2020-2021学年北师大版初一数学上册难点突破讲义07 有理数的加减法

专题07 有理数的加减法

【专题说明】

1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；

2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；

3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简　 　　算，并会解决简单的实际问题.

【知识点总结】

一、有理数的加法

1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．

2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；

（3）一个数同0相加，仍得这个数．

要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：

(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．

(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．

(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．

3.运算律：

要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．

二、有理数的减法

1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(－5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．

 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．

   （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．

2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．

要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：

三、有理数加减混合运算

将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.

【精典例题】

一、有理数的加法运算 

1、计算：

(1)(+20)+(+12)；          (2)；     (3)(+2)+(－11)；  

(4)(－3.4)+(+ 4.3)；       (5)(－2.9)+(+2.9)；       (6)(－5)+0．

【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．

 (1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；

(2)

(3)(+2)+(－11)＝－(11－2)＝－9

(4)(－3.4)+(+4.3)＝+(4.3－3.4)＝0.9 

(5)(－2.9)+(+2.9)＝0；

(6)(－5)+0＝－5．

【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．

2、计算：（1）      （2）

（3）          （4）          （5）

【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（3）（5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条．

【答案与解析】

（1）；

（2）

（3）

（4）

（5）

【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．

二、有理数的减法运算

1、 计算：(1)(－32)－(+5)；     (2)(+2)－(－25)．

【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．

【答案与解析】法一：

法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27

【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.

2、(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)．

【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．

【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．

 (1)2－(－3)＝2+3＝5     (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5

（3）原式=

【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.

三、有理数的加减混合运算

1、计算，能用简便方法的用简便方法计算.

（1）  26－18+5－16  ；   （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）

(3) 

(4)

（5）

（6）

【答案与解析】

（1）  26－18+5－16

=(+26)+(－18)+5+(－16) →统一成加法

=(26+5)+[(－18)+(－16)] →符号相同的数先加

= 31+(－34)=－3

（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）

=[ (+7)+(－7) ] +[(－21)+(+21)] →互为相反数的两数先加

=0

（3）

→同分母的数先加

（4）

   →统一成加法

     →整数、小数、分数分别加

（5）

→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起

（6）

→整数，分数分别加

【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换．

2、计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；

（2）11－12+13－15+16－18+17； （3）

（4）

（5）；  （6）

【答案与解析】

（1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；

4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．

解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72

＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23

＝0+0－1.23＝－1.23

 （2）把正数和负数分别分为一组．

解：11－12+13－15+16－18+17

＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)

＝57+(－45)＝12

（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．

解：

（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；－3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；与 易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．

解：

（5）先把整数分离后再分组．

解：

注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 ．

（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．

解：

【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.

四、有理数的加减混合运算在实际中的应用

1、小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）

(1)    小虫最后是否回到出发地O？为什么？

(2)    小虫离开O点最远时是多少？

(3)    在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？

【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.

【答案与解析】

解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)

   =(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=0

0表示最后小虫又回到了出发点O

答：小虫最后回到了出发地O.

（2）   (+5)+(－3)＝+2；

(+5)+(－3)+(+10)＝+12；

(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；

(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；

(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；

(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.

因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm;

(3) （cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 cm，

   由  （粒）

答：小虫一共可以得到54粒芝麻.

【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．

2、某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.

（1）问收工时距A地多远？

（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？

【答案与解析】（1）求收工时距A地多远，应求出已知10个有理数的和，若和为正数，则在A地前面，若和为负数，则在A地后面；距A地的路程均为和的绝对值.

解：(1) (+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5)

=[+2+(－2)]+[(－8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(－3)

=0+0+44+(－3)=41（千米）；

（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可.

(|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）.

答：收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时共耗油13.4升.

【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．