北师大版 2021高考数学一轮复习第八章数列8.1数列含函数特性练习

8.1 数列（含函数特性）核心考点·精准研析考点一　数列的有关概念及通项公式 1.数列{an}中,a1=1,当n≥2且n∈N*时,an=,则a3+a5= (　　)A.    B.   C.   D.2.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则3 (　　)A.不是数列{an}中的项B.只是数列{an}中的第2项C.只是数列{an}中的第6项D.是数列{an}中的第2项或第6项3.数列,-,,-,…的一个通项公式为 (　　)A.an=(-1)n·   B.an=(-1)n·C.an=(-1)n+1·   D.an=(-1)n+1·4.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…+等于 (　　)A.  B.  C.  D.5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=(　　)A.2+ln n     B.2+(n-1)ln nC.2+nln n    D.1+n+ln n【解析】1.选D.因为an=(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.2.选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.3.选D.该数列是分数形式,分子为奇数2n+1,分母是指数2n,各项的符号由(-1)n+1来确定,所以D选项正确.4.选D.由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a1=1代入上式得an=1+2+3+…+(n-1)+n=,所以==2,则++…+=2=2=.5.选A.因为an+1=an+ln,所以an-an-1=ln=ln(n≥2),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln+ln+…+ln+ln 2+2=2+ln=2+ln n(n≥2).又a1=2适合上式,故an=2+ln n(n∈N*).将T3改为已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)A.an=(-1)n-1+1     B.an=C.an=2sin      D.an=cos(n-1)π+1【解析】选C.对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin不合题意.1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③各项的符号特征和绝对值特征;④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑤对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.2.递推公式推导通项公式的方法(1)累加法:an+1-an=f(n).(2)累乘法: =f(n).(3)待定系数法:an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0).把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.【秒杀绝招】1.代入法解T2根据选项可直接把n=2或n=6代入检验.2.特值检验法解T3先利用排除法排除A、B,然后可直接把n=3代入检验排除C.考点二　an与Sn的关系及其应用 【典例】1.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),则an= (　　)A.2n  B.2n-1  C.2n  D.2n-12.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an. 【解题导思】序号联想解题1(1)看到an与Sn的关系,想到利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为an与an-1的关系(2)也可以先检验n=1,n=2,n=3进行排除2(1)利用an+1=Sn+1-Sn转化为Sn+1与Sn的关系(2)求得Sn,代入an=Sn-Sn-1(n≥2)得an,并检验n=1是否成立【解析】1.选C.当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以数列{an}为首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n.【一题多解】选C.利用递推关系求出a1=2,a2=4,a3=8,易确定C.2.由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn,得-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=,故an=【答题模板微课】本例题2的模板化过程:建模板:当n=1时,a1=S1=-1, …………求首项当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-+=, …………作差求通项经检验a1=-1不适合an=, …………检验故an= …………结论套模板:已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1,则an=________. 【解析】当n=1时,a1=S1=1+2+1=4, …………求首项当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1, …………作差求通项经检验a1=4不适合an=2n+1, …………检验故an= …………结论答案:1.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.1.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式是________. 【解析】当n=1时,a1=S1=2-3=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1.当n=1时不满足,故an=   答案:an=   2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= (　　)A.2n-1      B.C.     D.【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn=.【变式备选】已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.(1)Sn=2n2-3n.(2)Sn=3n+b.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.由于a1也适合此等式,所以an=4n-5.(2)a1=S1=3+b,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.当b=-1时,a1适合此等式;当b≠-1时,a1不适合此等式.所以当b=-1时,an=2·3n-1;当b≠-1时,an=考点三　数列的性质及其应用 命题精解读1.考什么:考查数列的单调性、周期性、最值问题2.怎么考:因为数列可以看作是一类特殊的函数值,所以数列也具备函数应具备的性质,因此常常以数列为载体,考查单调性、周期性以及最值等问题.解题过程中常常渗透逻辑推理的核心素养.3.新趋势:由递推关系求通项公式考查求通项公式的方法成为考试的新趋势学霸好方法1.解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法(2)作商比较法(3)结合相应函数的图像直观判断.2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.3.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项;(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项.4.交汇问题数列的函数特性可利用数形结合、分类讨论进行解题数列的单调性【典例】已知递增数列{an},an≥0,a1=0.对于任意的正整数n,不等式t2--3t-3an≤0恒成立,则正数t的最大值为              (　　)A.1　  B.2   C.3   D.6【解析】选C.因为数列{an}是递增数列,又t2--3t-3an=(t-an-3)(t+an)≤0,t+an>0,所以t≤an+3恒成立,t≤(an+3)min=a1+3=3,所以tmax=3.在数列的恒成立问题中,若涉及求参数的最值问题时,如何进行合理地转化?提示:在涉及求参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有关,因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性.数列的周期性【典例】若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2 022的值为 (　　)A.2   B.-3   C.-   D.【解析】选B.因为a1=2,an+1=,所以a2==-3,同理可得:a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,a7=-,a8=,…,可得an+4=an,则a2 022=a505×4+2=a2=-3.在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑如何求解?提示:在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该数列中的某一项.数列中的最值【典例】数列{an}的通项为an=(n∈N*),若a5是{an}中的最大值,则a的取值范围是________. 【解析】当n≤4时,an=2n-1单调递增,因此n=4时取最大值,a4=24-1=15.当n≥5时,an=-n2+(a-1)n=-+.因为a5是{an}中的最大值,所以解得9≤a≤12.所以a的取值范围是[9,12].答案:[9,12]当数列涉及最大项或最小项问题时,除了用不等式组求解,还可以考虑什么方法?提示:解决数列的最值问题,除了用不等式组求解,还可以将数列看作某个函数,利用求函数的最值的方法求数列的最值.1.在数列中,a1=2,an+1=-,则a2 020等于(　　)A.2   B.-   C.-   D.1【解析】选A.因为a2=-=-,a3=-=-,a4=-=2,所以a3n+1=2,a3n+2=-,a3n+3=-,所以a2 020=a3×673+1=2.2.已知数列{an}满足an=(n∈N*),则数列{an}的最小项是第______项. 【解析】因为an=,所以数列{an}的最小项必为an<0,即<0,3n-16<0,从而n<.又n∈N*,所以当n=5时,an的值最小.答案:53.已知数列{an}中,an=n2+λn,且{an}为递增数列,求实数λ的取值范围.【解析】因为an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+λ+1,所以由{an}为递增数列可得2n+λ+1>0,即λ>-2n-1对一切n∈N*恒成立.因为n=1时,-2n-1取得最大值-3,所以λ>-3,即λ∈(-3,+∞).【一题多解】函数f(n)=n2+λn的图像的对称轴是n=-,如图,只需要-<,则λ>-3,即λ∈(-3,+∞).1.(2020·石家庄模拟)已知在正项等比数列中,a2 020=4a2 018,a2+a4=20,则a2 020的个位数字是 (　　)A.2   B.4   C.6   D.8【解析】选C.设公比为q(q>0),依题意得解得a1=q=2,故a2 020=2×22 019=22 020,注意到21个位数字是2,22个位数字是4,23个位数字是8,24的个位数字是6,25的个位数字是2,26的个位数字是4,…,故2n的个位数字的周期为4,而22 020=2505×4,故其个位数字为6.2.数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}中的最大项是 (　　)A.3   B.19   C.   D.【解析】选C.令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时,等号成立.因为an=,所以≤,由于n∈N*,故当n=9或n=10时,an=最大.