江西省信丰中学2020届高三数学上学期第四次周考理A层13班2（含解析） 试卷

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第四次周考（理A层）（13班）

一．选择题（50分）

1若函数y＝cos(ω∈N*)图像的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)

A．1   B．2

C．4   D．8

2．f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图像如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)

A.   B.

C.   D．1

3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f(x)的图像(　　)

A．关于直线x＝对称   B．关于直线x＝对称

C．关于点对称   D．关于点对称

4已知sin＋sin α＝，则sin的值是(　　)

A．－　　　　　　　　 　B.

C.   D．－

5已知sin＝，则cos的值是(　 )

A.   B.

C．－   D．－

6若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.   B.

C.或   D.或

7设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2   D．3

8设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)

A．＝－＋

B．＝－

C．＝＋

D．＝－

9设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为（ ）

A.   B.

C.   D．1

10设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为(　　)

A.  B.

C．1   D．2

二．填空题（20分）

11已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________

12化简sin2＋sin2－sin2α的结果是________

13图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________.

14图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

三．解答题（36分）

15．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos∠B＝.

(1)求△ACD的面积；

(2)若BC＝2，求AB的长．

16．（12分）在平面直角坐标系中，曲线（是参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程：.

（1）写出曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）设，直线与曲线交于、两点，求的值.

17（12分）已知函数（其中）.

（1）讨论的单调性；

（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.

2019年高三（13）班第四次周考卷参考答案

10解析：选A　∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)．∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝＝，故选A

11答案：0

12答案：

13解析：由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.

在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，

则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①

因为∠ADB与∠CDB互补，

所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，

所以＝－，

所以3b2－a2＝－6，②

联合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.

在△ABC中，cos∠C＝＝＝.

答案：

14解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，

∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.

又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m.

在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．

答案：100

15解：(1)因为∠D＝2∠B，cos∠B＝，

所以cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－.

因为∠D∈(0，π)，

所以sin∠D＝＝.

因为AD＝1，CD＝3，

所以△ACD的面积

S＝AD·CD·sin∠D＝×1×3×＝.

(2)在△ACD中，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，

所以AC＝2.

因为BC＝2，＝，

所以＝＝＝＝，

所以AB＝4.

16.解：（1）曲线的普通方程是，直线的直角坐标方程为．　　　　　

（2）直线经过点，且倾斜角是

∴直线的参数方程是（是参数） ，

设，对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入，

整理得，∴

∴由参数的几何意义可知：．

17. 解：（1）的定义域为，

（i）若，则.由得或；由得

∴在，上单调递增，在上单调递减；

（ii）若，则，∴在上单调递增；

（iii）若，则，由得或；由得

∴在，上单调递增，在上单调递减.

（2）∵，，

由得，∴，，∴

∵   ∴      解得

∴

设  ，则

∴在上单调递减；当时，