高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例优质学案设计

§2.5　平面向量应用举例

2．5.1　平面几何中的向量方法

学习目标　1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.

2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．

知识点一　几何性质及几何与向量的关系

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.

思考1　证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？

答案　可用向量共线的相关知识：

a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．

思考2　证明垂直问题，可用向量的哪些知识？

答案　可用向量垂直的相关知识：

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

梳理　用向量解决常见平面几何问题的技巧

知识点二　向量方法解决平面几何问题的步骤

1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．

2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．

3．把运算结果“翻译”成几何关系．

类型一　利用向量证明平面几何问题

例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

证明　方法一　设＝a，＝b，

则|a|＝|b|，a·b＝0.

又＝＋＝－a＋，

＝＋＝b＋，

所以·＝·

＝－－a·b＋

＝－|a|2＋|b|2＝0.

故⊥，即AF⊥DE.

方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．

因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.

所以⊥，即AF⊥DE.

反思与感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路

(1)向量的线性运算法的四个步骤

①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化．

(2)向量的坐标运算法的四个步骤

①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化．

跟踪训练1　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

证明　方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，

则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，

∴·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·

＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋a×a×cos45°＋a×(1－a)×cos45°

＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.

∴⊥，即DP⊥EF.

方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

设正方形ABCD的边长为1，

AP＝λ(0<λ<)，

则D(0,1)，P，

E，F.

∴＝，＝.

∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，

∴⊥，即DP⊥EF.

类型二　利用向量处理平面几何求值问题

例2　在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)

A．2B.C．3D.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　B

解析　∵BC的中点为D，＝，

∴||＝.

反思与感悟　(1)用向量法求长度的策略

①利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a(x，y)，则|a|＝.

(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．

②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．

跟踪训练2　如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF，连接BE，CE，点G是线段BE上靠近B的四等分点，连接GF，则·等于(　　)

A．－6 B．－9

C．6 D．9

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　D

解析　根据题意，＝2，＝－，

所以＝＋＋

＝－＋＋＝＋，

又＝＋，且∠CDE＝120°，

所以·＝·(＋)

＝2＋·＋2

＝2＋×2×2×＋4＝9.

1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　)

A．是正三角形 B．是直角三角形

C．是等腰三角形 D．形状无法确定

考点　平面几何中的向量方法

题点　判定多边形的形状

答案　C

解析　(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形．

2．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)

A．2B．1C.D．4

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　B

解析　∵＝＋(＋)，

∴－＝(＋)，

＝(＋)，

∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴||＝1.

3．(2017·长春高一检测)在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)

A.B.C.D.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　D

解析　已知在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，点D在AB边的中位线上，且为靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC.

4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　22

解析　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.

5．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　2

解析　连接AO，∵O是BC的中点，

∴＝(＋)．

又∵＝m，＝n，

∴＝＋.

又∵M，O，N三点共线，

∴＋＝1，则m＋n＝2.

利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．

一、选择题

1．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)

A．梯形 B．菱形

C．矩形 D．正方形

考点　平面几何中的向量方法

题点　判定多边形的形状

答案　A

解析　∵＝(3,3)，＝(－2，－2)，

∴＝－，∴与共线．

又||≠||，∴该四边形为梯形．

2.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　　)

A．－ B．－

C．－ D．－

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　B

解析　＝＋，＝＋，

且＝－，

所以·＝(＋)·(＋)

＝2－2＝－1＝－.

3．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)

A.B．2C．5D．10

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　C

解析　∵·＝0，∴AC⊥BD.

∴四边形ABCD的面积

S＝||||＝××2＝5.

4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　)

A. B．2

C．3 D．2

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　B

解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．

设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，

D(0，a)，E(2,0)，

所以＝(2，－a)，＝(4，a)．

因为⊥，所以·＝0，

所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.

所以a＝2，所以＝(2，－2)，

所以||＝＝2.

5．在▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为(　　)

A．1B.C.D.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　B

解析　设AB的长为a(a＞0)，

因为＝＋，＝＋＝－，

所以·＝(＋)·

＝·－2＋2＝－a2＋a＋1.

由已知，得－a2＋a＋1＝1，

又因为a＞0，所以a＝，即AB的长为.

6．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)

A．三边均不相等的三角形

B．直角三角形

C．等腰(非等边)三角形

D．等边三角形

考点　平面几何中的向量方法

题点　判定多边形的形状

答案　D

解析　由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，

∴AB＝AC.而·＝cos〈，〉＝，

又〈，〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.

故△ABC为等边三角形，故选D.

7．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)

A．三个内角的角平分线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　D

解析　∵·＝·，∴(－)·＝0，

∴·＝0，∴OB⊥AC.

同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高的交点．

二、填空题

8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　－

解析　如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，

∴C(2,1)．

∵E，F分别为BC，CD的中点，

∴E，F(1,1)，

∴＋＝，＝(－2,1)，

∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.

9．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则·＝________.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　－

解析　如图，作OD⊥AB于点D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝，所以∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，所以·＝||||cos120°＝1×1×＝－.

10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　

解析　已知A(0,1)，B(－3,4)，

设E(0,5)，D(－3,9)，

∴四边形OBDE为菱形，

∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.

设C(x1，y1)，||＝3，

∴＝.

∴(x1，y1)＝×(－3,9)＝，

即＝.

11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为________．

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　1∶3

解析　如图，D为BC边的中点，

则＝(＋)．

因为3－－＝0，

所以3＝2，

所以＝，

所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.

三、解答题

12.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

证明　设＝λ，并设△ABC的边长为a，则有

＝＋＝λ＋＝λ＋

＝(2λ＋1)－λ，

＝－.

∵∥，∴(2λ＋1)－λ＝k－k.

于是有解得λ＝.

∴＝，

∴＝＋C＝＋，＝－，

从而·＝·

＝a2－a2－a2cos60°＝0，

∴⊥，

∴BP⊥DC.

13．(2017·天津武清高二期中)在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．

(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；

(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

解　(1)由题意得，＝(t－4,2)，＝(2，t)，

＝(6－t，t－2)，

若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；

若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，

∴t＝6±2；

若∠C＝90°，则·＝0，

即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，

∴t的值为2或6±2.

(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，

设点D的坐标为(x，y)，

即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，

∴即D(10－t，t－2)，

∴||＝＝，

∴当t＝6时，||取得最小值4.

四、探究与拓展

14．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为________．

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

答案　2

解析　设∠BAC＝θ，AD＝x(x>0)，

则·＝2x·3·cosθ＝5，

∴x·cosθ＝.

作DE⊥AB于点E，由DE2＋EB2＝BD2，

得(x·sinθ)2＋(3－x·cosθ)2＝5，

解得x·sinθ＝.

∴x2·cos2θ＋x2·sin2θ＝x2＝＋＝1，

∴x＝1，∴AC＝2x＝2.

15．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值．

考点　平面几何中的向量方法

题点　利用向量解决平面几何问题

解　在等腰梯形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，

∴·＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋λ·

＝2×1×cos60°＋2×＋λ×1×1×cos60°＋λ·×cos120°＝＋＋，

由对勾函数的性质知当＝，即λ＝时，·取得最小值.