高中数学人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积优秀学案

学习目标

    1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算。

    2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。

复习引入

    1.向量的数量积.

    2.分别表示与x轴,y轴同向的单位向量

      (1)与的夹角为_________,=_______;同理=__________;

      (2)与的夹角为_________,=_______;

      (3)如果，则的坐标表示为.

学习探究

    1.阅读课本第106页，完成下面的问题：

      (1)若，则;

      (2)若，则，;

      (3)设，若;

      (4)设,则，，

         ,

        .

    2.阅读课本第107页例6，完成练习1，2.

3.已知， 求：

 （1）；                （2）与的夹角；               （3）在方向上的投影.

4.阅读课本第106页例5，完成课本第108页A组5，9，11.

技能提升

1.已知，，若，则实数的值是          .

2.已知，若，，则实数的值是_______,实数n的值是       .

3.已知，，若与垂直，则实数         .

4.若，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（     ）

      A．       B．  C．         D．

    5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=         . 

平面向量的数量积第一课时

学习目标

   1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

   2.理解平面向量的数量积与向量投影的关系，体会类比的数学思想和方法。

一、复习回顾：

两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量与，作＝，＝，则___________叫与的夹角.

说明：（1）当θ＝0时，与方向_______；（2）当θ＝π 时，与方向_______；

 （3）当θ＝时，与垂直，记⊥；

 （4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是________.范围是0≤≤180

二．学习探究

阅读课本103页完成下列任务

1.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，

与的数量积= ________________.（其中0≤θ≤π）.

并规定：向量与任何向量的数量积为___.

2. 阅读课本104页例1，完成106页练习1，2    108页习题A组2，6

探究：（1）向量数量积是一个向量还是一个数量？ 它的符号什么时候为正？ 什么时候为负？

  （2）两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？

      （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；

           但是在数量积中，若，且=0，能不能推出=？

      （4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c

          但是在数量积中.=能不能推出= ？

      （5）在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是()   ()

                      显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.

3．“投影”的概念：作图

定义：__________叫做向量在方向上的投影.向量在方向上的投影为_________投影是一个数量，不是向量；

当为锐角时投影为___值；   当为钝角时投影为___值；     当为直角时投影为0；

练习.（1）已知向量满足，1，与的夹角为，则在上的投影是： _______         

     （2）已知，，则向量在向量方向上的投影为_______________

4.向量的数量积的几何意义： 数量积等于________________________________

5.两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，

（1）  = ____________ ;  （2）= _________，cos= ____________（求夹角）

（3）当与同向时，θ= _____,cos= ____, =____________   =______ ；                                                        

        特别的与方向_____，θ= _____,cos= ___，=____ ____, 所以    ______ （求模）

     当与反向时，θ= _____,cos= ____, =____________   =______ ；

（4）||=__________≦_______

6.平面向量数量积的运算律

（1）交换律： = ______（2）数乘结合律：() =_______= _______（3）分配律：(+)=_______+_______

7.认真阅读课本105页例2，例3，完成课本108页习题A组1，3，7，8

8.认真阅读课本105页例4，完成下列各题

  （1）|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（    ）

1. 平行         B.垂直       C.夹角为  D.不平行也不垂直

  （2）已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是___________

 （3）已知||＝4，||＝3，(2－3)·(2＋)＝61，求与的夹角θ.