人教A版必修2综合测试卷（基础版）解析版-突破满分数学之2020-2021学年高二数学(理)课时训练(人教A版必修2)

综合测试卷（基础版）

一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒

包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字．该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、

后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图是该正方体的展开图．若图中“致”在正方体的后面，那么在正

方体前面的字是（　　）

A．最 B．美 C．逆 D．行

【解答】解：若图中“致”在正方体的后面，则敬在下面，最在右面，

美在前面，逆在上面，行在左面．故选：B．

2．已知空间中不过同一点的三条直线，则“在同一平面”是“两两相交”的（   ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】解法一：由条件可知当在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线两两相交，如图，

三个不同的交点确定一个平面，则在同一平面，∴“”在同一平面是“两两相交”的必要不充分条件，故选B．

3．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为              （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】A

【思路导引】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点．

【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，

图中标出了根据三视图点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为，故选：A．

4．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若O1O2＝2，则圆柱O1O2的表面积为（　　）

A．4π B．5π C．6π D．7π

【解答】解：由题意可得：h＝2r＝2⇒r＝1；∴S＝πr2×2+2πr×h＝6πr2＝6π；故选：C．

5．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正六棱柱的一条侧棱，

如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（  ）

A．4        B．8         C．12         D．16

【答案】D

【解析】如图以为底面矩形一边的四边形有、、、4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D．

6．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（　　）

A．1 B． C．3 D．2

【解答】解：连结AC，交BD于O，连结OF，

∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，

∴OF∥PC，∴λ＝1．故选：A．

7．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（  ）

A．-2 B．-4 C．-6 D．-8

【答案】B

【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，

∴，，∴，

∴．

8．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是

，则它的表面积是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图所示，∴，解得．它的表面积是：，故选．

9．已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的（  ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件 

C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．

10．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝6

B．(x－2)2＋(y－1)2＝22

C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22

D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32

【答案】C　

【解析】设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.圆心O1到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.

11.直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]      B．[4,8]

C．[ ,3]  D．[2，3]

【答案】A　

【解析】 圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．

12．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)

A．2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0

C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0

【答案】B　

【解析】由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.

二、填空题  共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为　16+12π　．

【解答】解：由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h为4，可得半圆的半径r为2，

由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形面积，即S＝16+12π．

故答案为：16+12π．

14．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面

积为，则该圆锥的侧面积为　　．

【答案】

【解析】圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，可得．的面积为，可得，即，即．与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：，则该圆锥的侧面积：．

15．已知直线l：，则点到直线l的距离等于________；直线l关于点M对称的直线方程为________．

【答案】；   

【解析】点到直线l的距离为，

设为对称直线上任一点，则其关于点M的对称点为，因为该点在直线l上，所以，化简得，所以所求的直线方程为，

16．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________．

【答案】或

【解析】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为

与直线的交点为，，①

 由，，重心为，代入欧拉线方程，得，②，由 ①②可得或 .

三、解答题  共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1．

（1）证明：平面A1BD⊥面BC1D1；

（2）求三棱锥B1﹣A1BD与D1﹣A1BD的体积比．

【解答】证明：（1）连接AD1，因为AD＝AA1，所以A1D⊥AD1，

因为AD1∥BC1，所以A1D⊥BC1，又A1D⊥C1D1，BC1∩C1D1＝C1，

∴A1D⊥平面BC1D1，

又A1D真包含于面A1BD

所以平面A1BD⊥平面BC1D1．

（2）连接B1D1，因为B1D1∥BD

所以B1D1∥平面A1BD，

所以B1，D1 到面A1BD的距离相等，

胡三棱锥B1﹣A1BD 与D1﹣A1BD 体积之比为1：1．

18．（2012•新课标，文19）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．

(Ｉ) 证明：平面⊥平面

（Ⅱ）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥，BC⊥AC，，∴面，    又∵面，∴，

由题设知，∴=，即，

又∵，   ∴⊥面，    ∵面，

∴面⊥面；

（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，

由三棱柱的体积=1，

∴=1：1，  ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1：1．

19．（2014广东）如图2，四边形为矩形，⊥平面，，，作如图3折叠，折痕∥．其中点，分别在线段，上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且⊥．

（Ⅰ）证明：⊥平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

【解析】（Ⅰ）证明：平面∴平面平面，

平面平面，平面，，

∴平面，

，∴．

（Ⅱ）

，

20．（2020上海高二课时练）直线，相交于点，其中.

（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；

（2）求的面积；

（3）问为何值时，最大？

【解析】（1）在直线的方程中令可得，则直线过定点，

在直线的方程中令可得，则直线过定点；

（2）联立直线、的方程，解得，即点.

，

，

，所以，；

（3）且，因此，当时，取得最大值，即.

21．（2020山西师大附中高二月考）已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．

【解析】∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.

联立解得

即圆心C为(－3,6)，

则半径r＝＝2.

又|AB|＝＝4，

∴圆心C到AB的距离d＝＝4，

∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝4＋2，

∴△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.

22.在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

【解析】 (1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．

 (2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立又x＋mx2－2＝0，

可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.故过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．