江西省信丰中学2020届高三数学上学期周考十五理B层（含解析） 试卷
展开江西省信丰中学2020届高三数学上学期周考十五（理B层）
一、选择题（每题5分，共40分）
1．如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，边上的中线的长为，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．16 B．19 C．20 D．25
4．在数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．在△中，若，，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
7．若数列满足，且，则数列的前项中，能被整除的项数为（ ）
A． B． C． D．
8.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球表面积为( )
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
9．已知三棱锥的各顶点均在半径为2的球面上，且，则三棱锥体积的最大值为______.
10．如图，在直角梯形中，，，，，，在线段上，是线段的中点，沿把平面折起到平面的位置，使平面，则下列命题正确的编号为______.
①点到平面的距离为；
②设折起后几何体的棱的中点，则平面；
③；
④四棱锥的内切球的表面积为.
11.已知四棱锥P﹣ABCD满足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的体积为_____．
12．如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为_______．
三、解答题（每题12分，共24分）
13.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，为等边三角形，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
14．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．
（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．
信丰中学理科数学周考十五答案
一．选择题(每小题5分，共40分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | A | D | B | D | A | C | B | C |
二．填空题：
- 10 .①②③④ 11. 12.
三．解答题
13.（1）取PA的中点N，连结MN，DN，
∵M，N分别是PB，PA的中点，
∴MN∥AB，且MNAB＝1，
∵DN，DM＝2，∴DN2+MN2＝DM2，
∴DN⊥MN，∴AB⊥DN，
∵AB⊥AD，AD∩DN＝D，∴AB⊥平面PAD.
（2）如图，连结BD，CM，由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，
在Rt△PAB中，PB＝2，同理PC，
在梯形ABCD中，BC，BD＝2，
∵PC＝BC，M为PB的中点，∴CM⊥PB，
由题意得S△PCB，
1，
设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD，
设点D到平面PBC的距离为d，
∵VP﹣BCD＝VD﹣PCB，∴，解得d．
∵DM＝2，∴直线DM与平面PBC所成角的正弦值sinθ
14.【答案】（1） （2）
（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系
C﹣xyz．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．
所以（﹣2，0，1），（0，﹣2，﹣2）．
所以cos．
即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为．
（2）因为（0，2，0），（2，0，0），（0，0，2），
所以•0，•0，
所以为平面ACC1A1的一个法向量．
因为（0，﹣2，﹣2），（2，0，1），
设平面B1DC的一个法向量为n，n＝（x，y，z）．
由，得
令x＝1，则y＝2，z＝﹣2，n＝（1，2，﹣2）．
所以cos＜n，．
所以二面角B1﹣DC﹣C1的余弦值为．
