黑龙江省安达七中2020届高三数学上学期寒假考试试题4
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一、选择题
1.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.展开式中的常数项是（ ）
A．189 B．63 C．42 D．21
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
4.函数的图象大致是（ ）
- B.
C. D.
5.“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第x年（2012年是第一年）捐赠的现金数y（万元）：
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
若由表中数据得到y关于x的线性回归方程是，则可预测2019年捐赠的现金大约是（ ）
A．5.95万元 B．5.25万元
C．5.2万元 D．5万元
6.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（ ）
A． B． C． D．
7.设集合，则（ ）
A． B. C. D.
8.复数，，其中i为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．-1 B．1 C．i D．-i
9.若，，，则a,b,c的大小关系（ ）
A. B. C. D.
10.已知是内的一点，且，，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 8 C. 6 D. 9
11.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知是半径为2的球面上的点，，点B在AC上的射影为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13.若实数满足,则的取值范围为_______
14.观察下列式子: ,,,……,根据上述规律,第n个不等式应该为 .
15.设定义域为R的函数满足，则不等式的解集为_______________
16.设的内角的对边长成等比数列，，延长至.若,则的面积的最大值为 .
三、解答题
17.已知在递增的等差数列中，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，为数列的前项和，求.
18.在中，设内角所对的边分别为,且.
(1).求角B的大小；
(2).求的取值范围.
19.设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对任意实数，都有成立，求实数a的取值范围．
20.在直角坐标系中，直线l的参数方程为：（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设点，若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．
21.已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若有极值，对任意的，，当，存在使，证明：
参考答案
1.答案：A
解析：
2.答案：D
解析：
3.答案：D
解析：
∵在上单调递增；
∴
∴
4.答案：A
解析：
5.答案：A
解析：
6.答案：B
解析：
7.答案：D
解析：
8.答案：A
解析：∵复数，
∴，
∴
其虚部为−1
9.答案：D
解析：,,，
故，
故答案选：D.
10.答案：D
解析：
11.答案：A
解析：
12.答案：D
解析：
13.答案：
解析：
14.答案：
解析：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为
故答案为：
15.答案：
解析：令,则，
故g(x)在R递增，
不等式，
即，
故，
故，解得：，
故答案为：
16.答案：
解析： 因为，
所以，
所以，①
又因为长a，b，c成等比数列，
所以，
由正弦定理得：，②
① −②得：，
化简得：，
解得：，
又，
所以，
①+②：
cos(A−C)=1，
即A−C=0，
即A=C，
即三角形ABC为正三角形，
设边长为x，由已知有0<x<2，
则 (当且仅当x=2−x，即x=1时取等号)，
故答案为：
17.答案：(1) 设公差为,因为，所以，
解得
所以.
(2) 由题意可知：
所以 .
解析：
18.答案：(1).由得到
即,即
又A为三角形内角，，所以，从而. (2).
，
所以.
所以的取值范围为.
解析：
19.答案：（1）当时，，
当时，，即，可得；
当时，，即有；
当时，，即，可得．
综上可得原不等式的解集为；
（2）对任意实数，都有成立，
即，恒成立，
，恒成立，
即有或，
即为或恒成立，
由在递增，可得最大值为0，可得；
在递减，可得最小值为，
可知或．
解析：
20.答案：（1）圆C的极坐标方程为：．
转换为直角坐标方程为：，
所以：，
（2）将线l的参数方程为：（t为参数），
代入，
所以：，
设点A、B所对应的参数为和，
则：，
∴．
解析：
21.答案：（1）的定义域为，．
①若，则，所以在上是单调递增．
②若，当时，，单调递增．
当时，，单调递减．
（2）证明：由（1）当时，存在极值．
由题设得．
，
又，
，
设则．
令，则
所以在上是增函数，所以，
又，所以，
因此，
即，
又由知在上是减函数，
所以，即．
解析：
