高中数学人教版新课标A必修22.2 直线、平面平行的判定及其性质精品综合训练题

突破2.2  直线、平面平行的判定与性质课时训练

【基础巩固】

1．（线面平行的判断 ）在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．平面 D．平面

【答案】C

【解析】如下图所示，设，则为的中点，

在正方体中，，则四边形为平行四边形，.

易知点、分别为、的中点，，

则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；

，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；

易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；

四边形为正方形，则，

在正方体中，平面，平面，

，，平面，

平面，，同理可证，且，

平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选C.

2．（面面平行的性质 ）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

取的中点为.

易知，，所以四边形为平行四边形，所以.

又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求.

由，，所以四边形为梯形，高为.

所以面积为：.

故选B.

3．（2020届全国名校高三模拟）如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取的中点，连接

设则所以连接因为

所以异面直线与所成角即为在中故选D。

4．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则；②若，，则；

③若，，则；  ④若，，则.

其中真命题的序号为（    ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

【答案】A

【解析】对于命题①，若，过直线作平面，使得，则，，，，，命题①正确；对于命题②，对于命题②，若，，则，命题②正确；对于命题③，若，，则与相交、平行或异面，命题③错误；对于命题④，若，，则或，命题④错误，故选A。

5．（2020届四川省遂宁市高三二诊）已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【解析】选项A中直线，还可能相交或异面，选项B中，还可能异面，选项C，由条件可得或，故选D。

6．（2020届四川省宜宾市高三第二次诊断）四棱锥所有棱长都相等，、分别为、的中点，下列说法错误的是（    ）

A．与是异面直线 B．平面

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知四棱锥所有棱长都相等，、分别为、的中点，与是异面直线，A选项正确；取的中点为，连接、，四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，则且，为的中点，且，则四边形为平行四边形，，且平面，

平面，平面，B选项正确；若，由于，则，事实上，C选项错误；，为的中点，，，，

D选项正确。故选C。

7．（线面平行的判断 ）如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面 内（不包括边界），若平面，则的最小值是____．

【答案】

【解析】取中点，连结，作，连，

因为面面面，所以动点在底面 内的轨迹为线段，

当点与点重合时，取得最小值，因为，

所以.

8．（圆锥中线面平行 ）如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：

①AD∥平面SBC；

②；

③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；

④与平面SCD所成的角为45°．

其中正确结论的序号是__________．

【答案】①②④

【解析】由AB和CD是圆O得直径及AB⊥CD，得四边形ABCD为正方形，则AD∥BC，

从而AD∥平面SBC，则①正确；又因为平面SAD，且平面，所以，则②正确；因为，当∠ASB为钝角时，；

当∠ASB为锐角或直角时，，则③不正确；由，得与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角，即为∠ADO，又因为∠ADO=45°，故④正确.

故答案为①②④

【能力提升】

9．（补充条件线面平行）下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件是__________.

①；②；③

【答案】

【解析】①，或，由；

②，，；

③，或，由．

故答案为．

10．（2020·北京市平谷区高三一模）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，交与，连接，在中，，

又平面，平面，所以平面；

（2）由平面平面，，为平面与平面的交线，故平面，故，又，所以平面，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，

设平面的法向量为，，，

由，得，

平面的法向量为，

由，

故二面角的大小为.

11．（2020·河南省安阳市高三一模（理）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点.

（1）证明:平面，

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）如图，连接，交于点M，连接ME，则.

因为平面，平面，所以平面.

（2）设O是AC的中点，连接，OB.因为为正三角形，

所以，又平面平面，平面平面，

所以平面ABC.由已知得.

如图，分别以射线OB，OA，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，，，，

故，，，

设平面的一个法向量为，则，

所以令，则.

设直线与平面所成的角为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.

12．（2020届安徽省蚌埠市高三第三次质检）如图所示七面体中，，平面，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，，M，N分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点F，连接，.因为平面平面，

平面平面，平面平面，

所以，同理可得，，，而，

所以四边形和为平行四边形.  又四边形是菱形，，

所以，而点F为的中点，所以，

又，所以四边形为平行四边形，从而.

点M，N分别为，的中点，所，

，则四边形是平行四边形，得， 所以.

而平面，平面，所以平面. 

（2）由（1）可知，平面，所以点M到平面的距离与点N到平面的距离相等，则三棱锥的体积

.  

由，，得为正三角形，

而F为中点，所以，从而，且.

又平面，得，从而，，

所以平面，且.

所以，

即三棱锥的体积为.、

【高考真题】

13．（2019•新课标Ⅱ，理7文7）设，为两个平面，则的充要条件是　　

A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 

C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面

【答案】B

【解析】对于，内有无数条直线与平行，或；

对于，内有两条相交直线与平行，；

对于，，平行于同一条直线，或；

对于，，垂直于同一平面，或．故选．

14．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的　　

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件 

C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，

不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．

15．（2015福建）若 是两条不同的直线，垂直于平面 ，则“ ”是“∥”的 　　

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由“且”推出“或”，但由“且”可推出“”，所以

“”是“”的必要而不充分条件，故选B．

16．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（     ）

A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线

【答案】B

【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.

过作于，连接，

平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，，故选B．

【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．

17．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，

E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．

又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，

因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．

（2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则

，A1(2，0，4)，，，，，，．

设为平面A1MA的法向量，则，

所以可取．

设为平面A1MN的法向量，则

所以可取．

于是，

所以二面角的正弦值为．

【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.

18．（2020届博雅闻道高三联合质量评测）如图在三棱柱中，为边的中点..

（1）证明：平面；

（2）若，为中点且，，，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明：因为三棱柱中，侧面为平行四边形，

由，可知为的中点，又因为为边的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面;

（2）作图如下:

因为，,为公共边，

所以，所以，

因为为中点,,

则，，

由线面垂直的判定知,平面，

所以 ,

又因为为中点，为中点，连，

则，

所以,, ,

所以平面，

所以平面平面，且交线为，

过点作，则平面，

即为点到平面的距离，

因为，，

所以三角形为等边三角形,即，

又，所以满足,

即,,

由知,,,

所以,

所以.

19．（2020届湖北省武汉市外国语学校高三模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.

∵为的中点，∴.

∵，平面，∴.

又平面，平面，∴平面.

∵，分别为，的中点，∴.

又平面，平面，∴平面.

又平面，，

∴平面平面.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.

∵平面平面，平面，∴平面.

又，，∴.

在中，∵，，∴.

∵，分别为，的中点，

∴的面积，

∴三棱锥的体积.