贵阳）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．
（1）问题解决：如图①，连接，分别取，中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；
（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．
【答案】（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得PQ为△BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；
（2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；
（3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的长度，即可计算出的面积．
【详解】解：（1）∵点P和点Q分别为，的中点，
∴PQ为△BOC的中位线，
∵四边形是正方形，
∴AC⊥BO，
∴，；
故答案为：，；
（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接并延长交于点，
由正方形的性质及旋转可得，∠，
是等腰直角三角形，，．
∴，．
又∵点是的中点，∴．
∴．
∴，．
∴，∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，．
∴也为等腰直角三角形．
又∵点为的中点，
∴，且．
∴的形状是等腰直角三角形．
（3）延长交边于点，连接，．
∵四边形正方形，是对角线，
∴．
由旋转得，四边形是矩形，
∴，．
∴为等腰直角三角形．
∵点是的中点，
∴，，．
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，，
∴．
∴．
27.（2020无锡）如图，在矩形中，，，点为边上的一点（与、不重合）四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交与点，记四边形的面积为．
（1）若，求的值；
（2）设，求关于的函数表达式．
解：（1）在Rt△ADE中，∵，，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∵四边形关于直线的对称图形为四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴S=S△APE+S△ADE=；
（2）过点作于点F，如图，则四边形ADEF矩形，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，解得：，
∴S=S△APE+S△ADE=．
23.（2020长沙）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴EC=．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF=，
∴tan+tan=，
设CE=1，DE=x，
∵，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF= AD==，
∴tan+tan==．
21.（2020山东青岛）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
（1）求证：≌；
（2）连接，，当平分时，四边形什么特殊四边形？请说明理由．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC,∠ADB=∠CBD，
又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°，
∴∠ADE=∠CBF
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF；
（2）四边形是菱形
理由如下：
如图，连接，，
由（1）得△ADE≌△CBF
∴CF=AE, ∠E=∠F
∴AE∥CF
∴AECF
∴四边形AFCE是平行四边形
当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD
又∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ABD
∴AD=AB=BC
∴△ABC为等腰三角形
由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF
∴平行四边形AFCE是菱形
24.（2020山东青岛）已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；
（3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：
由题意，CE=2，CM∥BF，
∴即：，
解得：CM=，
要使点在线段的垂直平分线上，
只需QM=CM=，
∴t=；
（2）如图，∵，，，
∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cos∠PAH=，sin∠EFB=，
在Rt△APH中，AP=2t，
∴PH=AP·sin∠PAH=，
在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，
在Rt△QNF中，QF=10-t-=，
∴QN=QF·sin∠EFB=()×=，
四边形为矩形，
∴PH=QN，
∴=，
解得：t=3；
（3）如图，过Q作QN⊥AF于N，
由（2）中知QN=，AH=AP·cos∠PAH=，
∴BH=GC=8-，
∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，
∴
=
=
=，
∴S与t的函数关系式为：；
（4）存在，t=．
证明：如图，延长AC交EF于T，
∵AB=BFBC=BF, ，
∴△ABC≌△EBF，
∴∠BAC=∠BEF，
∵∠EFB+∠BEF=90º，
∴∠BAC+∠EFB=90º，
∴∠ATE=90º即PT⊥EF，
要使点在的平分线上，只需PH=PT，
在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=，
CT=CE·sin∠BEF =，
PT=10+-2t=，又PH=，
=，
解得：t=．
23．（2020齐齐哈尔）（（12分）综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM 是 （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答： 等边三角形 ；进一步计算出∠MNE＝ 60 °；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝ 15 °；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．
请写出以上4个数值中你认为正确的数值 7，9 ．
【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
故答案为：7，9．
21.（2020重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，F．AC平分．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
（1）解：，
，
，
，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
．
23．（2020上海）（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠BCE＝∠H，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）证明：∵BE2＝AB•AE，
∴BEAB=AEEB，
∵AG∥BC，
∴AEBE=AGBC，
∴BEAB=AGBC，
∵DF＝BE，BC＝AB，
∴BE＝AG＝DF，
即AG＝DF．
21．（2020上海）（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝35．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正切值．
【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，
∴∠D＝90°，
∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵BC＝35，
∴CE=BC2-BE2=6，
∴梯形ABCD的面积=12×（5+8）×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，
∴△CDH∽△DBA，
∴CHAD=CDBD，
∵BD=AB2+AD2=82+62=10，
∴CH6=510，
∴CH＝3，
∴BH=BC2-CH2=(35)2-32=6，
∴∠DBC的正切值=CHBH=36=12．
20.（2020重庆B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE=DF.
解与证：（1）∵CF平分∠DCB
∴∠BCD=2∠BCF=120°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠CDF=12∠DCB
∴∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF
18．（2020新疆生产建设兵团）（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFBAD=CB，
∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；
（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，
则DE＝BF，
又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．
24．（2020四川南充）（10分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM＝BN．
（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK＝x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为110，请直接写出AK长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，
∴△ABM≌△BCN（AAS），∴AM＝BN；
（2）△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（3）在Rt△ABK中，BK=AK2+AB2=x2+1，
∵S△ABK=12×AK×AB=12×BK×AM，
∴AM=AK⋅ABBK=xx2+1，
∴BN＝AM=xx2+1，
∵cos∠ABK=BMAB=ABBK，
∴BM=AB⋅ABBK=1x2+1，
∴MN＝BM﹣BN=1-xx2+1
∵S△OMN=14MN2=(1-x)24x2+4，
∴y=x2-2x+14x2+4（0＜x＜1）；
当点K在线段AD上时，则110=x2-2x+14x2+4，
解得：x1＝3（不合题意舍去），x2=13，
当点K在线段AD的延长线时，同理可求y=x2-2x+14x2+4（x＞1），
∴110=x2-2x+14x2+4，
解得：x1＝3，x2=13（不合题意舍去），
综上所述：AK的值为3或13时，△OMN的面积为110．
27.(2020甘肃定西）如图，点，分别在正方形的边，上，且.把绕点顺时针旋转90°得到.
（1）求证：.
（2）若，，求正方形的边长.
证明：（1）如图，由旋转知，∴，.
∵，，
∴，
∴.
∴.
在和中，，
∴.
解：（2）由（1）知，即，
∵，∴.
又∵，，∴.
设正方形的边长为，则，
在中，∵，
∴.
解得，（舍去）
故正方形的边长为6.
24．（2020吉林）（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．
【探究】求证：四边形AGHD是菱形．
【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 56 ．
【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为 120 ．
解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，
∴AE∥GF，DC∥AB， ∴四边形AGHD是平行四边形，
∵AD＝AG， ∴四边形AGHD是菱形；
【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：
ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，
故答案为：56；
【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，
又AM＝AM，
∴△AMD≌△AMG（SAS），
∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，
∵∠AMD+∠AMG＝180°，
∴∠AMD＝∠AMG＝90°，
∵sin∠BAD＝，
∴， ∴DM＝AD＝4，
∴DG＝8，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，
∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，
∴四边形CDGF是平行四边形，
∵∠AMD＝90°，
∴∠CDG＝∠AMD＝90°，
∴四边形CDGF是矩形，
∴S矩形DCFG＝DG•DC＝8×9＝72，
故答案为：72．
18．（2020内蒙古呼和浩特）（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：AF﹣BF＝EF；
（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．
解：（1）证明：∵正方形，
∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝90°＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE，AE＝BF，
∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；
（2）不可能，理由是：
如图，若要四边形是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，
∵DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，
而点G不与B和C重合，
∴∠BAF≠45°，矛盾，
∴四边形不能是平行四边形．
21．（2020宁夏）（6分）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∴∠FEA＝∠DEC，∠F＝∠ECD．
又∵EA＝ED，
∴△AFE≌△DCE．
∴AF＝DC．
∴AF＝AB．
28．（2020黑龙江龙东）（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．
（1）线段 ；
（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）长是的根，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
故答案为：．
（2）如图，过点作于，
，
，
，
，，
，
当时，的面积；
当时，点与点重合，，
当时，的面积；
（3）如图，过点作于，
当时，
，
，
或，
或，
当时，
，，
，，
点，，
当时，
同理可求点，，
当时，
，
，
或24（不合题意舍去），
，
点，，
综上所述：点坐标为，或，．
23．（2020黑龙江牡丹江）（6分）在中，，，．以为边作周长为18的矩形，，分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．
【解答】解：，，
中边上的高为，而矩形 的周长为18，，
，
当矩形和在同侧时，
过作，垂足为，与交于，连接，
可知，，
，，
，分别为和中点，
；
当矩形和在异侧时，
过作，垂足为，与交于，连接，
可知，，，为中点，
，，，
，分别为和中点，
，
综上：的长为或．
22．（2020江苏连云港）（10分）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【解答】（1）证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
27．（2020江苏连云港）（12分）（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则 12 ；
（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；
（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．
【解答】解：（1）如图1中，
过点作于，交于．
四边形是矩形，，
四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
故答案为12．
（2）如图2中，连接，，
在中，点是的中点，
可设，同理，，，，
，，
，
，
．
（3）如图3中，由题意四边形，四边形都是平行四边形，
，，
，
．
（4）如图中，结论：．
理由：设线段，线段，弧围成的封闭图形的面积为，线段，线段，弧的封闭图形的面积为．
由题意：，
，
，
．
同法可证：图中，有结论：．
图中和图中，有结论：．
25．（2020江苏泰州）（12分）如图，正方形的边长为6，为的中点，为等边三角形，过点作的垂线分别与边、相交于点、，点、分别在线段、上运动，且满足，连接．
（1）求证：．
（2）当点在线段上时，试判断的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．
（3）设，点关于的对称点为，若点落在的内部，试写出的范围，并说明理由．
【解答】证明：（1）正方形的边长为6，为的中点，
，，，
是等边三角形，
，，
，
又，
；
（2）的值不变，
理由如下：如图1，连接，过点作于，
，，
，
，，，
，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，当点落在上时，
，
，
，
是等边三角形，
当点落在上时，点关于的对称点为，
△，
点与点重合，点与点重合，
，
如图3，当点落在上时，
同理可求：，
当时，点落在的内部．
18．（2020四川遂宁）（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，
∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
18．（2020湖南岳阳）（6分）（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE=13BC，FD=13AD，∴BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
23．（2020湖南岳阳）（10分）（2020•岳阳）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．
（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；
（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当t＞94s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求AFCE的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝10，
由运动知，CP＝t＝5，∴AP＝AC﹣CP＝5，
∴AP＝CP，∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，∴△APF≌△CPE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）结论：AQ2+CE2＝QE2，
理由：如图2，
连接FQ，由（1）知，△APF≌△CPE，
∴AF＝CE，PE＝PF，
∵EF⊥PQ，∴QE＝QF，
在Rt△QAF中，根据勾股定理得，AQ2+AF2＝QF2，
∴AQ2+CE2＝QE2；
（3）如图3，
由运动知，AQ＝t，CP＝t，
∴AP＝AC﹣CP＝10﹣t，
∵FQ平分∠AFE，∴∠AFC＝∠PFQ，
∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，∴△FAQ≌△FPQ（AAS），
∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣t，∠FAC＝∠FPA，
∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，∴∠ACB＝∠CPE，
∴PE＝CE，过点E作EN⊥AC于N，∴CN=12CP=12t，∠CNE＝90°＝∠ABC，
∵∠NCE＝∠BCA，∴△CNE∽△CBA，
∴CEAC=CNCB，∴CE10=12t8，∴CE=58t，
∴PE=58t，BE＝BC﹣CE＝8-58t，
在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，
∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，∴t2+（58t）2＝（6﹣t）2+（8-58t）2，
∴t=5011，∴CP＝t=5011，
∴AP＝10﹣CP=6011，
∵AD∥BC，∴△APF∽△CPE，
∴AFCE=APCP=60115011=65．
23．（2020湖南岳阳）（10分）（2020•岳阳）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．
（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；
（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当t＞94s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求AFCE的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝10，
由运动知，CP＝t＝5，
∴AP＝AC﹣CP＝5，
∴AP＝CP，
∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，
∴△APF≌△CPE（AAS），
∴AF＝CE；
（2）结论：AQ2+CE2＝QE2，
理由：如图2，
连接FQ，由（1）知，△APF≌△CPE，
∴AF＝CE，PE＝PF，
∵EF⊥PQ，
∴QE＝QF，
在Rt△QAF中，根据勾股定理得，AQ2+AF2＝QF2，
∴AQ2+CE2＝QE2；
（3）如图3，
由运动知，AQ＝t，CP＝t，
∴AP＝AC﹣CP＝10﹣t，
∵FQ平分∠AFE，∴∠AFC＝∠PFQ，
∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，
∴△FAQ≌△FPQ（AAS）， ∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，
∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣t，∠FAC＝∠FPA，
∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，
∴∠ACB＝∠CPE，
∴PE＝CE，过点E作EN⊥AC于N，
∴CN=12CP=12t，∠CNE＝90°＝∠ABC，
∵∠NCE＝∠BCA，
∴△CNE∽△CBA，∴CEAC=CNCB，
∴CE10=12t8， ∴CE=58t，
∴PE=58t，BE＝BC﹣CE＝8-58t，
在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，
在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，
∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，
∴t2+（58t）2＝（6﹣t）2+（8-58t）2，
∴t=5011，∴CP＝t=5011， ∴AP＝10﹣CP=6011，
∵AD∥BC， ∴△APF∽△CPE，
∴AFCE=APCP=60115011=65．
21．（2020广西南宁）（8分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
25．（10分）（2020•玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD=22AB．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．
（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝OD=22AB，
∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，∴AB＝HG，∴AH＝BG，∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2．∴x2＝2（2﹣x），
解得：x=5-1（负值舍去），
∴AH=5-1．
25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
【解答】解：作PN⊥BC于N，如图：
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM=22PM=22×30＝152（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝302m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ=33PN＝106m，PQ＝2NQ＝206≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （105-10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB=5-12×20＝（105-10）cm．
故答案为：（105-10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC=DE2+DC2=102+202=105，
∴EM＝105，
∴DM＝105+10，
∴tan∠DMC=DCDH=20105+10=25+1=5-12．
∴tan∠BCG=5-12，
即BGBC=5-12，
∴BGAB=5-12，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BF＝AE，
∵AD∥CP， ∴△AEF∽△BPF，
∴AEBP=AFBF，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE， ∴AFBF=BFAB，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴AFBF=BFAB=AEBC， ∴AEBP=AEBC，
∴BP＝BC．
23．（2020贵州遵义）（12分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中
∠EDM=∠FENDM=EN∠DME=∠ENF，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE=2，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴CDAF=CGAG，
∴42=CGAG，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝42，
∵AC＝AG+GC，
∴AG=423，CG=823，
∴GE＝GC﹣CE=823-2=523；
如图2所示，
同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝42，
∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，
∴AFCD=GAGC， 即24=AGAG+42，
解得，AG＝42，
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE=2，
∴GE＝GA+AE＝52．
22．（2020山西）（12分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
解：（1）四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，DH⊥AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
24（2020东莞）.如图，中，，点为斜边的中点.将线段平移至交于点，连接、、.
（1）求证：；
（2）求证：四边形为菱形；
（3）连接，交于点，若，，求的长.
（1）证明：
∵为平移所得，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
在中，点为斜边的中点，
∴，
∴.
（2）证明：
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形.
（3）解：在菱形中，点为的中点，
又，
∴，
∵，
∴，，
∴在中，，
即，
∴，
在平行四边形中，点为的中点，
∴.
22．（2020云南）（9分）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，重足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，重足为F，
（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝120°，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵H为对角线AC的中点，∴EH＝FH＝AC，
∵∠CAE＝30°，
∵CE＝AC，∴CE＝EH＝CF＝FH，
∴四边形CEHF是菱形；
（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，
∴AE＝8，
∴AC＝＝4，
连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2，
∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC，
∴△ABH∽△ACE，
∴＝， ∴＝，
∴BH＝， ∴BD＝2BH＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝20．
21．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．
【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴12AC•BD＝24，
解得，AC＝BD＝43，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE=23，
∴r=DEsin60°=2332=4，
∴⊙O的半径为4．
24．（2020浙江温州）（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=-65x+12，当Q为BF中点时，y=245．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．
（2）求DE，BF的长．
（3）若AD＝6．
①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．
②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．
【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：
如图1所示：
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF=12×180°＝90°，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠ABF，
∴DE∥BF；
（2）令x＝0，得y＝12，
∴DE＝12，
令y＝0，得x＝10，
∴MN＝10，
把y=245代入y=-65x+12，
解得：x＝6，即NQ＝6，
∴QM＝10﹣6＝4，
∵Q是BF中点，
∴FQ＝QB，
∵BM＝2FN，
∴FN+6＝4+2FN，
解得：FN＝2，
∴BM＝4，
∴BF＝FN+MN+MB＝16；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF＝EM，
∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，
∴∠DEA＝30°，
∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，
∴∠DFM＝∠DEM＝120°，
∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠MEB＝∠FBE＝30°，
∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4，
∴MH=12BM＝2，
∴EH＝4+2＝6，
由勾股定理得：HB=BM2-MH2=42-22=23，
∴BE=EH2-HB2=62+(23)2=43，
当DP＝DF时，-65x+12＝4，
解得：x=203，
∴BQ＝14﹣x＝14-203=223，
∵223＞43，
∴BQ＞BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
y＝0，
则x＝10；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF＝16，∠FCB＝90°，∠CBF＝30°，
∴CF=12BF＝8，
∴CD＝8+4＝12，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，
∴FQDP=CFCD，
∴2+x-65x+12=812，
解得：x=103；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
∵PE∥BQ，
∴△APE∽△AQB，
∴PEBQ=AEAB，
由勾股定理得：AE=DE2-AD2=122-62=63，
∴AB＝63+43=103，
∴12-(-65x+12)14-x=63103，
解得：x=143，
由图可知，PQ不可能过点B；
综上所述，当x＝10或x=103或x=143时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．
21．（2020海南）（13分）四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连结DE，点F是射线BC上一动点（不与点B重合），连结AF，交DE于点G．
（1）如图1，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；
（2）如图2，当点F与点C重合时，求AG的长；
（3）在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAE＝90°，AB＝AD＝BC，
∵点E，F分别是AB、BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB∥CD，
∴△AGE∽△CGD，
∴＝，即＝，
∴AG＝；
（3）当BF＝时，AG＝AE，理由如下：
如图所示，设AF交CD于点M，
若使AG＝AE＝1，则有∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4，
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴DM＝MG，
在Rt△ADM中，AM2﹣DM2＝AD2，即（DM+1）2﹣DM2＝22，
解得DM＝，
∴CM＝CD﹣DM＝2﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△MCF，
∴＝，即＝，
∴BF＝，
故当BF＝时，AG＝AE．
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