高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示优秀导学案及答案

§2.3　平面向量的基本定理及坐标表示

2．3.1　平面向量基本定理

学习目标　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

知识点一　平面向量基本定理

思考1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？

答案　能．依据是数乘向量和平行四边形法则．

思考2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？

答案　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．

梳理　(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

知识点二　两向量的夹角与垂直

思考1　平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

答案　存在夹角，不一样．

思考2　△ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？

答案　如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.

梳理　(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．

当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．

(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.

1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．(　×　)

提示　只有不共线的两个向量才可以作为基底．

2．零向量可以作为基向量．(　×　)

提示　由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．

3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　×　)

提示　基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.

类型一　对基底概念的理解

例1　(2017·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)

A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2

考点　平面向量基本定理

题点　基底的判定

答案　B

解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，

∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.

反思与感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．

跟踪训练1　若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)

A．e1－e2，e2－e1

B．2e1－e2，e1－e2

C．2e2－3e1,6e1－4e2

D．e1＋e2，e1＋3e2

考点　平面向量基本定理

题点　基底的判定

答案　D

解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合．

类型二　用基底表示向量

例2　如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

解　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，

∴＝＝2，＝＝2，

∴＝＝b，＝＝－＝－a.

∴＝＋＋＝－＋＋

＝－b＋a＋b＝a－b，

＝＋＝＋＝b－a.

引申探究

若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.

解　取CF的中点G，连接EG.

∵E，G分别为BC，CF的中点，

∴＝＝b，

∴＝＋＝a＋b.

又∵＝＝，

∴＝＝＝a＋b.

又∵＝＝＋＝＋＝＋，

∴＝＝b＋

＝a＋b.

反思与感悟　将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．

跟踪训练2　如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

考点　平面向量基本定理的应用

题点　利用平面向量基本定理求参数

答案　

解析　设＝a，＝b，

则＝a＋b，＝a＋b，

又∵＝a＋b，

∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.

类型三　向量的夹角

例3　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.

考点　平面向量的夹角求向量的夹角

题点　求向量的夹角

解　如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作▱OACB，

则＝a＋b，＝－＝a－b，

＝＝a.

因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，

所以∠OAB＝60°＝∠ABC，

即a－b与a的夹角β＝60°.

因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，

所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，

即a＋b与a的夹角α＝30°，

所以α＋β＝90°.

反思与感悟　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．

(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.

跟踪训练3　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　)

A．30°B．60°C．120°D．150°

考点　平面向量的夹角求向量的夹角

题点　求向量的夹角

答案　C

解析　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.

1．给出下列三种说法：

①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．

其中，说法正确的为(　　)

A．①②B．②③C．①③D．①②③

考点　平面向量基本定理

题点　基底的判定

答案　B

2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：

①与；②与；③与；④与.

其中可作为该平面内所有向量的基底的是(　　)

A．①②B．①③C．②④D．③④

考点　平面向量基本定理

题点　基底的判定

答案　B

解析　②中与共线，④中与共线，①③中两向量不共线，故选B.

3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.

考点　平面向量基本定理的应用

题点　利用平面向量基本定理求参数

答案　－15　－12

解析　∵向量e1，e2不共线，

∴解得

4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

考点　平面向量基本定理的应用

题点　利用平面向量基本定理求参数

答案　

解析　＝＋

＝＋

＝＋(－)

＝－＋，

又∵与不共线，

∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝.

5．在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以＝e1，＝e2为基底表示.

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

解　＝－＝e1－e2，

因为D，E，F依次是边AB的四等分点，

所以＝＝(e1－e2)，

所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.

1．对基底的理解

(1)基底的特征

基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．

(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．

2．准确理解平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.

一、选择题

1．如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)

A.(5e1＋3e2)

B.(5e1－3e2)

C.(3e2－5e1)

D.(5e2－3e1)

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

答案　A

解析　＝＝(－)＝(＋)

＝(5e1＋3e2)．

2．如图所示，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　)

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2

C．e1－3e2 D．3e1－e2

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

答案　C

3．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ等于(　　)

A.B.C．－D．－

考点　平面向量基本定理的应用

题点　利用平面向量基本定理求参数

答案　C

解析　因为A，B，D三点共线，

所以存在实数t，使＝t，则－＝t(－)．

所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t.

所以解得λ＝－.

4．(2017·石嘴山第三中学四模)设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)

A.＝－＋

B.＝－

C.＝－

D.＝－＋

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

答案　D

解析　依题意，得＝－＝－

＝×(＋)－＝－＋，故选D.

5．若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于(　　)

A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b

C．λa＋b D.a＋b

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

答案　D

解析　∵＝λ，

∴－1＝λ(2－)，∴(1＋λ)＝1＋λ2，

∴＝1＋2＝a＋b.

6．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

答案　B

解析　为方向上的单位向量，

为方向上的单位向量，

则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．

又λ∈(0，＋∞)，

所以λ的方向与＋的方向相同．

而＝＋λ，

所以点P在上移动，

所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心．

7．若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，则a与b的夹角为(　　)

A．30°B．45°C．60°D．90°

考点　平面向量的夹角求向量的夹角

题点　求向量的夹角

答案　C

二、填空题

8．已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝________.(用a，b表示)

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

答案　2a－2b

解析　设c＝λa＋μb，

则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)

＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2，

因为e1，e2不共线，

所以解得

故c＝2a－2b.

9．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________.(填“共线”或“不共线”)

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

答案　不共线　不共线

解析　∵e1，e2不共线，λ1＞0，λ2＞0，

∴a与e1，e2都不共线．

10．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

答案　a＋b

解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.

11．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．

考点　平面向量基本定理的应用

题点　利用平面向量基本定理求参数

答案　(－∞，4)∪(4，＋∞)

解析　若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.

三、解答题

12．在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.

考点　平面向量基本定理

题点　用基底表示向量

解　方法一　

如图所示，

∵＝e2，且＝k，

∴＝k＝ke2.

又∵＋＋＋＝0，

∴＝－－－＝－＋＋

＝e1＋(k－1)e2.

又∵＋＋＋＝0，

且＝－，＝，

∴＝－－－＝－＋＋

＝e2.

方法二　如图所示，过C作CE∥DA，交AB于点E，交MN于点F.

同方法一可得＝ke2.

则＝＋＝－(－)＋＝e1＋(k－1)e2，

＝＋＝＋＝＋(－)

＝e2.

方法三　如图所示，连接MB，MC.

同方法一可得＝ke2，

＝e1＋(k－1)e2.

由＝(＋)，

得＝(＋＋＋)

＝(＋)＝e2.

13．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

(1)证明：a，b可以作为一组基底；

(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；

(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

考点　平面向量基本定理的应用

题点　利用平面向量基本定理求参数

(1)证明　若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，

则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．

由e1，e2不共线，得⇒

∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．

(2)解　设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则

3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)

＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.

∵e1与e2不共线，

∴∴

∴c＝2a＋b.

(3)解　由4e1－3e2＝λa＋μb，得

4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)

＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.

∴∴

故所求λ，μ的值分别为3和1.

四、探究与拓展

14．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．

考点　平面向量的夹角求向量的夹角

题点　求向量的夹角

答案　90°

解析　由题意可画出图形，在△OAB中，

因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，

所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，

即向量a与c的夹角为90°.

15.如图，平面内有三个向量，，.其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．

考点　平面向量基本定理的应用

题点　利用平面向量基本定理求参数

解　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，

则＝＋.

在Rt△OCD中，∵||＝2，

∠COD＝30°，∠OCD＝90°，

∴||＝4，||＝2，

故＝4，＝2，

即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.