广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题10理（高补班）含解析
展开广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题（10）理（高补班）
考试时间：120分钟（2019.12.17）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合，若，则实数a的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
2．已知线段AB是抛物线的一条焦点弦，，则AB中点C的横坐标是 ( )
A． B． C．2 D．
3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为的中点，则异面
直线AE与BC所成角的余弦值为 ( )
A． B．
C． D．
4．已知都为锐角，且，，则 ( )
A． B． C． D．
5．设R，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知F是双曲线的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若，则△OPF的面积为 ( )
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，则的最小值为 ( )
A． B．
C． D．
8．已知等差数列的公差不为零，其前n项和为，若成等比数列，则 ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
9．如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下
列四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面
③；④平面平面．其中正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
10．过三点的圆被直线所截得的弦长的最小值等于( )
A． B． C． D．
11．如图，三棱柱的高为6，点D，E分别在线段上，．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成
体积不相等的两部分，若底面的面积为6，则所切得的较大部分的
几何体的体积为 ( )
A．22 B．23
C．26 D．27
12．设，其中，则D的最小值为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数则 .
- 在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是_______.
15．已知分别为椭圆的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M的坐标为(2，0)．若AM为的平分线，则 .
16．如图①，在等腰直角中，斜边，D为AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到如图②所示的三棱锥，若三棱锥的外接球的半径为，则 .
三、解答题：共70分。 （一）必考题：17题-21题
．（12分） 在平面四边形ABCD中，
(1)求C；
(2)若E是BD的中点，求CE．
18.（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角为，
求二面角的大小.
19．(12分) 已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，求证：为定值．
20．(12分)已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围．
21．（12分）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：
由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
（1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值；
（2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：
记职工个人每日步行数为，其超过平均值的百分数，若，职工获得一次抽奖机会；若，职工获得二次抽奖机会；若，职工获得三次抽奖机会；若，职工获得四次抽奖机会；若超过，职工获得五次抽奖机会．设职工获得抽奖次数为．
方案甲：从装有个红球和个白球的口袋中有放回的抽取个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；
方案乙：从装有个红球和个白球的口袋中无放回的抽取个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；
若某职工日步行数为步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
如图，在极坐标系中，以和为圆心的两圆外切于点，射线OA，OB的夹角为，分别交于O、A两点，交于O、B两点．
（1）写出与的极坐标方程；
（2）求面积最大值．
23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，.
（1），有，求实数的取值范围；
（2）若不等式的解集为，正数a、b满足，求的最小值.
高补部理科数学周测（10）参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C 9．C
10．C 11．B 12．C
二、填空题
13．－4 14. 15． 16．
17．解：(1)由题设及余弦定理得 ①，
②.
由①②得，故 （5分）
(2)如图，由题意知，
则
， 所以.
18.解：（1）连接AC交BD于O，连接OE．
由题意可知，PE＝EC，AO＝OC，
∴PA∥EO，又PA平面BED，EO平面BED，
∴PA∥平面BED． …4分
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，设PD＝CD＝1，AD＝a，
则A(a，0，0)，B(a，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(a，1，0)，
＝(a，1，－1)，＝(0， 1，－1)
设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，
由得取n＝(0，1，1)． …7分
直线BD与平面PBC所成的角为30，得
|cos，n|＝＝＝，解得a＝1． …9分
同理可得平面PBD的法向量m＝(－1，1，0)， …10分
cosn，m＝＝＝，
∵二面角C−PB−D为锐二面角，
∴二面角C−PB−D的大小为60°． …12分
19．（1）由条件焦距为，知，从而将代入方程，
可得，，故椭圆方程为．
（2）当直线的斜率不为0时，设直线交椭圆于，，
由，可得，
，，，，
，
化简得，
当直线斜率为0时， ，，，
即证为定值，且为．
20.（1），
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，故函数在上单调递减；
当时，，故函数在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，没有最小值，故．
，
整理得，即．
令，易知在上单调递增，且；
所以的解集为，所以．
21.（I），...........................................4分
（II）某职工日行步数，≈
职工获得三次抽奖机会
设职工中奖次数为
在方案甲下
0 | 1 | 2 | 3 | |
P |
在方案乙下
0 | 1 | 2 | 3 | |
P |
.8
所以更喜欢方案乙...........................................12分
23.解：（1）由，得恒成立
，在时恒成立
的取值范围是...................................................................................5分
方法二：根据函数的图像，找出的最小值
（2）由得
解得
解得
将带入，整理得
当且仅当，即时取等号
................................................................................................10分
