江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十六次周考理A层13班2（含解析） 试卷
展开江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十六次周考（理A层）（13班）
一．选择题（50分）
1若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．6
2节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B.
C. D.
3、如图，在棱长为的正方体中，给出以下结论：
① 直线与所成的角为；
② 若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；
③ 若是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为.
其中，正确结论的个数是( )
4设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5 B.＋
C．7＋ D．6
5、已知空间个球，它们的半径均为，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这个球都外切，则这个小球的半径（ ）
A. B. C. D.
6从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
7．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8、抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，且在第一象限，并交于点，线段与抛物线交于点，若的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
9个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.不等式 有且只有一个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
二．填空题（25分）
11某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
12、小波玩已知闯关游戏，有5次挑战机会，若连续二次挑战胜利停止游戏，闯关成功；否则，闯关失败，若小波每次挑战胜利的概率均为，且各次挑战相互独立，那么小波恰好挑战4次成功的概率为
13、已知空间四边形中, , , ,若平面平面,则该几何体的外接球表面积为_______.
三．解答题（48分）
14如图，已知长方形中，,为的中点.将沿折起，使得平面平面.
（1）求证：；
（2）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为．
15．一场娱乐晚会上有5位歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众A是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众B和C对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手的概率.
(2)X表示4号歌手得到观众A、B、C的票数之和,求X的分布列和数学期望.
16设椭圆：，其中长轴是短轴长的倍，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为。
（I）求椭圆的方程；
（II）点是椭圆上动点，且横坐标大于，点，在轴上，
内切于，试判断点的横坐标为何值时的面积最小。
17（12分）已知函数（其中）.
（1）讨论的单调性；
（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.
2019年高三（13）班第十六次数学周考卷参考答案
一选择踢
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | B | C | D | D | A | B | C | B | B | D |
二.填空题
11答案
12 0.128
13【答案】、
三.解答题
14（1）证明：连接BM，则AM=BM=，所以
又因为面平面，
所以，
（2）建立如图所示的空间直角作标系
由（1）可知，平面ADM的法向量
设平面ABCM的法向量，
所以，
二面角的余弦值为
得，，即：E为DB的中点。
15. (1) 设事件D表示:观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手。观众A选中4号歌手的概率为,观众B未选中4号歌手的概率为。所以P(D) = .
因此，观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手的概率为.
(2) X表示4号歌手得到观众A、B、C的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众A选中4号歌手的概率为,观众B、C选中4号歌手的概率为。
当观众A、B、C均未选中4号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = .
当观众A、B、C中只有1人选中4号歌手时，这时X=1，P(X = 1) = .
当观众A、B、C中只有2人选中4号歌手时，这时X=2，P(X = 2) = .
当观众A、B、C均选中4号歌手时，这时X=3，P(X =3) = .
X的分布列如下表：
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
所以，数学期望.
16由已知，解得：，故所求椭圆方程为：
…………………………3分
（II）设，.不妨设，则直线的
方程为，即，又圆心到
直线的距离为，即，，化简得
，…………………………5分
同理，所以是方程
的两个根，所以，，
则………………………7分
因为是椭圆上的点，所以，，
则，
…………………………9分
令，则，令化简
，则，
令，得，而，所以函数在上单调递减，
当即即点的横坐标为时，的面积最小。
…………………………12分
17解：（1）的定义域为，
（i）若，则.由得或；由得
∴在，上单调递增，在上单调递减；
（ii）若，则，∴在上单调递增；
（iii）若，则，由得或；由得
∴在，上单调递增，在上单调递减.
（2）∵，，
由得，∴，，∴
∵ ∴ 解得
∴
设 ，则
∴在上单调递减；当时，
