数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积优秀学案

这是一份数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积优秀学案，共21页。

2．4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标　1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．

知识点一　平面向量数量积的坐标表示
设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．
思考1　i·i，j·j，i·j分别是多少？
答案　i·i＝1×1×cos0＝1，j·j＝1×1×cos0＝1，i·j＝0.
思考2　取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.
答案　∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
思考3　若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？
答案　a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
梳理　设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0

知识点二　平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
思考1　若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．
答案　∵a＝xi＋yj，x，y∈R，
∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2
＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.
又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，
∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，
∴|a|＝.
思考2　若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？

答案　∵＝－
＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)，
∴||＝.
梳理　
向量
模长
a＝(x，y)
|a|＝
以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量
||＝

知识点三　平面向量夹角的坐标表示
思考　设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？
答案　cosθ＝＝.

1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　×　)
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(　×　)
3．若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(　×　)
提示　当两向量同向共线时，cosθ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.


类型一　数量积的坐标运算
例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)
A．10 B．－10
C．3 D．－3
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　坐标形式下的数量积运算
答案　B
解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且＝2，则·的值是________．

考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　坐标形式下的数量积运算
答案　
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．

∵AB＝，BC＝2，
∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)，
∵点E为BC的中点，∴E(，1)，
∵点F在边CD上，且＝2，
∴F.∴＝(，1)，＝，
∴·＝－＋2＝.
反思与感悟　数量积坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；
②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．
跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)
A．－1B．0C．1D．2
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　坐标形式下的数量积运算
答案　C
解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.
类型二　平面向量的模
例2　已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点　利用坐标求向量的模
解　(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
∴|a－2b|＝＝.
(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，
∴c＝a＋b＝(1,6)，
∴|c|＝＝.
反思与感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　)
A.B.C．5D．25
考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点　利用坐标求向量的模
答案　C
解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.

类型三　平面向量的夹角问题
例3　(2017·山东枣庄八中月考)已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，O(0,0)，若|＋|＝，α∈(0，π)，则，的夹角为(　　)
A.B.C.D.
考点　平面向量夹角的坐标表示与应用
题点　求坐标形式下的向量的夹角
答案　D
解析　因为|＋|2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝9＋6cosα＋1＝13，
所以cosα＝，
因为α∈(0，π)，所以α＝，所以C，
所以cos〈，〉＝＝＝，
因为0≤〈，〉≤π，所以〈，〉＝，
所以，的夹角为，故选D.
反思与感悟　利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝求两向量的模．
(3)代入夹角公式求cosθ，并根据θ的范围确定θ的值．
跟踪训练3　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
考点　平面向量夹角的坐标表示与应用
题点　已知坐标形式下的向量夹角求参数
解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．

类型四　平面向量的垂直问题
例4　在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　已知向量垂直求参数
解　∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
反思与感悟　利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．
跟踪训练4　已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A.B．－C.D．－
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　已知向量垂直求参数
答案　B
解析　由向量λa＋b与a－2b垂直，得
(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.




1．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A.B.C.D.
考点　平面向量夹角的坐标表示与应用
题点　求坐标形式下的向量的夹角
答案　A
解析　|a|＝＝5，|b|＝＝13.
a·b＝3×5＋4×12＝63.
设a，b夹角为θ，所以cosθ＝＝.
2．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)
A．3B．－3C.D．－
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　已知数量积求参数
答案　A
解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)
A．－4B．－3C．－2D．－1
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　已知向量垂直求参数
答案　B
解析　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
4．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　)
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　已知数量积求向量的坐标
答案　A
解析　由题意设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
则|b|＝＝|λ|＝3，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6)．
5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　已知向量垂直求参数
解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.

1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.


一、选择题
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A.B.C.D.
考点　平面向量夹角的坐标表示与应用
题点　求坐标形式下的向量的夹角
答案　B
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]．
∴a与b的夹角为.
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　)
A．|a|＝|b| B．a·b＝0
C．a∥b D．(a－b)⊥b
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量垂直的坐标表示的综合应用
答案　D
解析　a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，
所以(a－b)⊥b.
3．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为(　　)
A.B．3C．－D．－3
考点　平面向量投影的坐标表示与应用
题点　利用坐标求向量的投影
答案　D
解析　向量a在b方向上的投影为＝＝－3.故选D.
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A．1B.C．2D．4
考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点　利用坐标求向量的模
答案　C
解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
5．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为(　　)
A．(3,2)
B.
C.或
D．以上都不对
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量垂直的坐标表示的综合应用
答案　C
解析　设与a垂直单位向量的坐标为(x，y)，
∵(x，y)是单位向量的坐标形式，
∴＝1，即x2＋y2＝1，①
又∵(x，y)表示的向量垂直于a，
∴2x－3y＝0，②
由①②得或
6．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(　　)
A．－1＋ B．－2
C．－1± D．1
考点　平面向量夹角的坐标表示与应用
题点　已知坐标形式下的向量夹角求参数
答案　C
解析　∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
又ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos120°＝，
即－＝，
化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±.
7．已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是(　　)
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2,6)
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
答案　D
解析　设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2,6)．
二、填空题
8．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点　利用坐标求向量的模
答案　8
解析　由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，
∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
9．已知a＝(3，)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　坐标形式下的数量积运算
答案　1
解析　a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.
10．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p⊗q＝(－4，－3)，则q的坐标为________．
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　已知数量积求向量的坐标
答案　(－2,1)
解析　设q＝(x，y)，则p⊗q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)．
∴∴∴q＝(－2,1)．

11．(2017·广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量＝(1,7)，＝(5,1)(O为坐标原点)，设M为直线y＝x上的一点，那么·的最小值是________．
考点　平面向量数量积的坐标表示与应用
题点　坐标形式下的数量积运算
答案　－8
解析　设M，
则＝，＝，
·＝(1－x)(5－x)＋
＝(x－4)2－8.
所以当x＝4时，·取得最小值－8.
三、解答题
12．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解　(1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2，
可得所以或
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4)．
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－.所以cosθ＝＝－1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
13．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．
考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用
解　(1)设＝(x，y)，
∵Q在直线OP上，∴向量与共线．
又＝(2,1)，∴x－2y＝0，∴x＝2y，
∴＝(2y，y)．
又＝－＝(1－2y,7－y)，
＝－＝(5－2y,1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)
＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(－3,5)，＝(1，－1)，
·＝－8，||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝＝－.
四、探究与拓展
14．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在内变动时，实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C.∪(1，) D．(1，)
考点　平面向量夹角的坐标表示与应用
题点　已知坐标形式下的向量夹角求参数
答案　C
解析　如图，作＝a，则A(1,1)．

作，，
使∠AOB1＝∠AOB2＝，
则∠B1Ox＝－＝，
∠B2Ox＝＋＝，
故B1，B2(1，)．
又a与b的夹角不为0，故m≠1.
由图可知实数m的取值范围是∪(1，)．
15．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)．
(1)求·及在上的投影；
(2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；
(3)求||的最小值．
考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点　平面向量模的坐标表示的应用
解　(1)·＝8，设与的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴在上的投影为||cosθ＝4×＝2.
(2)＝－＝(－2,2)，＝－
＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)，
又因为与有公共点B，所以A，B，C三点共线．
当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，
∴当λ＝时，||取最小值2.