人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积精品导学案

这是一份人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积精品导学案，共17页。

2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
学习目标　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．

知识点一　平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律
实数乘法
向量数量积
判断正误
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
正确
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)c＝a(b·c)
错误
分配律
(a＋b)c＝ac＋bc
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
正确
消去律
ab＝bc(b≠0)⇒a＝c
a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c
错误

知识点二　平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．

多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a


1．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)
2．已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(　×　)
3．λ(a·b)＝λa·b.(　√　)

类型一　向量数量积的运算性质
例1　设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确结论的序号是________．
考点　平面向量数量积的运算性质和法则
题点　向量的运算性质与法则
答案　①③④
解析　根据向量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确结论的序号是①③④.
反思与感悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．
跟踪训练1　对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　)
A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b|
C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝
考点　平面向量数量积的运算性质和法则
题点　向量的运算性质与法则
答案　D
解析　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；
根据向量加法的平行四边形法则，
|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，
所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；
因为a·a＝|a||a|cos0＝|a|2，
所以|a|＝，所以D正确．



类型二　平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1　利用向量数量积处理垂直问题
例2　已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
解　由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.
若c⊥d，则c·d＝0，
∴c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．
反思与感悟　由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b⇔a·b＝0.
跟踪训练2　已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________.
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
答案　2
解析　由题意，将b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.
命题角度2　由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
答案　(0,1)∪(1，＋∞)
解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
反思与感悟　向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a，b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0.同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能说明a，b的夹角为钝角，因为a，b夹角为180°时也有a·b<0.
跟踪训练3　若向量e1，e2满足|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，向量2te1＋e2与向量e1－e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
解　设向量2te1＋e2与向量e1－e2的夹角为θ，由θ为钝角，知cosθ<0，故(2te1＋e2)·(e1－e2)＝2te＋(－2t＋1)e1·e2－e＝t－<0，解得t<.
又当θ＝π时，也有(2te1＋e2)·(e1－e2)<0，
但此时夹角不是钝角，设向量2te1＋e2与向量e1－e2反向，则2te1＋e2＝k(e1－e2)(k<0)，
又e1与e2不共线，从而解得t＝－，即当t＝－时，向量2te1＋e2与向量e1－e2的夹角为180°，
故t的取值范围是.


1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　)
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1B．2C．3D．4
考点　平面向量数量积的运算性质与法则
题点　向量的运算性质与法则
答案　C
解析　①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ，故选C.
2．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)
A．2B．2C．6D．12
考点　平面向量数量积的运算性质和法则
题点　向量的运算性质与法则
答案　B
解析　∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2
＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12，
∴|a－4b|＝2.
3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4B．－4C.D．－
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
答案　B
解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.
4．在△ABC中，＝a，＝b，且a·b>0，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
考点　平面向量数量积的应用
题点　数量积在三角形中的应用
答案　D
解析　由·>0知，·<0，即角B为钝角．
5．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是________．
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
答案　
解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
设a与b的夹角为θ，
∴cosθ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.

1．数量积对结合律不一定成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等．
2．在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cosθ有可能为0.
3．在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0⇏a＝c.

一、选择题
1．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　)
A．0B．aC．bD．c
考点　平面向量数量积的运算性质和法则
题点　向量的运算性质和法则
答案　B
解析　b·c＝|b||c|cos45°＝1.
∴a·(b·c)＝a.
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)
A.B．－C．±D．1
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
答案　A
解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.
3．(2017·嘉峪关高一检测)已知向量a，b为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)
A.B.C.D.
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
答案　B
解析　设a与b的夹角为θ.
因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
所以(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，
(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0.
所以a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以a2＝b2，
所以|a|＝|b|，
所以cosθ＝＝＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
所以a，b夹角为.
4．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
考点　平面向量数量积的应用
题点　向量模与夹角的综合应用
答案　B
解析　由＝知四边形ABCD是平行四边形，由·＝0知AC⊥BD，即对角线垂直，所以四边形ABCD是菱形．
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
答案　C
解析　由题知，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2
＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0，
∴cos〈a，b〉＝－，
又∵〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴a，b的夹角为120°.
6．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A.B．13C．6D.
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
答案　D
解析　∵与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，
∴·＝||·||cos120°
＝2×3×＝－3.
∵·＝(＋λ)·(－)
＝2－λ2＋(λ－1)·＝0，
∴32－λ×22＋(λ－1)×(－3)＝0，
解得λ＝，故选D.
7．(2017·惠州高一检测)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
考点　平面向量数量积的应用
题点　数量积在三角形中的应用
答案　A
解析　因为(－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，
又因为－＝，
所以(－)·(＋)＝0，
即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形．
二、填空题
8．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为________.
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
答案　
解析　因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，
所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.
又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，
所以cosθ＝，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
9．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.
考点　平面向量数量积的应用
题点　向量模与夹角的综合应用
答案　
解析　∵a⊥b，∴a·b＝0，
(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，
|a＋2b|＝＝，
|a－2b|＝＝，
∴a2－4b2＝··cos120°，
化简得a2－2b2＝0，
∴＝.
10．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
考点　平面向量数量积的应用
题点　向量模与夹角的综合应用
答案　4
解析　方法一　由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，
∴(a－b)·(－a－b)＝0，
即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
方法二　如图，作＝＝a.

＝b，则＝c，
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
11．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________．
考点　平面向量数量积的应用
题点　向量模与夹角的综合应用
答案　
解析　由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，
即a2＋2a·b·x＋b2·x2≥a2＋2a·b＋b2，
设a与b的夹角为θ，
则4＋4cosθ·x＋x2≥4＋4cosθ＋1，
即x2＋4cosθ·x－1－4cosθ≥0，
因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，
所以Δ＝16cos2θ＋4(1＋4cosθ)≤0，
即(2cosθ＋1)2≤0，
所以2cosθ＋1＝0，cosθ＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
12．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，则k的取值范围为________．
考点　平面向量数量积的应用
题点　向量模与夹角的综合应用
答案　{k|k<0或k>2}
解析　因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos120°＝－，
所以k2－2k>0，所以或
解得k<0或k>2，
即k的取值范围是{k|k<0或k>2}．
三、解答题
13．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
考点　平面向量数量积的应用
题点　已知向量夹角求参数
解　设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.
根据题意，得cosθ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
化简，得2t2＋15t＋7<0，
∴或解得－7 当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
由e1与e2不共线，得∴
∴实数t的取值范围是∪.
四、探究与拓展
14．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A.－1 B．1
C. D．2
考点　平面向量数量积的运算性质和法则
题点　求向量的数量积的最值
答案　B
解析　由题意，知a2＝1，b2＝1，c2＝1，
由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0，
知(a＋b)·c≥c2＝1.
因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c
＝3－2(a·c＋b·c)≤1，
故|a＋b－c|的最大值为1.
15．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ.
考点　平面向量数量积的应用
题点　利用数量积求向量的夹角
解　假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2，
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0，
∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0，
∴
解得cosθ∈.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.