高中数学人教版新课标A必修2第三章 直线与方程综合与测试优秀单元测试综合训练题

第三章 直线与方程单元测试卷（巅峰版）

一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（2020广东省仲元中学高二期中）若图中的直线、、的斜率分别为、、则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由于直线的倾斜角为钝角，所以；由于直线的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，所以，所以.故选：A

2．（2020·鸡西市一中高二期中）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C．或 D．

【答案】D

【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为或，所以或，所以或.综合得实数的取值范围是.故选：D.

3．（2020全国高二课时练）过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（    ）

A．平行            B．重合            C．平行或重合       D．相交或重合

【答案】C

【解析】由题意知：， ， ，当时，与没有公共点    ，当时，与有公共点， 与重合，

与平行或重合，本题正确选项：

4.（2020安徽无为中学高二月考）直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 010,b)在直线l上,则b的值为(　　)

A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022

【答案】C

【解析】直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1 010代入,得b=2 021.

5．（2020江西宜春高二期中）已知，则直线通过(　　) 象限

A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四

【答案】A

【解析】因为，所以，①若则，，直线通过第一、二、三象限。②若则，，直线通过第一、二、三象限。

6．已知直线l1，l2的方程分别为x+ay+b=0，x+cy+d=0，其图象如图所示，则有（ ）

A．ac＜0 B．a＜c C．bd＜0 D．b＞d

【答案】C

【解析】直线方程化为l1：y=﹣x﹣，l2：y=﹣x﹣．由图象知，﹣＜﹣＜0，﹣＞0＞﹣，

∴a＞c＞0，b＜0，d＞0．故选C

7．设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】C

【解析】设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝

8．（2020福建三明一中高二期中）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=(   )

A．2 B．4 C．5 D．10

【答案】D

【解析】将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D．

9．（2020银川一中高二期中）动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（  ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】由题|OP|的最小值即为，O点到直线的距离..

10．直线xsin α-y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　   )

A． [0，π)    B．     C．     D．             

【答案】B

11．已知直线和互相平行，则实数（  ）

A．     B．     C． 或3    D． 或

【答案】C

【解析】

由题意得 或3,选C.

12．两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：

①若方程组无解，则两直线平行；

②若方程组只有一解，则两直线相交；

③若方程组有无数多解，则两直线重合．

其中说法正确的个数为（    ）

A． 1    B． 2    C． 3    D． 0

【答案】C

【解析】

①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为：C.

二、填空题  共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率______.

【答案】.

【解析】l1的斜率k1=tan α1=tan 30°=.∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,

∴l2的斜率k2=tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=.

14．（2020甘省武威十八中高二课时练）求经过两点的直线方程___________.

【答案】

【解析】直线方程为，即．

15．（2020山东青岛四中高二月考）已知直线分别与x轴，y轴相交于A,B两点，若动点在线段AB上，则ab的最大值为______.

【答案】

【解析】直线方程可化为，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1).由动点在线段AB上可知，且，所以，故.因为，所以当时ab取得最大值.

16．（2020全国高二课时练）已知点是直线与轴的交点，将直线绕点旋转30°，则所得到的直线的方程为______.

【答案】或

【解析】令，求得，直线的斜率为，故倾斜角为.当逆时针旋转时，所得直线的倾斜角为，此时直线方程为，即.当顺时针旋转时，所得直线的倾斜角为，斜率为，又点斜式得，化简得.

三、解答题  共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．（2020全国高二课时练）已知，，三点，若直线AB的倾斜角为，且直线，求点A，B，C的坐标．

【解析】，

解得（舍去），，点，．

，解得，点.

18．（2020江苏省南京师大附中高二课时练）根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线，并写出倾斜角：

（1）P(1，2)，k＝1；　　　　   （2）P(－1，3)，k＝0；

（3）P(0，－2)，k＝；    （4）P(1，2)，斜率不存在．

【解析】

（1）倾斜角为 ；

（2）  倾斜角为0；

（3）   倾斜角为 ；

（4）     倾斜角为 。

19．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为.

(1)求顶点的坐标；

(2)求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程.

【解析】（1）由已知得：

直线的方程为：，即：

由，解得：，的坐标为

（2）设，则

则，解得：

直线在轴、轴上的截距相等

当直线经过原点时，设直线的方程为

把点代入，得：，解得：

此时直线的方程为：

当直线不经过原点时，设直线的方程为

把点代入，得：，解得：

此时直线的方程为

直线的方程为：或

20．（2020山东省武城县第二中学高二月考）已知点、，点在直线上，并且使的面积等于21，求点的坐标.

【解析】点在直线上，则可设点.

直线由两点式可得，得，线段，则点到的距离为.

∴三角形面积

∴或

∴点的坐标为或

21．（2020全国高二课时练）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．

∴＝3．

即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或．

∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．

(2)由

解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．

∴dmax＝|PA|＝．

22．已知边上的中线边上的高为.

求（1）中线的方程；

（2）高

【答案】（1） ；（2）x-2y+6=0，

（2）直线的斜率为：，

因为，所以，

所以所在直线方程是即.

直线的方程为：，因为就是点到直线的距离，

所以由点到直线的距离公式得.