2020-2021学年北师大版初一数学上册难点突破讲义09 有理数的乘方及混合运算

专题09 有理数的乘方及混合运算

【专题说明】

1．理解有理数乘方的定义；

2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3. 进一步掌握有理数的混合运算.

【知识点总结】

一、有理数的乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．

即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.

要点诠释：                                                            

（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．

（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 

二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．

要点诠释：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

(2)任何数的偶次幂都是非负数．

三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：

 (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

 （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．

(3)在运算过程中注意运算律的运用．

【精典例题】

一、有理数乘方

1、把下列各式写成幂的形式：

(1)；

(2)(－3.7)×(－3.7)×(－3.7)×(－3.7)×5×5；

(3)．

【答案与解析】 (1)；

(2)(－3.7)×(－3.7)×(－3.7)×(－3.7)×5×5＝(－3.7)4×52；

(3)

【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.

2、计算：

（1）           （2）      （3）           （4）

（5）　         （6）      （7）         （8）

【答案与解析】

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）

（7）；

（8）

【总结升华】与不同，，而表示的n次幂的相反数．

3、计算：

（1）

（2）

【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4＝3×3×3×3＝81；

－3 4＝－（3×3×3×3）＝－81；

；

(2)； ；

；

【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．

二、乘方的符号法则

1、不做运算，判断下列各运算结果的符号．

(－2)7，(－3)24，(－1.0009)2009，，－(－2)2010

【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：

 (－2)7运算的结果是负；(－3)24运算的结果为正；(－1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；－(－2)2010运算的结果是负．

【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．

2、不做运算，判断下列各运算结果的符号．

(－2)7，(－3)24，(－1.0009)2009，，－(－2) 2010

【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：

 (－2)7运算的结果是负；(－3)24运算的结果为正；(－1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；－(－2)2010运算的结果是负．

【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．

三、有理数的混合运算

1、计算： （1）

（2）[来

（3）

（4）

【答案与解析】

（1）法一：原式＝；

法二：原式=

（2）原式

(3) 原式=－32－3+66－9=22

(4) 原式

【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．

2、计算：

（1）－(－3)2+(－2)3÷[(－3)－(－5)]

（2）[73－6×(－7)2－(－1)10]÷(－214－24+214)

（3）；

（4）

【答案与解析】（1）－(－3)2+(－2)3÷[(－3)－(－5)]

＝－9+(－8)÷(－3+5)

＝－9+(－8)÷2

＝－9+(－4)＝－13

（2） [73－6×(－7)2－(－1)10]÷(－214－24+214)

＝(7×72－6×72－1)÷(－214+214－24)

        ＝[72×(7－6)－1]÷(－24)

        ＝(49－1)÷(－24)

        ＝－2

（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.

原式

（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.

【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．

3、         （       ）

（A）        （B）    （C）     （D）

【答案】C

【解析】逆用分配律可得：，所以答案为：C

【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.

4、计算：

【答案与解析】逆用分配律可得：

【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有

四、探索规律

1、你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到       根面条，第5次捏合抻拉得到       根面条，第次捏合抻拉得到       根面条，要想得到64根细面条，需     次捏合抻拉.

                 第1次               第2次             第3次

【答案】8; 32; ; 6

【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：

           第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.

第3次捏合抻拉得到面条根数：，即8根；第5次得到：，即32根；第次捏合抻拉得到；

因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.

【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．

2、下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：；

第2个数：；

第3个数：；

…

第n个数：．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ）．

A．第10个数    B．第11个数    C．第12个数    D．第13个数

【答案】A

【解析】第1个数结果为；第2个数结果为；第3个数结果为；…；发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为1，所以第n个数结果为，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．

【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．