黑龙江省安达七中2020届高三数学上学期寒假考试试题5
展开黑龙江省安达七中2020届高三数学上学期寒假考试试题（5）
一、选择题
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若的实部与虚部相等，则实数的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是( )
A. B. C. D.
4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出为( )
A.6 B.24 C.120 D.720
5.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A.0 B.10 C.15 D.30
6.已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，可以作为的充分条件的是( )
A. B.
C. D.
7.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为．
其中正确的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
9.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若的中点在轴上的射影分别为，且，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知偶函数，当时，满足，且，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在中，点是线段,上两个动点,且，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
13.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是 .
14.图中所示的矩形区域内任取一点则点取自阴影部分的概率为 .
15.设点为函数图象上任一点，且在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为________．
16.函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数范围是 .
三、解答题
17.在中，设内角的对边为，向量，，．
1.判定的形状；
2.若，，求的内切圆与外接圆的面积比．
18.已知函数，证明：函数存在零点.
19.已知数列与,若且对任意正整数满足,数列的前项和
1.求数列,的通项公式;
2.求数列的前项和.
20.平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
1.写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程;
2.已知与直线平行的直线过点,且与曲线交于两点,试求.
1.把直线的参数方程化为普通方程为,
∵,∴直线的极坐标方程为,
由,可得,
∴曲线的直角坐标方程为.
2.直线的倾斜角为,
∴直线的倾斜角也为,又直线过点,
∴直线的参数方程为为参数,
将其代入曲线的直角坐标方程可得,
设点对应的参数分别为.
由一元二次方程的根与系数的关系知,.
∴
.
21.为了参加某数学竞赛,某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试,成绩(单位:分)记录如下
理科:79,81,81,79,94,92,85,89
文科:94,80,90,81,73,84,90,80
1.画出理科,文科两组同学成绩的茎叶图
2.计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差,并从统计学的角度分析,哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好
3.若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训,求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率
(参考公式:样本数据的方差: 其中为样本平均数)
1. 理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下:
2.从平均数和方差的角度看,理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好. 理由如下:
(理)
(文)
(理)
(文)
由于, , 所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好
3.设理科组同学中成绩不低于分的人分别为,
文科组同学中成绩不低于分的人分别为
则从他们中随机抽出人有以下种可能:
.
其中全是文科组同学的情况只有一种,没有全是理科组同学的情况,
记“抽出的人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件,
则
22.已知函数.
1.若函数在区间内单调递增，求的取值范围；
2.设，（）是函数的两个极值点，证明：恒成立.
参考答案
1.答案：A
解析：由中不等式解得：，即，
∵，
∴，
故选：A．
2.答案：A
解析：∵的实部与虚部相等，
∴，即．
故选：A．
3.答案：A
解析：解：∵函数，令，可得，，
故函数的图象的对称中心为，
故选：A．
4.答案：B
解析：由已知中，
第一次进入循环时，，此时不满足退出循环的条件，则
第二次进入循环时，，此时不满足退出循环的条件，则
第三次进入循环时，，此时不满足退出循环的条件，则
第四次进入循环时，，此时满足退出循环的条件，
故输出的值是
故选：B．
5.答案：C
解析：数列是等差数列，，所以，则．
故选：C．
6.答案：B
解析：由题意知，，且，则．
故选：B
7.答案：A
解析：由是两个单位向量，且夹角为，
所以，
则，当且仅当时取等号，
则与数量积的最小值为，
故选：A．
8.答案：A
解析：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为四棱锥，底面，
底面为矩形，，
则四个侧面是直角三角形，故①正确；
最长棱为，长度为，故②正确；
由已知可得，,则四个侧面均不全等，故③错误；
把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为，其表面积为，故④正确．
∴其中正确的个数为3．
故选：A．
9.答案：C
解析：抛物线的焦点为，
过且倾斜角为的直线方程设为，
联立抛物线的方程可得，
设的纵坐标为，的纵坐标为，
的纵坐标为，
可得，
则，
可得，
即为，
解得，
则抛物线的准线方程为．
故选：C．
10.答案：C
解析：根据题意，画出分段函数图象如下：
由两个函数图象及题意，可知：不可能同时．
因为当和都时，，不满足题意，
∴不可能同时．
而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
构造函数
则．
①令，即，解得；
②令，即，解得；
③令，即，解得．
∴在上单调递减，在处取得极小值，在上单调递增．
∴．
∴．
∴．
故选：C．
11.答案：B
解析：
12.答案：A
解析：
13.答案：
解析：
14.答案：
解析：
15.答案：
解析：
16.答案：
解析：
17.答案：1.∵且，
∴，
即，
，
即，
∵为的内角，∴，
故为直角三角形．
2.由1知，又，，
∴，；
∴外圆的半径，
内切圆的半径，
∴面积比为．
解析：
18.答案：由题意可得，函数的定义域为
令，即在单调递增
令，即在单调递减
又
存在，使得
存在零点
解析：
19.答案：1.由题意知数列是公差为2的等差数列,
又因为,所以.
数列的前项和,
当时,;
当时,.
上式对不成立.
所以数列的通项公式为
2.时,,
时,
所以.
仍然适合上式.
综上,.
解析：
20.答案：
解析：
21.答案：
解析：
22.答案：1.的定义域为，
若满足题意，只要在恒成立即可，
即恒成立，又，所以
2.证明：，
则的定义域为，，
若有两个极值点，
则方程的判别式，且
得又，，即
所以，
设，其中，由得
又，所以在区间内单调递增，
在区间内单调递减，
即的最大值为，
从而恒成立
解析：
