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    河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业7 练习

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    河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业7 练习

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    河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业7一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)若复数的实部是2,则z的虚部是A. i B. 1 C. 2i D. 2已知集合,则A.  B.  C.  D. 函数的图象大致是    A.  B.
    C.  D. xy满足约束条件的最小值是A.  B. 1 C.  D. 5若双曲线C的一条渐近线的倾斜角比直线的倾斜角大,则C的离心率是A.  B. 2 C.  D. 3,则A.  B.  C.  D. 如图,的夹角为,若,则


     A. 1 B. 2 C. 3 D. 4设函数,若,则a的取值范围是A.  B.  C.  D. 已知abc分别为三个内角ABC的对边.若DAC边的中点,,则A. 2 B.  C.  D. 孔明锁,也叫鲁班锁,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是其中3根木条的三视图,记这3根木条的表面积分别为,则
    A.  B.  C.  D. 记函数在区间上的零点分别为2,则A.  B.  C. 3 D. 在四棱锥中,是等边三角形,底面ABCD是矩形,二面角是直二面角,,若四棱锥的外接球的表面积是,则异面直线PABD所成的角的余弦值是A.  B.  C.  D. 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)的展开式中,若含项的系数是15,则______张先生计划在3个不同的微信群中发放4个金额各不相等的红包,则每个群都收到红包的概率是______若椭圆C的左、右焦点分别为,直线lC交于MN两点,若,则椭圆C的离心率是______若函数在区间上的最大值是,则a的取值范围是______三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)为数列的前n项和,
    求数列的通项公式;
    ,求的前n项和






     如图,在三棱锥中,底面ABC是等边三角形,DBC边的中点,平面ABC,点O在线段AD

    证明:
    ,直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为,求二面角的平面角的余弦值.






     某高科技公司投人1000万元研发某种产品,大规模投产后,每天在产品进入库房前,都需做严格的质量检验.为此,检验人员从当天生产的产品中随机抽取80件,检测一项关键的质量指标值记为,由检测结果得到如下样本频率分布直方图.
    由频率分布直方图可以认为,其中样本平均数、方差同一组数据用该区间的中点值作代表可作为的估计值.利用该正态分布,求精确到
    该公司规定:当时,产品为正品;当时,产品为次品.公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利80元;若是次品,则亏损20元.记为生产一件这种产品的利润单位:元
    求随机变量的分布列和数学期望精确到
    若该公司每天生产这种产品1000件,则多长时间可以收回研发投入的1000元?
    附:







     已知抛物线的焦点为F,准线为lA上一点,线段FA的中点的坐标为
    的方程;
    Ml上一点,P上任意一点,若,试问直线MP是否有其他的公共点?说明理由.






     已知函数
    函数的图象与x轴相切,求实数a的值;
    是函效的极值点,若存在两个零点,证明并求a的取值范围






     在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为为参数,;以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
    写出当的普通方程及的直角坐标方程;
    设曲线交于AB两点,若,求的值.



     已知函数
    求不等式的解集;
    若不等式有解,求a的取值范围.





    答案和解析1.【答案】B
     【解析】解:的实部是2
    ,即
    的虚部为
    故选:B
    利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为2求得a值,则虚部可求.
    本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
    2.【答案】C
     【解析】解:


    故选:C
    进行交集的运算即可.
    考查描述法的定义,以及交集的定义及运算.
    3.【答案】A
     【解析】【分析】
    本题考查函数的图象与图象变换,考查函数奇偶性的性质与三角函数值的求法,是基础题.
    由奇偶性排除BC;再由排除D,则答案可求.
    【解答】
    解:函数为奇函数,图象关于原点中心对称,可排除BC
    ,故排除D,选A
    故选:A
    4.【答案】B
     【解析】解:画出约束条件表示的平面区域,如图所示;
    目标函数的几何意义是区域内的点
    到原点距离的平方,
    所以原点到图中BC的距离即为所求,
    计算
    所以目标函数的最小值为1
    故选:B
    由约束条件画出可行域,利用目标函数的几何意义求最小值.
    本题考查了简单线性规划问题;正确画出可行域是解答的前提,利用目标函数求最值是关键.
    5.【答案】C
     【解析】【分析】
    本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率,考查两角和的正切公式,考查化简运算能力,属于中档题.
    求得双曲线的渐近线方程,运用两角和的正切公式可得一条渐近线的斜率,再由离心率公式,计算可得所求值.
    【解答】
    解:双曲线C的渐近线方程为
    直线的倾斜角设为,可得
    双曲线的一条渐近线的斜率为

    故选:C
    6.【答案】A
     【解析】解:由,得


    故选:A
    由已知分别求得,再由诱导公式及倍角公式求解.
    本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.
    7.【答案】B
     【解析】【分析】
    本题主要考查了平面向量的数量积的性质的简单应用,属于基础试题可得,结合向量的数量积的性质,代入即可求解.
    【解答】
    解:的夹角为





    故选B
    8.【答案】D
     【解析】解:分析题意,可知:
    为对数的底数,
    只能取两个范围.
    又由题意
    而当时,时单调递减趋向
    不满足题意,舍去.
    只有的情况合适.
    时,函数时的表达式上单调递增,
    且在时取最小值
    由题意,
    必须有,即:
    而在上,

    是递减的一次函数.
    此时在x趋向于1时,趋向于最小值
    ,解得:
    综上所述,可得:
    故选:D
    本题先根据a为对数的底数确定a只能取两个范围,再根据题意舍去,留下的情况,在考虑函数时的表达式时取最小值得出然后根据得出x趋向于1趋向于最小值,最终得出a的取值范围.
    本题主要考查含参数分段函数的参数取值范围问题,还考查了一次函数和对数函数的性质,本题属中档题.
    9.【答案】B
     【解析】解:

    中,设,由余弦定理得,

    解得,舍负
    中,由余弦定理得

    解得舍负
    故选:B
    根据题意由和差公式分析可得,求出A值;其次再运用余弦定理公式可计算求出a值.
    本题考查了正弦定理以及余弦定理得应用,关键是求出A的值,属于基础题.
    10.【答案】A
     【解析】解:由题意可知几何体是正四棱柱去掉部分棱柱的几何体,
    由题意可知

    ,这3根木条的表面积分别为,满足
    故选:A
    判断三视图对应几何体的形状,然后就是几何体的表面积即可.
    本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.
    11.【答案】D
     【解析】解:由

    关于对称,也关于对称,作出图象如下:

    由图象可知两个图象有7个交点,其中6个交点两两关于对称,第7个交点横坐标为
    6个交点的横坐标从小到大为abcdef,则对应两点的横坐标af满足,即

    故选:D
    分别判断出两个函数关于对称,作出函数图象,由图象可知有7个交点,结合点的对称性进行求解即可.
    本题考查了函数与方程的应用,根据条件判断函数关于对称,以及利用数形结合确定交点的个数,属于中档题.
    12.【答案】C
     【解析】解:设O为四棱锥的外接球的球心,
    AB的中点G,取ACBD的交点为E,作
    连接OB

    由四棱锥的外接球的表面积是
    所以

    解得

    建立如图所示的空间直角坐标系可得:
    00
    所以
    夹角为

    即异面直线PABD所成的角的余弦值是
    故选:C
    先利用已知条件求出边长AD的长度,再建立空间直角坐标系求异面直线PABD所成角的余弦值即可得解.
    本题考查了四棱锥的外接球及异面直线所成角的求法,属综合性较强的题型.
    13.【答案】1
     【解析】解: 
    故它的展开式中,若含项的系数是

    故答案为:1
    按照二项式定理展开,可得的展开式中含项的系数,再根据系数为15,求出a的值.
    本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
    14.【答案】
     【解析】解:张先生计划在3个不同的微信群中发放4个金额各不相等的红包,
    基本事件总数
    每个群都收到红包包含的基本事件个数
    则每个群都收到红包的概率
    故答案为:
    基本事件总数,每个群都收到红包包含的基本事件个数,由此能求出每个群都收到红包的概率.
    本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    15.【答案】
     【解析】解:如图,

    ,可知M在椭圆的短轴的一个端点上,不妨设为
    ,则
    直线l的方程为
    联立,得,即

    ,即,解得
    故答案为:
    由题意画出图形,写出直线l的方程,与椭圆方程联立求得N点坐标,结合向量等式求解.
    本题考查椭圆的简单性质,考查计算能力,是中档题.
    16.【答案】
     【解析】解:,令,则,当时,,函数开口向上,即,有最大值
    ,则
    故答案为:
    利用二倍角公式将转化为cosx的一元二次函数,再换元cosx求出范围.
    本题考查了二次函数的性质、三角函数恒等变换、三角函数图象,是基础题.
    17.【答案】解:为数列的前n项和,
    ,即常数
    ,数列的奇数项和偶数项各为公差为2的等差数列,

    由于,所以
    所以
     【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式.
    利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果.
    本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.
    18.【答案】解:证明:过OEF,连接PEPF
    平面ABCOEOFAB平面ABC

    底面ABC是等边三角形,DBC边的中点,
    的角平分线,


    OE平面POE
    平面POE
    平面POE
    同理可得:


    解:,直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为

    连接OB,则
    AD的中点,
    过点O,交ABG,则
    O为原点,OGx轴,ODy轴,OPz轴,建立空间直角坐标系,
    0

    设平面PAB的法向量y
    ,取,得
    设平面PBC的法向量y
    ,取,得
    设二面角的平面角为

    二面角的平面角的余弦值为
     【解析】本题考查两角相等的证明,考查二面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
    OEF,连接PEPF,根据三角形相似可得出结论.
    O为原点,OEx轴,ODy轴,OPz轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值.
    19.【答案】解:取每个区间中点值为区间代表计算平均数为:

    方差为:

    所以
    所以
    依题意生产一件这种产品的利润的所有可能的取值分别为80
    知,

    所以随机变量的期望为
    所以生产该产品一天的平均利润为万元,
    所以收回研发投入需要的时间为天.
     【解析】根据题意计算平均数和方差即可,借助正态分布知识即可得到
    计算产品是正品的频率以及200件产品中是正品的件数,和次品的件数,即可得到随机变量的分布列和数学期望;
    由题意计算生产一件产品的平均利润值,即可得到一天的平均利润,进而得到收回成本的时间.
    本题考查了频率分布直方图与平均数和方差的计算问题,考查了正态分布及其应用,是中档题.
    20.【答案】解:A点坐标为
    由中点坐标公式,解得
    所以抛物线
    直线MP没有其他的公共点,
    理由如下:由可知焦点,准线l
    当直线PM的斜率时,设
    ,则,即
    则不存在P点,使得
    当直线PM的斜率存在且时,设
    ,则,则,整理得
    解得,则直线PM的斜率
    ,求导,则,则
    由抛物线P点处切线斜率
    所以直线PM与抛物线相切于点P
    所以直线MP没有有其他的公共点.
     【解析】根据中点坐标公式及抛物线的焦点弦公式即可求得p的值,求得抛物线方程;
    分类讨论,当直线PM的斜率存在时,根据向量数量积的坐标运算,求得M点坐标,利用斜率公式即可求得直线PM的斜率,利用导数的几何意义,即可判断直线PM与抛物线相切.
    本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系,考查直线的斜率公式,导数的几何意义,考查分类讨论思想,属于中档题.
    21.【答案】解:

    函数的图象与x轴相切,设切点为


    解得
    由函数

    ,则
    显然  时,,则 ,所以单调递增;
    时,,则,所以单调递减;
    所以
    且当时,,当时,
    要使得存在两个零点,则  无零点,有一个零点
    可得

    易知函数为增函数,
    且当时,
    由函数的零点存在性定理有,一定存在,使得 
    所以上单调递减,在上单调递增;
    故当是函数的极值点,且存在两个零点时,且a的取值范围
     【解析】利用取极值导数为0,求参数a,再检验单调性;
    分离参数得;讨论方程的根的个数,即分析函数,的图象,讨论单调性即可;再由的单调性分析极值的位置.
    本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题,解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题,考查了学生基本计算能力以及转化与化归思想,属于难题.
    22.【答案】解:时,的参数方程为,两式作差得,
    ,得,即
    的普通方程为的直角坐标方程为
    代入





     【解析】代入,消去t即可得到的普通方程,把两边同时乘以,即可得到的直角坐标方程;
    把曲线的参数方程为代入的直角坐标方程,再由参数t的几何意义求解.
    本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程化为普通方程,考查直线参数方程中此时t的几何意义的应用,是中档题.
    23.【答案】解:
    解得:
    故不等式的解集为
    不等式有解有解,
    ,则
    时,

     【解析】3段去绝对值解不等式,在相并可得;
    不等式有解有解,令,则,再把变成分段函数,根据单调性求出最小值可得.
    本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.
     

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