广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题8理（高补班）含解析
展开广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题（8）理（高补班）
考试时间：2019.11.12 使用班级：2-16班
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题有且只有一个正确选项。）
1．已知全集U＝R，集合，则 图中的阴影部分表示的集合为( )
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列为等差数列，为其前项和，，则=（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则=（ ）
A． B． C． D．
5.在中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．20
8．函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9．在由正数组成的等比数列中，若，则的值为 ( )
A． B． C． D．
10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则给出下列结论：
①；②；③
④在向量上的投影为。其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知定义在上的偶函数且在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知函数与直线相切，则的取值是 .
14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚10尺，请问两只老鼠最少在第______天相遇．
15．已知函数满足，，且在区间上单调，则的值有_________个.
16．已知函数，．若对，总，使得成立，则实数的取值集合为____
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。）
17.（本小题10分）已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.
18．（本小题12分）已知函数
(1)求函数的单调递增区间；
(2)内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.
19.（本小题12分）如图1,在直角梯形ABCD中,，,，将沿折起，使平面平面,得到几何体,如图2所示.
（1）求证:平面；
（2）求二面角D-AB-C的正弦值。
20.（本小题12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，且，＝1，b＝2。
(1)求∠C和边c；
(2)若,,且点P为△BMN内切圆上一点，
求的最大值。
21（本小题12分）.已知椭圆:的两个焦点分别为,且椭圆经过点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.
22.（本小题12分）已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，令，若，是的两个极值点，且，求正实数的取值范围.
周测8参考答案：选择题： DBDAA CCBDC CD
二．填空题：
13. ； 14. 4 ； 15. 9 ； 16. 。
三．解答题：
17.解 设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，
由题意得1＋d＝1＋q，q2＝2(1＋2d)－6，解得d＝q＝2，
所以an＝2n－1，bn＝2n－1. -------------5分
(2)证明 因为cn＝＝＝，
所以Tn＝
＝＝－，
因为>0，所以Tn<.又因为Tn在[1，＋∞)上单调递增，
所以当n＝1时，Tn取最小值T1＝，所以≤Tn<. ---------------10分
18．（1），
…………3分
故函数的递增区间为.………………5分
（2），
， ………………7分
由正弦定理得：，，，或.………………9分
当时，：………………10分
当时，（与已知矛盾，舍）…………11分
所以.即为所求………………12分
19.（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC………………2分
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，………………4分
∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD………………6分
(2）过D作于O，再过O作于F，连接DF，易知为二面角的平面角 ..................9分
易知,即为所求二面角的正弦值。………………12分
（注：坐标法，对应给分）。
20题 解析：(1)∵2sin2＋cos 2C＝1，∴cos 2C＝sin2＝cos(A＋B)＝－cos C，
∴2cos2C＋cos C－1＝0，∴cos C＝或cos C＝－1，∵C∈(0，π)，∴cos C＝，∴C＝．由余弦定理得c＝＝． ------------6分
（2）建立坐标系，由（1）A，由,知
，△BMN的内切圆方程为：，设，则令
-------------------------12分
21.解: (Ⅰ)
所以,. 又由已知,, 所以椭圆C的离心率 ------4分
由知椭圆C的方程为. 当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由 得. ----------6分
设,则
因为,所以,即
, ----------19分
解得,即. 故直线的方程为或. ------12分
22.解：（Ⅰ）由， ，则，………………1分 当时，则，故在上单调递减；………………2分
当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增.………………3分综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.………………4分
（Ⅱ），
故，………………5分
当时，恒成立，故在上单调递减，不满足有两个极值点，故.………………6分
令，得两个极值点，
由函数的定义域得：且；………………7分
故
………………8分
令，由或得
令，………………9分
当时，，
则在上单调递增，故，
则时成立；………………10分
当时，，则在上单调递增，故，则；综上所述：.……12分
